2015年高考数学一轮总复习精品课件：第十一章 计数原理 11.2 排列与组合(共29张PPT)

11.2
排列与组合
第一页，编辑于星期五：十一点 十二分。
考纲要求
考纲要求
1.理解排列、组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能利用排列与组合解决简单的实际问题.
第二页，编辑于星期五：十一点 十二分。
3
梳理自测
1.排列与排列数:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“一个排列”是指
后面的每一个因数都比前面一个少 1,最后一个是 n-m+1,共 m 个连续
正整数相乘.当 m,n 较小时,可利用该公式计数;排列数公式还可表示成
A
=
!
(-)!
,它主要有两个作用:一是当 m,n 较大时,可利用计算器计算阶
乘数,二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时,写出这种形式更便于
发现它们之间的规律.
=792 种.不满足
条件的有:只去骨科和脑外科两科医生的选法有C75 =21 种,只去骨科和内科
两科医生的选法有C85 − C55 =55(种),只去脑外科和内科两科医生的选法有
C95 − C55 =125(种),只去内科一科医生的选法有C55 =1 种,故符合条件的选法
有:792-21-55-125-1=590(种).
主要有:位置优先法、元素优先法、间接计算法.
考点一
考点二
考点三
第十三页，编辑于星期五：十一点 十二分。
14
探究突破
举一反三 14 个男同学,3 个女同学站成一排.
(1)3 个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?
(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?
(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有 3 人,有多少种不同的排法?
(3)至少有一名队长包含两类:只有一名队长和有两名队长,故共有
5
5
4
3
C21 ·C11
+ C22 ·C11
=825(种),或采用排除法:C13
− C11
=825(种).
(4)至多有两名女生包含三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生.
故选法为
C52 ·C83 + C51 ·C84 + C85 =966(种).
第三页，编辑于星期五：十一点 十二分。
4
梳理自测
2.组合与组合数:“一个组合”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个
元素合成一组”,它是一件事情;“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数值.组合数公式的推导
要借助于排列数公式,公式C
=
(3)当 x=1,y=3 时,有C31 ·C43 ·C51 =60 种不同选法;
(4)当 x=2,y=1 时,有C32 ·C41 ·C52 =120 种不同选法;
(5)当 x=2,y=2 时,有C32 ·C42 ·C51 =90 种不同选法;
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探究突破
考点一 有限制条件的排列问题
【例 1】 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排
法种数:
(1)甲不在排头、乙不在排尾;
(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位;
(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻).
考点一
考点二
考点三
第十一页，编辑于星期五：十一点 十二分。
,
该公式说明,从 a1,a2,…,an+1 中取出 m 个元素的组合数C+1 可以分成两类:
-1
第一类含有元素 a1,共C 个;第二类不含元素 a1,共C 个.
第五页，编辑于星期五：十一点 十二分。
6
梳理自测
基础自测
1.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为(
A.A88 A29
B.A88 C92
C.A88 A27
)
D.A88 C72
关闭
运用插空法.先将 8 名学生排列,有A88 种排法;再把 2 位老师插入 8 名学生形成的 9 个
空中,有A29 种排法,因此共有A88 A29种排法.
关闭
A
解析
解析
答案
答案
第六页，编辑于星期五：十一点 十二分。
7
梳理自测
梳理自测
4.刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起
见,首尾一定要有两位爸爸,另外,两位小孩一定要排在一起,则这 6 人入园的
顺序排法共有
种.
关闭
先将两位爸爸排在首尾,再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列,最后将两
位小孩内部进行排列,故这 6 人入园的顺序排法种数共有A22 A33 A22 =24.
论证.
第四页，编辑于星期五：十一点 十二分。
5
梳理自测
-
3.组合数公式有两个性质:(1)C = C
,该公式说明,从 n 个不同元
素中取出 m 个元素与从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素是一一对应关系,
-1

实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系;(2)C+1
= C + C
a1<a2<a3,a3-a2≤6,则满足条件的集合 A 的个数为(
A.78
B.76
)
C.84 D.83
关闭
易知在满足 a1<a2<a3 的集合 A 中,仅有{1,2,9}不满足 a3-a2≤6,故满足条件的集合 A 的
个数为C93 -1=83.
关闭
D
解析
答案
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9
A2
考点一
考点二
考点三
第十二页，编辑于星期五：十一点 十二分。
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探究突破
方法提炼
对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进
行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”;
对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空
当,这种方法称为“插空法”;对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法
2.(2013 四川高考)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为
a,b,共可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是(
A.9
B.10
)
C.18 D.20
关闭
记基本事件为(a,b),则基本事件空间
Ω={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,
考点二
考点三
第十五页，编辑于星期五：十一点 十二分。
探究突破
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考点二 组合问题
【例 2】 某课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生
各指定一名队长.现从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?
(1)只有一名女生;
(2)两队长当选;
(3)至少有一名队长当选;
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探究突破
方法提炼
1.注意问题有无顺序要求,一般有序问题用排列,无序问题用组合;
2.有些复杂问题用直接法不好解决,往往选用间接法;
3.均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题
型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序
分组要除以均匀组数的阶乘数;还要考虑到是否与顺序有关,有序分组要在

1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有 20 个基本事件,而 lg a-lg b=lg ,其中基本事件(1,3),(3,9)和
(3,1),(9,3)使

lg 的值相等,则不同值的个数为
关闭Fra bibliotek20-2=18(个),故选 C.
C
解析
解析
答案
第七页，编辑于星期五：十一点 十二分。
8
梳理自测
3.设集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={a1,a2,a3}是 S 的子集,且 a1,a2,a3 满足
无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.
考点一
考点二
考点三
第十八页，编辑于星期五：十一点 十二分。
探究突破
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举一反三 2(2013 重庆高考)从 3 名骨科、4 名脑外科
和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科
和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 590 .
5
解析:方法一:从 12 名医生中任选 5 名,不同选法有C12
“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它是
一件事情,只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列;“排列数”是
指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是所
有不同排列的个数,是一个数值.
排列数公式A
= n(n-1)(n-2)…(n-m+1) ,右边的第一个因数是 n,
不同排法.
考点一
考点二
考点三
第十四页，编辑于星期五：十一点 十二分。
探究突破
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(2)先将男生排好,共有A44 种排法,再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个
空当中插入 3 个女生有A35 种方案,故符合条件的排法共有A44 A35 =1 440 种不
同排法.
(3)甲、乙两人先排好,有A22 种排法,再从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙
别插入原先排好的 4 人的空当中有A25 种排法.这样,总共有A44 A22 A25 =960 种
不同排法.
(5)从 7 个位置中选出 4 个位置把男生排好,则有A47 种排法.然后再在余
下的 3 个空位置中排女生,由于女生要按身体高矮排列,故仅有一种排法.这
样总共有A47 =840 种不同排法.
考点一
关闭
24
解析
答案
答案
第九页，编辑于星期五：十一点 十二分。
10
梳理自测
5.5 个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有
种(用数字作
答).
关闭
其余三个人站成一排有A33 =6 种,甲、乙两人插空有A24 =12 种,共 6×12=72 种.
关闭
72
解析
解析
答案
答案
第十页，编辑于星期五：十一点 十二分。
(2)可考虑直接排法:甲有 3 种排法;若甲排在第二位,则乙有 3 种排法;
甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排
法共有 3×3×1=9(种).
(3)可先排丙、丁有A24 种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理
4
A
满足条件的排列共有A24 ·1=12(种),或看作定序问题 42=12(种).
方法二:设选骨科医生 x 名,脑外科医生 y 名,
则需选内科医生(5-x-y)人.
考点一
考点二
考点三
第十九页，编辑于星期五：十一点 十二分。
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探究突破
(1)当 x=y=1 时,有C31 ·C41 ·C53 =120 种不同选法;
(2)当 x=1,y=2 时,有C31 ·C42 ·C52 =180 种不同选法;
(4)至多有两名女生当选;
(5)既要有队长,又要有女生当选.
考点一
考点二
考点三
第十六页，编辑于星期五：十一点 十二分。
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探究突破
解:(1)依题意,应选一名女生,四名男生,
故共有C51 ·C84 =350(种).
3
(2)将两队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有C22 ·C11
=165(种).
两人中间,有A35 种排法,这时把已排好的 5 人视为一整体,与最后剩下的两人
再排,又有A33 种排法,这样总共有A22 A35 A33 =720 种不同排法.
(4)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人,有A44 种排法;由于甲、乙要相
邻,故再把甲、乙排好,有A22 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分
(-1)(-2)…(-+1)
A

=
!
A
,其分子的组成与
排列数A
相同,分母是 m 个元素的全排列数.当 m,n 较小时,可利用该公式
计数;组合数公式还可以表示成C =
!
!(-)!
,它有两个作用:一是当 m,n
较大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和
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探究突破
解:(1)①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种
情况.
若甲排在排尾共有A11 A33 =6 种排法.
若甲既不在排头也不在排尾共有A12 A12 A22 =8 种排法,由分类计数原理
知满足条件的排法共有A11 A33 + A12 A12 A22 =14(种).
②也可间接计算:A44 -2A33 + A22 =14(种).
(4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法?
(5)女同学从左到右按高矮顺序排,有多少种不同的排法?(3 个女生身高
互不相等)
解:(1)3 个女同学是特殊元素,我们先把她们排好,共有A33 种排法;由于 3
个女同学必须排在一起,我们可视排好的女同学为一整体,再与男同学排队,
这时是 5 个元素的全排列,应有A55 种排法,由分步计数原理,有A33 A55 =720 种
4
(5)分两类:第一类女队长当选,有C12
种;
第二类女队长不当选:C41 ·C73 + C42 ·C72 + C43 ·C71 + C44 .
4
故选法共有C12
+ C41 ·C73 + C42 ·C72 + C43 ·C71 + C44 =790(种).
考点一
考点二
考点三
第十七页，编辑于星期五：十一点 十二分。