高中数学数列练习题

数列经典解题思路

求通项公式

一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999， (2)

,1716

4,1093,542,211 （3）

,52,2

1,32

,1

解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12

+=n a n

二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是

（ D ） (A)

122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n

例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，

公比10<

1+++=n n n

a a

b ，求数列

{}

n b 的通项公式。

)

1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、 叠加法 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。)

(52N n n a n ∈+=

点评：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++ 能进行求和，则宜采

用此方法求解。

例4. 若在数列

{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1

，求通项n a 。n a =32

)

1(+-n n

四、叠乘法 例：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

n a n 1=

点评：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a

类的通项公式，当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方

法。 五、Sn 法利用

1--=n n n S S a (n ≥2)

例5：已知下列两数列

}

{n a 的前n 项和sn 的公式，求

}

{n a 的通项公式。（1）13

-+=n n S n 。 （2）

12-=n s n ∴n a =3232+-n n 为所求数列的通项公式。⎩⎨

⎧≥-==)2(12)

1(0

n n n a n

点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 数列求和方法： 1. 公式法：

等差数列求和公式：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an ×q)/(1-q) (q ≠1) 2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 前后相加得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2 4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1 5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n 项和.

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。 7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n 项和。此时先将an 求出，再利用分组等方法求和。 8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并项） 求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n] 高考例题

1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22

5a ，2a =1，则1a =（B ） A.

21 B. 2

2 C. 2 D.2 【解析】设公比为q ,由已知得()2

2

8

41112a q

a q a q

⋅=,即2

2q

=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以

2q =,故2112

22

a a q =

==

,选B 2.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,

n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -+++=

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n -

【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 22

2=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a

2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.

3.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 ( B ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7

【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B 。

4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10

S