广东省高三数学理科5月份五校交流考试卷

2007年广东省高三数学理科5月份五校交流考试卷
2007年5月
深圳实验
中山纪中
珠海一中
广州二中
东莞中学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的表格内） 1. 给出两个命题：
p ：|x |=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调函数．
则下列复合命题中是真命题的是
A ．p 且q
B ．p 或q
C ．﹁p 且q
D ．﹁p 或q
2. 定义运算a b c d ad bc =-，则符合条件11
42-=+z zi
i 的复数z 为 A ．3− i
B ．1+3i
C ．3+ i
D ．1−3i
3. ξ的概率密度函数2
)1(2
21)(--
=
x e
x f π
，下列错误的是
A ．)1()1(>=<ξξP P
B ．)11()11(<<-=≤≤-ξξP P
C ．f (x )渐近线为x = 0
D ．)1,0(~1N -=ξη
4. 过抛物线y 2
=4x 的焦点F 作斜率为
3
4
的直线交抛物线于A 、B 两点，若λ= （λ>1），则λ=
A ．3
B ．4
C ．
3
4 D ．
2
3 5. 已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤-+,
0,0,
033y x y x 则z =12-+x y 的取值范围是
A ．[−2，1]
B ．（−∞，−2]∪[1，+∞）
C ．[−1，2]
D ．（−∞，−1]∪[2，+∞）
6. 定义在R 上可导的函数()y f x =，满足()/
1()0x f x -≤，且函数(1)y f x =+是偶
函数，当1211x x -<-时，有 A ．12(2)(2)f x f x ->- B ．12(2)(2)f x f x -=-
C ．12(2)(2)f x f x -<-
D ．12(2)(2)f x f x -≥-
A
P
B
第13题图
C
7. 三个学校分别有1名、2名、3 名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的
任两名学生不能相邻，那么不同的排法有
A ．36种
B ．72种
C ．108种
D ．120种 8. B 1、B 2是椭圆短轴的两个端点，O 为椭圆的中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，
若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则
2
1OB PF 的值是
A ．2
B ．
22 C ．23 D ．3
2
二、填空题：本大题共7个小题，分必做题和选做题，每小题5分，满分30分．必做题：第9、10、11、12题为必做题．
9. 若=)1,8(-，=)4,3(，则在方向上的投影是 ． 10. 计算
⎰
=+1
03
2)1(dx x x
．
11. 已知直线a y =和0=+y x 将曲线⎩
⎨⎧==θθ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数，R ∈θ)所围成的区域分
成若干部分，现用5种不同的颜色给每部分涂色，每一部分只涂一种颜色，且任意两部分的颜色各不相同，若一共有120种不同的法，则实数a 的取值范围是__________．
12. 函数))((+∈=R x x f y ，若对一切正实数x 都有)(3)3(x f x f =，且当31≤≤x 时有
|2|1)(--=x x f ，则)100(f = ，方程)100()(f x f =的解在[0，100]上
的个数有 ．
▲ 选做题：从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分． 13. 如图，圆的切线PA 的长为4，3PB =，则BC 的长为 。

14. 在极坐标系中，过点()0,2且与极轴成︒60角的直线l 的极坐标方程是_______． 15. 若实数z y x ,,满足5332=++z y x ，则2
2269z y x ++的最小值是 ．
三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本题满分12分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b
C a c
=-+． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b
a ＋c ＝4，求a 的值．
17. （本题满分12分）
已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22
a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中
*2,n n N ≥∈．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）计算lim
n x n
S n
a →∞-的值．
18. （本题满分14分）
如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面1111A B C D 是梯形，且1111//A B DC ，
11111111
12
A D D D D C A
B ===
=，11AD AC ⊥，E 是棱11A B 的中点． （Ⅰ）求证：CD AD ⊥；
（Ⅱ）求点1C 到平面11CD B 的距离；
（Ⅲ）求二面角11D CE B --的大小．
某商店老板设计了如下奖游戏方案：顾客只要共10元钱，即可参加有奖游戏一次，游戏规则如下：在图示的棋盘中，棋子从M 开始沿箭头方向跳向N ，每次只跳一步（即一个箭头），当下一步有方向选择时，则必须通过掷一次骰子（每个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）的方法来确定（否则，不必掷骰子）——当出现“1”朝上时，沿方向跳；当出现“2、4、6”朝上时
沿的方向跳；当出“3”、“5”朝上时，沿
方向跳，奖励标准如下表：
（Ⅰ）写出每位顾客一次游戏后，该店获利的分布列；
（Ⅱ）该店开展此项游戏每月大约获利多少元？（精确到1元）
20. （本题满分14分）
在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同
时满足：①=++，②||||||MC MB MA ==，③//．
（Ⅰ）求顶点C 的轨迹E 的方程
（Ⅱ）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F 的坐标为（2, 0） ，已知FQ PF //，
//且0=⋅，求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值．
集合A 是由适合以下性质的函数)(x f 构成的；对于任意的υυ≠-∈u u 且),1,1(,，都有.||3|)()(|υυ-≤-u f u f
（Ⅰ）分别判断函数)1(log )(1)(2221+=+=x x f x x f 及是否在集合A 中？并说明理由；
（Ⅱ）设函数A x f bx ax x f ∈+=)(,)(2且，试求|2a +b |的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，若6)2(=f ，且对于满足（2）的每个实数a ，存在最小的实数m ，使得当6|)(|,]2,[≤∈x f m x 时恒成立，试求用a 表示m 的表达式．
[参考答案]
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）
二、填空题：本大题共7个小题，分必做题和选做题，每小题5分，满分30分．必做题：第9、10、11、12题为必做题． 09．4-; 10．
16
3 11．22<<-a 12．19; 3 13．
73
14．3)3sin(-=-π
ϑρ
15．18
三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）解法一：由正弦定理
sin a A ＝sin b B ＝sin c
C
＝2R ， 得a ＝2RsinA ，b ＝2R si nB ，c ＝2R si nC ， 代入
cos cos 2B b C a c =-+中， 得cos sin cos 2sin sin B B
C A C
=-+， 即 2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=，
2sin cos sin()0A B B C ++=，
∵ A ＋B ＋C ＝π， ∴ sin(B ＋C )＝A ∴ 2sin cos sin 0A B A += ∵ sinA≠0， ∴ cos B ＝－
2
1
，
又角B 为三角形的内角，故B ＝3
2π
．
6分
解法二：由余弦定理cos B ＝2222a c b ac +-，cos C ＝222
2a b c ab +-，
代入cos cos 2B b C a c =-+中， 得2222a c b ac
+-·2222ab a b c +-＝2b
a c -+，
整理，得 2220a c b ac +-+=，
∴ c os B ＝2222a c b ac +-＝2ac ac -＝－21，又角B 为三角形的内角，故B ＝32π．
（Ⅱ）将b
a ＋c ＝4，B ＝
32π
， 代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅， 得22
213(4)2(4)cos 3
a a a a π=+---⋅，
整理得 2
430a a -+=， 解得 a ＝1或a ＝3．
12分
17．解：（Ⅰ）
113210n n n S S S +--++=⇒112()1n n n n S S S S +--=--
⇒121(2)n n a a n +=-≥
又123
,22
a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈
⇒112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）
∴数列{}1n a -是公比为2，首项为11
12
a -=
的等比数列 121
1222
n n n a ---=⨯=221n n a -⇒=+
6分
（Ⅱ）12...n n S a a a =+++
()()()()1012212121...21n --=++++++++ ()
1
1
2
222 (2)
n n --=++++ 21
2
n n -=+ 于是11
1212lim lim lim 22222n
n n x x x n n
S n a -→∞→∞→∞-
--===++ 12分
18．证明：（Ⅰ）连接1A D ，11A D DA 是正方形，∴11AD DA ⊥，又11AD AC ⊥，
∴1AD ⊥平面1ACD ，∴1AD CD ⊥，又1DD CD ⊥，∴CD ⊥平面1AD ，
∴CD AD ⊥
4分
（Ⅱ）解：在平面1111A B C D 中，过1C 点作111C K D B ⊥，垂足为K ，连接CK ，又 过1C 点作1C H CK ⊥，垂足为H ，则1C H 为点1C 到平面11CD B 的距离，在111C B D ∆中，有1111111sin135C K D B DC C B ⋅=⋅⋅，
∴11C K =
=， 在1Rt CC K ∆
中，111CC C K C H CK ⋅===，
点1C 到平面11CD B
的距离为
6
9分
解法2：用等体积法，设点1C 到平面11CD B 的距离为h ，在11CD B ∆中
，
1111,,CD D B CB =11
CD B ∴∆为直角三角形，由
111111C C D B C CD B V V --=
得112h ⋅=
，∴ 6
h =
，∴点1C 到平面1
1CD B
（Ⅲ）解：111
D E DC CE A D ====取线段CE 的中点F ，连接1D F ，则1D F CE ⊥，1//CE A D ，∴11A B CE ⊥，再取线段1CB 的中点G ，连接FG ，∴1//FG EB ，∴CE FG ⊥，∴1D FG ∠是二面角11D CE B --的平面角，在1
D FG
∆中， 12
D F =
12FG =，取线段11B C 的中点L ，连接GL ，则22
21
1DG GL D L =+，在11
DC L ∆中，2
115121cos135222
D L =+-⋅⋅=，∴215111
244D G =+=，由余
弦定理知
22
1
111
()
cos D FG
+-
∠==，
∴二面角
11
D C
E B
--
的大小为arccos(
3
-．14分
空间向量解法：
（Ⅰ）证明：用基向量法．设
11
D A a
=，1
a=，
11
DC b
=，1
b =
1
D D c
=，1
c =，
1
AC b c a
=+-，
1
D A a c
=+，
11
AC D A
⊥
11
AC D A
∴⋅=，
∴()()0
b c a a c
+-⋅+=，∴220
c a b c b a
-+⋅+⋅=，∴0
a b⋅=，
1111
2,
A B b D A a
==，∴
1111
A B D A
⋅=，∴
1111
A B D A
⊥，即
1111
A B A D
⊥，∴CD AD
⊥4分（Ⅱ）解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算．
以
1
D为原点，
11
D A，
11
D C，
1
D D所在直线
分别为,,
x y z轴，建立如图所示的空间直角
系．则
1
(0,0,0)
D，(0,1,1),(1,1,0)
C E，
1
(1,2,0)
B，
1
(0,1,1)
DC=，
1
(1,1,0)
D E=，
(1,0,1)
EC =-，
1
(0,1,0)
EB=，
11
(1,2,0)
D B=，设平面
11
CD B的一个法向量为
3333
(,,)
n x y z
=，
∵
31111
,
n DC n D B
⊥⊥，∴31
311
n D C
n D B
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
1
(0,1,1)
DC=，
11
(1,2,0)
D B=
∴33
33
20
y z
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，令
3
1
y=-，则
3
2
x=，
3
1
z=，得
3
(2,1,1)
n=-．11
(0,1,0)
DC=，求点
1
C到平面
11
CD
B的距离为
3113
1n d D C n -=
⋅=
= 9分
（Ⅲ）解：设平面1CD E 的一个法向量为1111(,,)n x y z =．
∵1111,n DC n D E ⊥⊥， ∴11110
n D C n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，111100y z x y +=⎧∴⎨+=⎩，令11x =，则11y =-，11z =，得1(1,1,1)n =-．又设平面1CB E 的一个法向量为
2222(,,)n x y z =∵212,n EB n EC ⊥⊥，
∴2120,0n EB n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴2220
0y x z =⎧⎨-+=⎩，令21x =，则20y =，21z =，得2(1,0,1)n =
．
1212
cos 3n n n n α⋅=
=
=⋅ ∴二面角11D CE B --的大小为arccos(． 或者，CE 的中点F 的坐标为1
1(,1,)22
F ，11(,1,)2
2
OF =，11(,1,)22
FO =-
--，1(0,1,0)EB
=
，∴11
cos 1FO EB FO EB
α⋅=
=
==⋅ ∴二面角11D CE B --的大小为arccos(3
-
． 14分
19．解（Ⅰ）设一位顾客参加一次游戏后，小商店获利为ξ元
当ξ=－90时，只有一种跳棋路线M→D→N 36
661=⨯=P 当ξ= 0，有如下跳棋路线
M→D→C→N M→D→G→N M→A→D→N M→E→D→N M→A→C→N M→E→G→N
31
)6163()6162()616263()616362()6361()6261(2=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=∴P
36
23
3136113=--=∴P 8分
（Ⅱ）36
253623536190=⨯+⨯-=∴ξE 元 ∴小商店每月获利大约有20833
6250301003625≈=⨯⨯元 14分 20．解：（Ⅰ）设C ( x , y )， 2GA GB GO +=,由①知2GC GO =-,
∴G 为△ABC 的重心 ， ∴ G(3x ,3
y
) 2分
由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上， 由③知M （3
x
，0），
由|| ||MC MA =
= 化简整理得：2
213
x y +=（x≠0 ） 6分 （Ⅱ）F
0 ）恰为2
213
x y +=的右焦点 设PQ 的斜率为k≠0且
k≠±2
，则直线PQ 的方程为y = k ( x
由2222
2
2
((31)630330
y k x k x x k x y ⎧=⎪⇒+-+-=⎨+-=⎪⎩
设P(x 1 , y 1) ，Q (x 2 ,y 2 ) 则x 1 + x 2
1·x 2 =226331k k -+ 8分
则
RN⊥PQ,把k 换成1k -得
10分
∴S =12| PQ | · | RN | =2222
6(1)(31)(3)k k k +++ =228
213()10k k
-++
22183()102k k S ∴++=- 2
21k k +≥2 ， 82S
∴-≥16
3
2
∴≤ S< 2 ， (当 k = ±1时取等号) 12分
又当k 不存在或k = 0时S = 2．综上可得
3
2
≤ S ≤ 2
∴S max = 2 ， S min = 3
2
14分
21．解：（Ⅰ）.)(;)(21A x f A x f ∉∈
证明如下：任取)1,1(,-∈υu ，且υ≠u ，则
,
|
11||||||
11||||11||)()(|2
2
22222
211υυυυυυυ+++-⨯+=
+++-=
+-+=-u u u u u u f u f
因为.||||||,1||,1||22υυυυ+≤++<+<u u u u
所以，1|11||
|||2
2<+++-⨯+υυυu u u ，
所以，||3|||)()(|11υυυ-<-<-u u f u f ，也即：A x f ∈)(1； 对于)1(log )(22+=x x f ，只需取,21,2115--+-=+-=υu 则,1||<-υu 而||34|)()(|11υυ->=-u f u f ，所以，.)(2A x f ∉
4分
（Ⅱ）因为bx ax x f +=2
)(属于集合A ，所以，任取υυ≠-∈u u 且),1,1(,，则
|))((||)()(|||3b a au u f u f u ++-=-≥-υυυυ
也即：.3||≤++b a au υ ①
设υ+=u t ，则上式化为：.3||≤+b at ② 因为),1,1(,-∈υu 所以.22<<-t
①式对任意的),1,1(,-∈υu 恒成立，即②式对)2,2(-∈t 恒成立， 可以证明.3|||2|≤+b a 所以，3|2|≤+b a ，即].3,3[2-∈+b a 9分
（Ⅲ）由6)2(=f 可知：32=+b a ．
又由（Ⅱ）可知：323≤-≤-b a ，所以，.2
3
0≤≤a
i ）当0=a 时，x x f 3)(=为单调递增函数，
令.2.26)(-=-=-=m x x f 所以得
ii ）当0>a 时，,4)23()223()23()(2
22
a
a a a x a x a ax x f ---+
=-+= 此时，023
1223≤-=--a
a a ，且当R x ∈时，
)(x f 的最小值为.4)23()223(2a
a a a
f --=--
若a a 4)23(2--，即a a 223--时，m 为方程6)(=x f 的较小根．所以，.3a
m -=
若a a 4)23(2
--，即22690-<<a 时，由于)(x f 在),223[+∞--a a 上单调递增，所以，m
为方程6)(-=x f 的较大根，所以，a
a a a m 29
364322+-+-=．
综上可知：,329364322
2
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨
⎧
-+-+--=a a a a a m 2
32269226900≤≤--<<=a a a ．
14分。