《平面向量的数量积》教学设计

《平面向量的数量积》教学设计
《《平面向量的数量积》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
作业内容
知识梳理
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作→(OA)=a，→(OB)=b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
2.平面向量的数量积
定义：设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b.
3.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论符号表示坐标表示模|a|=|a|=1(2)夹角cosθ=|a||b|(a·b)cosθ=2(2)a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤)(2)概念方法微思考
两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗?
提示不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是2(π).(×)
(2)由a·b=0可得a=0或b=0.(×)
(3)(a·b)c=a(b·c).(×)
(4)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(×)
题组二教材改编
2.已知向量a=(2,1)，b=(-1，k)，a·(2a-b)=0，则k=________.
答案12
解析∵2a-b=(4,2)-(-1，k)=(5,2-k)，
由a·(2a-b)=0，得(2,1)·(5,2-k)=0，
∴10+2-k=0，解得k=12.
3.已知|a|=2，|b|=6，a·b=-6，则a与b的夹角θ=________.
答案6(5π)
解析cosθ=|a||b|(a·b)=2×6(3)=-2(3)，
又因为0≤θ≤π，所以θ=6(5π).
题组三易错自纠
4.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
5.已知矩形ABCD中，|→(AB)|=6，|→(AD)|=4，若点M，N满足→(BM)=3→(MC)，→(DN)=2→(NC)，则→(AM)·→(NM)等于()
A.20
B.15
C.9
D.6
答案C
解析因为ABCD为矩形，建系如图.A(0,0)，M(6,3)，N(4,4).
则→(AM)=(6,3)，→(NM)=(2，-1)，
→(AM)·→(NM)=6×2-3×1=9.
6.(多选)在△ABC中，→(AB)=c，→(BC)=a，→(CA)=b，在下列命题中，是真命题的为()
A.若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0，则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b，则△ABC为等腰三角形
D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0，则△ABC为直角三角形
答案BCD
解析①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误;②若a·b=0，则→(BC)⊥→(CA)，△ABC为直角三角形，B正确;③若a·b=c·b，b·(a-c)=0，→(CA)·(→(BC)-→(AB))=0，→(CA)·(→(BC)+→(BA))=0，取AC的中点D，则→(CA)·→(BD)=0，所以BA=BC，即△ABC为等腰三角形，C正确;④若(a+c-b)·(a+b-c)=0，则a2=(c-b)2，即b2+c2-a2=2b·c，即2|b||c|(b2+c2-a2)=-cosA，由余弦定理可得cosA=-cosA，即cosA=0，即A=2(π)，即△ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD.
7.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=________.
答案 2
解析方法一|a+2b|=
=
=
==2.
方法二(数形结合法)
由|a|=|2b|=2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a+2b|=|→(OC)|.
又∠AOB=60°，所以|a+2b|=2.
平面向量数量积的基本运算
例1如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠BAD=4(π)，若→(AB)·→(AC)=2→(AB)·→(AD)，则→(AD)·→(AC)=________.
答案12
解析方法一(几何法)
因为→(AB)·→(AC)=2→(AB)·→(AD)，
所以→(AB)·→(AC)-→(AB)·→(AD)=→(AB)·→(AD)，
所以→(AB)·→(DC)=→(AB)·→(AD)，
因为AB∥CD，CD=2，∠BAD=4(π)，
所以2|→(AB)|=|→(AB)|·|→(AD)|cos4(π)，
化简得|→(AD)|=2.
故
→(AD)·→(AC)=→(AD)·(→(AD)+→(DC))=|→(AD)|2+→(AD)·→(DC) =(2)2+2×2cos4(π)=12.
方法二(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m+2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，
则由→(AB)·→(AC)=2→(AB)·→(AD)，
得(n,0)·(m+2，m)=2(n,0)·(m，m)，
所以n(m+2)=2nm，化简得m=2.
故→(AD)·→(AC)=(m，m)·(m+2，m)=2m2+2m=12.
思维升华平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
跟踪训练1(1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB=3，BD=1，则→(AB)·→(AD)=________.
答案2(15)
解析如图所示，→(AB)·→(AD)=→(AB)·(→(AB)+→(BD))=9+3×cos120°=2(15).
(2)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，且∠DAB=90°，AB=2，AD=1，若点Q满足→(AQ)=2→(QB)，则→(QC)·→(QD)等于()
A.-9(10)
B.9(10)
C.-9(13)
D.9(13)
答案D
解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y
轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
又→(AQ)=2→(QB)，∴Q，0(4)，
∴→(QC)=，1(1)，→(QD)=，1(4)，
∴→(QC)·→(QD)=9(4)+1=9(13).故选D.
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