控制系统时域和频域描述

第2章 控制系统的时域和频域描述
验证上述解的正确性的方法是将其代入微分方程 中去 。例如,将式（2.37）代入方程（2.35） 中,并根据 Leibnitz法 则 , 得 到
对于矩阵情况,系统描述为
(2.38)
(2.39)
与标量的情况类似,方程两边同时乘以积分因子e-At,得到
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假设非线性系统的一般形式为
(2. 16)
F(X,U,t)包括系统所有的非线性项 。系统的状态变
量和输入可以表示成
第2章 控制系统的时域和频域描述
(2. 17)
X0为非线性系统的参考点处的状态和输入 。将式
（2. 17）代入式（2.16）,得到
(2. 18)
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将上式在参考点附近进行一阶Taylor展开,对于其 中第i个等式,其一阶近似为
(2.43)
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将其转化成离散状态方程形式
X［(k+1)T］=G(T)X(kT)+H(T)U(kT) (2.44) 其中,T是采样周期,G和H是常值矩阵 。为了方便,方程
（2.44）经常写成下面的形式
Xk+1=GXk+Huk
(2.45)
上述方程表示了系统状态随离散时间的迭代关系,如果
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（3）将上一步的矩阵展开，有
（4）得到Xa关于Xd 的解,将它代入到微分方程中
,可得
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（5）将新的系统写成标准形式
(2. 15)
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例2.4 将下面的系统表示成标准的状态方程形式。
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对于第j 个状态变量
其中,βj定义为
(2.7) (2.8)
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对于式（2.7） 和（2.8） ,可以得到式（2.6） 描述的 SISO系统的矩阵表示
其中
(2. 11)
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(2. 12)
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例2.2 将下面的三阶线性系统表示成标准的状态空 间形式。
(2. 1) (2.2)
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其中,F(X,t)表示系统所有的可变系数和非线性项。
一般而言,系统的输入、输出和状态变量具有不同的维 数 。为了得到系统的完整描述,定义
G(t)=BU(t)
(2.3)
B、C、D矩阵一般为非方阵,式（2. 1）可以写成
式（2.2） 可以写成
(2.4) (2.5)
度的要求 。在最新的算法中, 只要输入数值积分的容许 误差,积分算法将会自动调整计算的步长, 以满足计算精 度的要求 。MATLAB/Simu link中采用的变步长ODE求 解算法普遍采用的就是这类算法。
以上关于标量情况的讨论可以很容易地推广到矩阵 形式 。假设一维微分方程的一般形式是
(2.55)
第2章 控制系统的时域和频域描述
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22..11状状态态方方程程与与时时域域描描述述 22..22传传递递函函数数与与频频域域描描述述
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2. 1 状态方程与时域描述
2. 1. 1 控制系统的状态空间描述 连续动态系统状态空间的一般形式可以写成
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·Euler方法（矩阵情况）
其中 ·改进的Euler方法（矩阵情况） 预测计算
修正计算
(2.56)
(2.57) (2.58)
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其中
(2.59) (2.60)
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2. 1.7 实例 最后通过一个具体的例子来演示前述内容。
G和H矩阵都已知,就很容易通过计算机迭代计算系统在
各个时刻的状态值 。因此,下面的目标就是如何计算离 散状态矩阵的值。
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为此,首先假设输入U(t)为分段常值的函数, 即U(t) → Uk 。为了推导系统的离散表示, 引出前面讲述的连续
线性系统的解析解 ， 即
定义t= (k+1)T,并且t0=kT,有
(2.54)
第2章 控制系统的时域和频域描述
再进行修正计算
其中
x ′ k+1代表tk+1时刻第一次的预测值, tk+1代表修
正后的最优值。
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改进的Euler方法虽然算法简单,却展示了预测-修正 数值积分方法的主要思想 。我们还可以在计算过程中
自适应地调整Δt的大小,来同时满足计算精度和计算速
计算系统在平衡点处的Jacobian矩阵
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在参考状态XT0=［0 0］处,线性化系统为
而在参考状态XT0=［15 -5］处,线性化系统为
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2. 1.4 线性系统的解析解 下面将讨论如何计算一个状态方程描述的线性系
统的时域解 。在讨论过程中,读者可以看到,矩阵的指数 函数在系统解的计算中发挥了重要的作用。
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对于方程中含有代数方程的情况,可以通过一系列 的代数运算来降低系统的维数 。基本步骤包括：
（1）重新将方程排序,使得前n1个方程包含导数项,
后n2个方程仅包含代数项。 （2）使用矩阵重写原始方程（G=BU）
其中,Xd为包含导数项的状态向量,Xa为没有导数项
的状态向量。
解： 定义系统状态
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由
可得到
写成矩阵形式
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下面我们来验证第二个问题 。系统方程的特征根 可以写成
λ3+a1λ2+a2λ+a3=0 状态矩阵的特征值为
沿矩阵的第一行展开
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这里的det(A-λ I)称为特征方程 。可以看出,状态矩
解： 将系统方程写成矩阵形式
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上式具有以下形式
方程的解为 其中
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2. 1.3 非线性系统的线性化 实际上我们接触到的系统都是非线性系统,然而在
某个参考状态的某个有限范围内可以采用近似线性化 的分析方法 。下面将介绍如何对一般的非线性状态方 程进行线性化。
1.无输入的情况 首先考虑一个没有独立输入变量并且只有一个状 态变量的最简单情况 。系统描述
(2.24)
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假定解的形式为
x(t)=be44
将其代入原方程
(2.25)
方程的最终解为
x(t)=xoe" x(0)=b=x
(2.26)
对于矩阵的情况, 即系统含有一个以上的状态变量
写成矩阵形式
(2. 19)
(2.20)
其中,Jx (X0,U0)和Ju (X0,U0)是系统在参考点处的Jacobian
矩阵， 即 (2.21)
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系统在参考点附近同样有
(2.22) 将式（2.20）和式（2.22）代入式（2. 18）,得到
(2.23)
式（2.23）表示的是原非线性系统的线性化模型系
例2.6 二阶线性系统的一般形式为
将它写成状态方程形式,有
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其中 β0=b0 β1=b1-a1b0 β2=b2-a1b1+a21b0-
a2b0
x 1(0)和x2 (0)为系统的初始条件。
作为一个特殊的例子, 图2. 1显示的是一个简单的RLC电路。 电路的电压满足平衡方程
其中
ea=eL+eR+eC
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图2.1 简单的RLC电路图
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i ( t )代表电路中的电流 。将这些关系代入平衡方程 ，得
阵的特征值与特征方程的根相同。 方程（2.4） 的每一个方程中只含有一个导数项,称
之为标准形式 。然而对于一般的线性系统,在一个方程 中可能会包含多个导数项 。例如,下面的二阶系统
写成矩阵形式
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更为一般的形式是
两边同乘以E- 1,有
(E-1A)称为系统矩阵。
(2. 13) (2. 14)
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如果采用Δt=t-t0,有
(2.31)
综上所述,无输入线性状态方程的解为
X(t)=Φ(t)x(0)
(2.32)
其中, Φ(t)称为状态转移矩阵,它是下面方程的唯一解
(2.33)
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为了验证式（2.23） 确实是原系统方程的解,考虑
(2.34)
统 。新系统的状态矩阵为A+Jx (X0,U0), 同时新的输入矩 阵为B+Ju (X0,U0)。
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例2.5 计算下列矩阵表示的非线性系统在平衡点
(
)处的线性化模型。
解：首先计算系统的参考状态 。在平衡点处 从而
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得到两个平衡点的状态为
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例2. 1 将下面的二阶系统表示成标准的状态方程形式。
解： 写成标准的状态空间形式
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其中
式（2. 1）可以写成更一般的形式 ， 即
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2. 1.2 状态方程的创建
假设n维线性微分方程为
定义
(2.6)
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在t0与t时间区间内进行积分,从而有
最后,两边同时乘以eAt,得到 如果t0=0,则
(2.40) (2.41)
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同样,为了验证上述解的正确性,将它代入原系统方程
上述解也可以用状态转移矩阵来表示 例如,方程（2.41）采用转移矩阵表示为
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对积分方程更好的近似方法是假定方程在Δt时间
段内是线性（而不是常值） 的,这样得到下面的迭代关 系
(2.53)
式（2.53） 的问题在于计算xk+1时需要计算fk+1,一种 可能的解决方法是首先得到xk+1和fk+1的预测值,然后根据 情况对xk+1进行修正, 以改进第一次得到的预测值 。这种
方法也称为预测-修正方法 。计算步骤为先进行预测计 算
1．Euler方法（标量情况） 考虑一般的一阶微分方程
(2.51)
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在Euler方法中,我们假定方程（2.51） 的右边在某
个时间段Δt=tk+1-tk保持常值 。这样,方程（2.51） 的积分
方程可以写成
或者 (2.52)
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2． 改进的Euler方法（标量情况）
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2. 有输入的情况 首先考虑标量（只有一个状态变量） 的情况 。系 统的状态方程为
0-0-0
方程两边同时乘以积分因子
(2.35) ,得到
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将方程在t0与t的区间内进行积分,有
最后,两边乘以eat,重新整理方程得 如果t0=0,则
(2.36) (2.37)
引进新的变量η,使得τ= η+kT或者η= τ-kT,从而 dη=dτ (k+1)T-η-kT=T-η U(η+kT)=U(kT)=Uk
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可以得到 由于
得到最后的解
(2.46)
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将它与式（2.45）进行比较,最后得到G和H矩阵的
计算公式
(2.27)
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与标量情况类似,假设解的形式为
X ( t ) = eMB
代入式（2.27） ，得
(2.28)
由初始条件X(0)=B=X0得
X(t)=e"x
(2.29)
以上结果也可以表示成不同的形式 。例如,可以以
t=t0为初始条件重新计算,则式（2.29）变为
(2.30)
如果将G按照指数公式展开,有
则可以得到H的展开形式
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2. 1.6 状态方程的数值积分 在对系统状态方程进行仿真中除了使用上面讲述
的矩阵指数函数方法外,还可以采用直接对状态方程进 行积分的方法 。采用直接积分方法的优点在于它可以 很容易地处理时变和相对复杂的非线性系统。
解： 按照前面介绍的方法
第2章 控制系统的时域和频域描述
定义
其中
பைடு நூலகம்
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因此
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例2.3 将下面的系统转换成标准状态空间形式。 (注意到该系统方程右边没有输入的导数项, 因此得到的 系统矩阵的特征值与给定三阶方程解的特征方程的特 征根相同 。)
2. 1.5 线性系统的离散化 正如上面讨论的那样,在对实际系统进行分析和仿
真之前,往往需要首先采用计算机计算出系统的解的情 况 。在高维动态系统的计算机仿真中一般采用两种方 法,包括线性系统解析解的离散化和适用于任何系统的 数值积分技术。
系统离散化的目标是将线性系统的连续状态方程描 述转化成离散形式 。假设系统状态方程为