几类特殊函数的不定积分共38页文档
几种特殊函数不定积分求法小结
６ Ｊ
Ｊ ｓ ｉ ｎ ・ ｃ 。 ｓ ｄ ＝ ｆ ８ ｉ ｎ 。 Ｃ ｏ ｓ ２ ｋ ￣ ・ ｃ 。 ｓ ｄ ＝ ｆ ｓ ｉ ｎ ‘
ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｓ ｉ ｎ ｘ＝Ｉ ｓ ｉ ｎ ・ （ １ 一 ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ） ｄ ｓ ｉ ｎ ｘ＝Ｉ ￡ ・ （ １ 一 ￡ ） ｄ ｔ ．
所
０
＋ （ ｎ 一 ） ， 一 。 一 ａ ２ Ｉ ］
＋ （ ｚ 一３ 一 － ］ ，
２ ． 形 如 』 ｃ 。 ｓ 。 ‘ ｓ ｉ ｎ （ ≠ ６ ） 的 情 形 一 般 采 用 三 角 函
数 积 化 和差 公 式化 简．
志
Ⅱ
［
，
例 Ｊ ｃ 。 ｓ ２ ‘ ｃ ０ ｓ ７
』 Ｐ （ ） ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ， 以 及 （ ） （ １ ｎ ） 的 类 型 ， 一 般 采 用 分
部升次的方法．
３ ． 分 部 循 环 型
（ １ ） Ｊ ｆ Ａ ｄ ＝ Ａ ｆ — ｄ （ 一 。 ） ＝ Ａ ｌ ｎ 一 Ｉ 。 Ｉ ＋ ｃ ．
上 式 被 积 函数 展 开 后 是 一个 关 于 ｔ 的多项式 ， 一 旦 ｍ， ｎ 给定 ， 读者容易得出答案．
下 面 我 们 用 分 部 积 分 法 求 Ｊ
令 ｎ Ｊ
， ｔ
一
（ ｎ ＝ １ ， ２ ， … ） ， 则
Ｊ ． 南
ｄ 南
＋ ２ （ ｎ 一 ・ ）
１ ｎ （ ｚ＋ｐ ｇ ）＋
当 ｎ ＝ １ 时 ， 上 式 为 Ｊ ‘ ｛ ｄ （ ２ ＋ 。 ） ＋ ６ Ｊ ． ÷ ｔ
ｎ （ ￡ ２＋０ ， ２ ）＋— ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ— ＋ｃ：
不定积分公式总结
不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。
掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。
接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。
一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。
2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。
例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
几种特殊类型的函数的积分
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
山东农业大学
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例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
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例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
几种特殊函数的积分
x x x ln sec ln 1 tan C 2 2 2
数学分析（上）
注意 万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式 的计算先考虑其它方法, 不得已才用万能代换.
1 cos x 例如 d sin x dx 1 sin x 1 sin x
dx d cot x 又如 2 2 3 si n x 3 csc x 1
dx 1 C . (a sinx b cos x)2 a(a tan x b)
数学分析（上）Leabharlann 例5dx (1) 1 s i nx
dx ( 2) 2 cos x
dx ( 3) 2 si n x
A B 1 A 5 (3 A 2B ) 3 B 6 x3 5 6 2 （待定系数法） x 5x 6 x 2 x 3 x3 x 2 5 x 6 dx 5 ln x 2 6 ln x 3 C
数学分析（上）
dx 例3 求 I 1 x3 1 1 3 2 1 x (1 x )(1 x x )
1 A Bx C 2 2 (1 x )(1 x x ) 1 x 1 x x
1 1 2 , B ,C 可求得 A 3 3 3 1 1 1 1 2 I ln1 x ln(x x 1) arctan (2 x 1) C 3 6 3 3
Ak A1 A2 2 k x a ( x a) ( x a)
数学分析（上）
2）分母中若有因式 ( x
2
2
px q) ,其中
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它表示函数的原函数。
计算不定积分可以使用一系列的公式和技巧。
下面将介绍一些常用的不定积分计算公式。
1.幂函数不定积分的基本公式之一是幂函数的不定积分公式。
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)其中C为常数。
例如，∫x^2 dx = x^3/3 + C只有当指数n不等于-1时，幂函数才有原函数。
2.指数函数和对数函数指数函数和对数函数是常用的函数，它们的不定积分可以通过以下公式计算。
∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x) - x + C其中e为自然对数的底数。
3.三角函数三角函数也有常用的不定积分公式。
∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C其中C为常数。
4.反三角函数其不定积分公式如下所示。
∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C其中C为常数。
5.一些特殊函数除了上述常见的函数，还有一些特殊的函数和它们的不定积分公式。
∫1 dx = x + C∫1/x dx = ln，x，+ C (x≠0)∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^ax cos(bx))/(a^2 + b^2) + C∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^ax sin(bx))/(a^2 + b^2) + C其中a和b为常数。
6.分部积分法分部积分法是一个常用的计算不定积分的技巧，它基于导数运算和不定积分之间的关系。
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
不定积分公式大全
不定积分公式大全1.基本的常数不定积分公式：\[\int a dx = ax + C\]（其中a为常数，C为常数，表示不定积分的任意常数项）2.幂函数不定积分公式：\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]（其中n为实数，n不等于-1）3.三角函数的不定积分公式：\[\int \sin{x} dx = -\cos{x} + C\]\[\int \cos{x} dx = \sin{x} + C\]\[\int \tan{x} dx = -\ln，\cos{x}， + C\]\[\int \cot{x} dx = \ln，\sin{x}， + C\]\[\int \sec{x} dx = \ln，\sec{x} + \tan{x}， + C\]\[\int \csc{x} dx = \ln，\csc{x} - \cot{x}， + C\]4.反三角函数的不定积分公式：\[\int \arcsin{x} dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arccos{x} dx = x\arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arctan{x} dx = x\arctan{x} - \frac{1}{2}\ln{(1+x^2)} + C\]5.指数函数和对数函数的不定积分公式：\[\int e^x dx = e^x + C\]\[\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C\]（其中a为大于0且不等于1的实数）6.常用三角函数的组合不定积分公式：\[\int \sin^2{x} dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \cos^2{x} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{\cos{2x}}{2} + C\]7.双曲函数的不定积分公式：\[\int \sinh{x} dx = \cosh{x} + C\]\[\int \cosh{x} dx = \sinh{x} + C\]\[\int \tanh{x} dx = \ln，\cosh{x}， + C\]\[\int \coth{x} dx = \ln，\sinh{x}， + C\]8.基本的三角换元法不定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）：\[\int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C\]（其中F是g的原函数）9.分部积分法的不定积分公式：\[\int u dv = uv - \int v du\]（其中u和v是两个函数，du和dv分别是u和v的微分）这些是常用的不定积分公式，通过它们可以求解各种函数的原函数。
4.4 几种特殊函数的不定积分
当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不 定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不 定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不 定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不 定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解 设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x
几种特殊类型函数地积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221． 最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2． 例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1． 解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ． 令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ． 解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x ⎰+2cos 311． 解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分 这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6） （6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11． 解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。
几种特殊类型函数的积分
2
．
解 设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都 是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x
几种特殊类型函数的不定积分
cos x
1
tan2
2 x
u
tan
x 2
1 1
u2 u2
2
tan x
2 tan x 2
1 tan2 x 2
x 2u u tan 2 1 u2
令u tan x x 2arctan u 2
dx
1
2 u
2
du
R(sin x,cos x)dx
R
1
2u u2
M1x N1 ( x2 px q)k
(
x
M2 2
x N2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni都是待定的常数(i 1,2, , k).
为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，
同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系
补充例题5 求
解:
I
x
2x3 5x 4 5x2
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
(x2 1) (x2 4)
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
自主学习课本P151例4.3.4
x(
1 x
1)2dx
补充例题1
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
第三讲不定积分的计算方法演示文稿
方法:拆出个正\余弦的1次幂,再凑微分
第7页，共38页。
3.被积函数都是正\余弦函数的偶数次幂时:
• 目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低! 具体方法(公式):
cos2 x 1 cos x .
2
2
sin 2 x 1 cos x .
2
2
等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!
sin2 t cos2 t 1
变形: 1 sin2 t cos2 t
tan2 t 1 sec2 t
或变形: sec2 t 1 tan2 t
第33页，共38页。
例求20
a2 x2 dx (a 0) .
解: 令
x a sin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
1 sin2 t cos2 t
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cost
第8页，共38页。
三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n 时,
为假分式; m n 时,
为真分式
有理函数
相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
第9页，共38页。
之前的引
入例: 例1
令 x a sect，0 t ，则 d x a sect tan t d t，故
2
d x a sect tan t d t
x2 a2
a tan t
x x2 a2
t a
sect d t
ln | sect tan t | C1 ln | x x2 a2 | C. ( C＝C1 ln a )
利用特殊函数的性质求解不定积分
利用特殊函数的性质求解不定积分利用特殊函数的性质求解不定积分随着科技的不断发展，数学成为现代科学的重要基础，而积分作为数学的一个基本工具，在各个领域都发挥着重要的作用。
然而，求解不定积分并非容易的事情，常常需要运用多种方法和技巧。
本文将讨论利用特殊函数的性质来求解不定积分的方法，为读者提供一种更为简便的途径。
一、特殊函数的概念特殊函数是指在数学领域中具有特殊性质和应用的一类函数。
这些函数通常不是由基本初等函数组合而成的，但却常常用于广泛的领域，例如物理、工程、经济等。
因此，了解和掌握特殊函数的概念和性质对于掌握不定积分的方法具有重要意义。
二、常见特殊函数1. 常用特殊函数常用特殊函数包括伽马函数、贝塞尔函数、超几何函数等。
这些函数的性质和应用都非常广泛，有些特殊函数甚至在统计学、物理、工程和自然科学等领域都有应用。
2. 径向函数径向函数是一种具有特殊性质的函数族，常用于描述空间中的物理现象，例如量子力学和电磁学等。
常见的径向函数包括球贝塞尔函数、球贝赛尔函数、球面调和函数等。
3. 离散函数离散函数是一类具有离散变量的函数，通常用于描述统计学和信息学中的离散分布。
例如，狄利克雷函数和莫比乌斯函数等就是一种常见的离散函数。
三、利用特殊函数的性质求解不定积分利用特殊函数的性质求解不定积分，通常需要结合实际情况和具体的积分形式进行分析。
下面以伽马函数为例，探讨如何运用它的性质来求解不定积分。
伽马函数是一种具有特殊性质的函数，常用于求解复杂积分和微积分问题。
伽马函数的定义式为：$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt, {\rm Re}(z)>0$$其中，Re(z)表示z的实部。
现在考虑一个具体的不定积分，即：$$\int x^{n} e^{-x} dx$$利用伽马函数的性质，可以将上式变形为：$$\int x^{n} e^{-x} dx=\frac{1}{\Gamma(n+1)}\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-t} dt$$ 这里我们使用了积分变量替换法，将x换成了t。
几类特殊函数的不定积分
x(1
cot2 x)dx
csc2 xdx cot2 x csc2 xdx d(cot x) cot x 1 cot3 x C.
3
结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换.
例9
求积分
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
简单无理式的积分.
五、作业 P198: 1 (1)~(6), 2 (1)~(6).
思考题
将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答
分解后的部分分式必须是最简分式.
dt
(t2
b a2 )n
dt
(1)
n 1,
Mx N x2 px
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
Mx N
(2) n 1, ( x2 px q)n dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
1
(1 2x)(1