浅谈数学开放题及其教学设计

浅谈数学开放题及其教学设计
广州市番禺区新造职中广东广州杨慧君
【摘要】素质教育的核心是培养学生的创新能力,而学生的创新能力往往是在解决数学问题的过程中培养起来的,数学开放题正是为了培养学生的能力。

因此加强对数学开放题的研究就显得意义深远。

本文试图对数学开放题的教育价值、特征、含义、分类和教学设计作一论述，以期抛砖引玉。

【关键词】数学开放题教学设计
一、数学开放题的教育价值、特征和分类
大量的研究表明，数学开放题的教育价值在于培养学生对数学的积极态度，
在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建，在于能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程而不管他是属于何种程度和水平，在于能使学生经历知识再创造的过程，有助于学生创新意识和探索能力的养成。

数学题的作用首先表现在帮助学生熟悉和掌握数学知识，发展学生的智能。

由于教育选拔功能的需要，数学题的作用还表现在评价学生的学业成绩上。

因此，数学题就自然成为数学教学的中心，“问题是数学的心脏”，问题解决是数学教学的核心，这正是数学题重要性的表现。

现行中学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，实践表明封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，所以，研究数学开放题并运用于数学教学具有特别重要的现实意义。

从上面我们可以看到研究数学开放题的重要性，正所谓“知己知彼，百战不殆”。

所以我们就要对开放题有个充分了解才行，那究竟开放题又是怎样的一种题型？
关于开放题的含义，还没有统一的界定。

一般认为：条件不充分或结论不唯一的题目，称为开放题。

弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。

其实开放题是相对传统的封闭题而言的。

（一）数学开放题的特征
数学开放题一般具有以下特征：
（1）所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。

（2）没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多角度进行思考和探索。

（3）有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。

（4）常常通过实际问题的提出，主体必须用数学语言将其数学化，也是建立数学模型。

（5）在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。

（6）能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。

但是开放题是相对封闭题来而言的，在我们清楚开放题的特征后，为了让大家更清楚地区分开放题和封闭题，请看下面两个简单的数学问题。

问题1：数列2，4，8……成等比数列。

问题2：试写出公比3为的等比数列。

明显可以发现问题1的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题2的答案不是唯一的，我们称它为开放题。

所以我们可以看出一个题目是否开放，与该题目本身结构有关。

（二）数学开放题的分类
对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类，如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学的条件、解题策略或结论都要求解答者自行设定与寻找，则称为综合开放题。

对开放题的分类讨论，有助于理解问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，或者有利于有利于考试评分的可操作性与公平性。

为了让大家更清楚地区分开放题的各种类型，下面我们住逐一来看下面开放题的四种类型的题目。

1、条件开放题
这种类型的题目是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一，这类题常以基本知识为背景加以设计而成。

例1、（2002年全国高考文科题）
对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
（1）焦点在Y 轴上；
（2）焦点在X 轴上；
（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
（4）抛物线的通径长为5；
（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。

能使这抛物线方程为x y 102=的条件是 。

这题是探索条件型答案不唯一的开放题，但很常见，对每一层次的学生都能找到答案，因此大部分同学都会跃跃欲试。

2、策略开放题
这类题要求学生依据题目提供的题设信息，寻找切合实际的多种途径解决问题。

具体表现为一题多变、一题多解、引申推广等，从而使学生接受挑战，进入发现、创造的角色，具有较强的素质要求。

例2：已知0>x ，函数x x y 1+
=是否存在最值？若存在，请求出最值，若不存在，请说明原因。

学生很快能想到运用基本不等式，求得最小值为2.（此题满足运用基本不等式的条件“一正二定三相等”）
如果把“0>x ”改为“2≥x ”，此题又该如何求解？因为条件修改后已不满足运用基本不等式的第三个条件，x 不能取到不等式等号成立的值，那又该从哪入手？于是引出第二种解法：运用函数的单调性。

函数y=x+x
1
在（0，1）上是减函数，在[1,+∞）
上是增函数，在x=2时取得最小值。

如果把题目改为已知x>1，求函数y=x+1-x 1
的最小值。

这时，应想到拆项法，x=(x-1)+1,x-1>0,再考虑运用基本不等式，当且仅当x-1=1时等号成立，即x=2时，函数y 取得最小值，最小值为3。

通过引导学生对问题特征的差异和隐含关系等进行具体的分析，作出问题的联想，用不同的策略去处理和解决问题，培养学生思维的广泛性，深刻性，灵活性，独特性，从而培养学生的创造性思维。

3、结论性开放题
这种类型的题目是在给定条件下探索结论的多样性,基本解法是：根据命题的条件及所学的知识进行探索，常用分类讨论、等价转换、数形结合、试验等方法。

例3、某住宅小区内有一块空地，物业管理部门根据小区实际情况，设计出如图的娱乐场所：A B ⊥BC ，CD ⊥DE ，AE ⊥ED ，AC=a,BC=b 。

其中△ABC 为人们的活动场地，△AEB 和△CDB 为小花园。

问：若△ABC 和△CBD 相似，四边形AEDC 是什么四边形？为什么？
解：①当△ABC ∽△CDB 时，四边形AEDC 为矩形
∵△ABC ∽△CDB ∴∠CBD=∠ACB
∵∠CBD+∠BCD=900
∴∠BCD+∠ACB=900
∴∠E=∠D=∠ACD=900
∴四边形AEDC 为矩形
②当△ABC ∽△BDC 时， 四边形AEDC 为直角梯形或矩形
∵∠E=∠D=900
∴AE ∥CD
∵△ABC ∽△BDC ∴,AC BC
BC CD
=即则,2
a b CD =∠CBD=∠CAB
∵∠CBD=∠BAE
∴∠BAE=∠CAB
∴Rt △AEB ∽Rt △ABC ∴,AC AB AB
AE
=即,22a b a AE -= 若b a b a a b a b
a 2,2,222
22===-即则. ∴当b a 2≠时，即AE ≠CD 时四边形AEDC 为直角梯形
B A E D C
∴当b
时，即AE=CD时四边形AEDC矩形
a2
这类题目我们常常以答案个数的多少去衡量题目开放度的大小。

4、综合性开放题
对于这类问题，由于主体思考角度与经验背景不同，必然会提出多种多样的解题策略，得到各种不同的精确的或近似的、繁冗的或简练的、可推广的或难以推广的结论。

这样的问题的条件、解题策略与结论都呈现极大的开放性。

例4(1999年全国高考试题(文、理)第18题)
α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥ β，③n⊥β，④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。

该题是条件开放结论也开放。

四个论断都作为条件，剩余一个则是结论，条件和结论都不是固定的，而是可变的，解答该题时考生需要去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性。

例5、上海市出租车现行收费标准为：3公里以下（含3公里）收起步费10元，3公里以上至10公里（含10公里）部分每公里收费2元，10公里以上部分每公里收费3元。

如果小王所乘的公里数分别是①6公里，②15公里，那么他所需付出的出租车费用分别是多少？（为解题方便，途中等候费忽略不计。

）
这是一个从生活实际出发的应用题，它将“书本世界”与学生的“生活世界、经验世界”相互沟通，计算虽极其简单，但却需要根据不同情况分别求出所需费用。

如果对此应用题进一步增加设问：
③如果小王所乘的公里数为x，那么他所需付出的出租车费用是多少？
④如果小王从甲地乘出租车到乙地有18公里，而他有两种乘车方案，方案一：从甲地乘一辆出租车到达乙地；方案二：先从甲地上车，行驶到10公里处下车，再换乘另一辆出租车到达乙地，分两次付费。

试问：小王选择哪一种乘车方案省钱？
⑤甲、乙、丙三人合乘一辆出租车，并商定车费要合理分担。

如果甲在全程三分之一处下车，乙在全程三分之二处下车，丙一人坐到终点，全程共计车费48元。

你认为他们如何分摊车费比较合理？
那么上述应用题通过引用开放性设计后，就变成了一个综合性开放题，使得原本就有一定价值的实际问题更具有现实意义和可发展性。

上面几个例子，可以体会到数学开放题的优势：一方面，数学开放题的教学可以提高学生解决实际问题的能力；另一方面，在解决问题的过程中，学生会自己找出解决问题的新办法或策略，有时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，达到创造性地解决问题的效果，最终培养学生的创新能力和创造思维。

二、数学开放题的教学设计
研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育，充分发挥开放题的教育价值。

让开放题进入数学教学课堂，让学生解决开放题，是实现开放题教育价值的重要途径，一般来说，数学题的教学，有下面几个环节。

2、呈现问题
无论是条件性、策略性开放题，还是结论性、综合性开放性题，教师可以根据教学的需要，把握好时机，合理、适时的呈现各类开放题。

如：在“线面垂直和面面垂直的判定和性质”复习课中，教师可出示前面的“例4”。

这个问题的开放度比较大，又具有一定的层次性，尽管学生之间的能力有差异，但每个学生都能“做得出”，满足了各种层次学生的要求，再通过寻找规律，能使学生更进一步理解“垂直关系”的含义和有关解题方法，有利于达到复习目标。

2、研究问题
一般地，研究解决开放题的方法大致有：学生个别学习、小组讨论学习，班内组际交流学习和教师讲解等几种形式。

例如，在研究“例2”时，教师首先让每个学生根据自己的能力积极参与，独立完成这个题目，并鼓励学生充分利用开放题的多样性，找出多种答案。

由于该开放题的开放度比较大，所以每个学生都或多或少能获得几个答案。

这大大激发了学生的学习热情，每个学生在学习中都有一定的成就感，增强了学习数学的自信心。

接着进行小组交流，通过组内讨论，不同层次的学生集思广益，互通启迪，缩小了差异。

这样，借助于这个开放题的教学过程。

既为学生提供了充分发展个性的机会，又充分畅通了学生之间交流信息的渠道，有利于促进学生的思维活动。

3、小结问题
对开放题进行小结。

可以采用学生代表发言小结，也可以教师进行总结性发言。

小结是诱发学生产生顿悟，使认知结构产生质的飞跃的重要的步骤。

同时可以帮助学生去伪存真，纠正学生思维的偏差。

小结除了罗列一些可能的答案外，更重要是要归纳规律和提出有关问题之间的联系。

如能再适当提问，可以增加问题的开放度，又可以促进学生进一步思考、探索，把问题向课外延伸，使理论与实际紧密结合，做到“言尽意不尽”，真正达到教育的目的。

数学开放题的教学要注意以下几点：
(1)教师对于有关的问题，事先要作好充分的准备与估计，这样方能得心应手地对
付课堂内可能发生的发生的情况。

(2)课堂上要让学生自己去动手做，让学生充分的通过自己的思考，互相交流，互
相启发找出答案。

(3)启发要得当，要善于从学生正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定
成绩，指出不足，引导前进。

(4)开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到差生的解答水平，
又要鼓励优生去寻找更高水平更一般的解答，并力图使各种智力体验变成大家
的财富。

(5)教师是开放题教学的鼓励者。

要时刻当好学生的参谋，不断地启发、鼓励学生
大胆地探索，要了学生的心理，掌握学生的认知结构，充分发挥学生的主动性
和和积极性。

让学生能品尝“胜利的果实”。

同时教师要善于对学生开放题的解
答进行评价。

要学会观察、分析、归纳各种结论的正确性，并善于用简练的语
言抓住重点，总结规律，并能对具体问题有独到的见解。

(6) 开放题和封闭题在数学教学中应该并存而不是互相排斥，封闭题对于知识的
同化，培养学生的基本技能等具有重要的意义，数学开放题为高层次思维创新
了条件，但不是绝对的、唯一的。

没有一个问题，对所有学生来说，都能导致
高层次的思维，一个问题能否导致高层次思维，不仅和问题本身有关，还与个
人的经验有关。

【参考文献】
1．李学军《例谈数学教学中的开放题设计》数学教学》 1996年5月2．《数学开放题教学》数学通报 2003年10月
3．戴再平《数学习题理论》上海教育出版社
5．郑毓信《问题解决与数学教育》江苏教育出版社
6．曾安雄《高考填空题中的七类创新题》数学大世界 2003年5月。