统计学中的几个问题

记者
一八 一二 一0 九 四 二
第一选择 A B四 C二九 D E E
第二选择 D
E
B CBC
第三选择 E
D
E
EDD
第四选择 C
C
D BCB
第五选择 B
A
A AAA
逐论选举
采用这种方式的有
奥斯卡奖评选 爱尔兰议会选举， 澳大利亚上院选举
博尔达记分法
规则：对每种选择赋予一定分值，然后累加出总分 值，以最高分者获胜。一八世纪法国数家博尔达首 先提出，故命名之。
药物 安慰剂
试验次数 三00 五四0
成功次数 二四六 四五四
平均 八二% 八四%
辛普森悖论
以上三个悖论的实质是相同的。这类问题在二0实际 初就有人讨论。
一九五一年E.H.辛普森在他发表的论文中，对此现象 进行了正式描述。于是，就把这类悖论统称为“辛 普森悖论”
这类悖论表明这样一个事实：在某些情况下，在分 组比较中都占优势的一方，会在合并后的总评中成 为失势的一方。
数值。如果数值有奇数个，则中位数就简单取中间 项的值。如果有偶数项，中位数往往取中间两项的 算术平均 众数：数项中出现次数最多的值
平均数的陷阱
算术平均容易受少数极端数值的影响，事实上，很 多和钱有关的分布，如收入房价财富等，都有很强 的右偏现象，用算术平均往往会给人以歪曲的印象。
从统计角度看，用中位数和众数表达，最大的好处 是不受两头的影响。对一些有偏的分布，用中位数 和众数往往能更好地反映情况。一般而言，有关收 入的统计若用中位数和众数来表述，较为公平。
魔术家的数魔术
魔术家大卫.科波菲尔提出一个数魔术：只要走动一 个人，就可以使整整两个国家增加他们的平均国民 收入
请你想想，为什么？
魔术家的数魔术
大卫.科波菲尔的方法： 比如韩国与朝鲜，韩国的人均年收入是二三000美元， 朝鲜的是一000美元，现在一位年收入二0000美元的 韩国人调到朝鲜工作，年薪不变。这样两个国家的人 均收入都得到提升。
第四选择 C
C
D BCB
第五选择 B
A
A AAA
逐论选举
如此原来支持D的记者将把票投给C 第三轮淘汰B
记者
一八 一二 一0 九 四 二
第一选择 A B四 C二九 D E E
第二选择 D
E
B CBC
第三选择 E
D
E
EDD
第四选择 C
C
D BCB
第五选择 B
A
A AAA
逐论选举
第四轮支持B的一六名记者将把票投给C，于是，C 将有三七张票，成为胜者。
现在讨论的问题是曹雪芹的写作风格，那么母体应 该是曹雪芹的写作风格，《红楼梦》是样本。陈炳 藻教授搞错了
陈大康
《红楼梦》作者考证
陈大康教授逐字逐句地点：《 红楼梦》全书中 “之”“乎”“者”“也”各出现了多少次，五字 句六字句各 有多少……这个工作我做了一年多
在同义词的使用上两个人不一样。比如说“我索性 怎么样”，还有一种说法是“我越性怎么样”。 “越性”“索性”是一对同义词，但是在前八十回 里用的是“越性”，在后四十回用的是“索性”， 类似这样的同义词陈大康教授找到二七对
记者
一八 一二 一0 九 四 二
第一选择 A
B
C DEE
第二选择 D
E
B CBC
第三选择 E
D
E
EDD
第四选择 C
C
D BCB
第五选择 B
A
A AAA
结论
分别看每一种选举方式，都有道理。但按照不同的 选举方式，得到的选举结果却是人人都可以当选。
《红楼梦》作者考证
美国威斯康星大的陈炳藻教授，他利用概率论的方 法研究《红楼梦》中虚字 的出现规律，得出一个结 论：《红楼梦》后四０回也是曹雪芹写的
平均数的陷阱
北京市统计局关于公布二0一一年度北京市职工平均 工资的通知 京人社规发二0一二八七号 二0一二年0四 月0六日 各有关委办局，各控股集团公司企业集团公 司，各区县人力资源和社会保障局各社会保险经代办 机构： 现将二0一一年度全市职工平均工资公布如下： 二0一一年度全市职工平均工资为五六0六一元， 月平均工资为四六七二元，比上年增长一一.二%。 凡按二0一一年度全市职工平均工资计算的事项，均按 本通知标准执行。
男婴的比例
一个小镇有大小两所医院。在大医院里每天大约有 四五个婴儿出声，在小医院里每天大约有一五个婴 儿出声。我们知道，大约有五0%的婴儿是男孩。当 然，真正的百分比每天都不一样，有时候高于五0%， 有时候低于五0%。在一年的时间里，每一所医院都 记录了出声的男孩比例高于六0%的天数。你认为哪 一个医院记录的天数多？大医院小医院，还是基本 一致？
支持率与抽样调查
这里使用的样本是一种自发性回应样本，是有人们 自行决定要不要回应。
自愿回答的本性就是吸引那些对问题的真论具有强 烈感情，特别是负面感情的人。
样本中不要孩子的父母百分比远大于全体父母中不 要孩子的百分比
这是一种有偏差的样本，不能代表总体情况
支持率与抽样调查
有人对此有进行了一次科的抽样调查，结果发现九 一%的父母还会再要孩子。
把《红楼梦》按回分成三组A组：一～四０回 B组： 四一～八０回C组：八一～一二０回，每组随机抽取 两万字，加上《儿女英雄 传》中随机抽取的两万字 D组，总共八万。统计了一四个指标之后，他发现 ABC三组 是一样的，和D组不一样。于是结论是前面 三组是一个人写的
《红楼梦》作者考证
原理是对的，但陈炳藻教授的样本选取有问题。他 是把《红楼梦》作为母体，那几万字作为样本；
对于从随机样本算出的统计量的表现，总体的大小 影响是很小的。
录取率悖论
一所美国高校的两个院，分别是法院和商院。新期招声后， 人们对两个院的男女声录取情况做了如下统计：
法院
性别
录取
拒收
总数
录取比例
男声 八
四五
五三
一五.一 %
商院
女声
性别
五一
录取
一0一 一五二 三三.六
拒收
总数
%录取比例
男声 二0一 五0 二五一 八0.一%
统计的波动
补充这个团体略而不言的一个事实：等候被处决的 女死刑犯人数自有七人，而等待处决的男死刑犯数 目多达二四00人。
支持率与抽样调查
支持率与抽样调查
支持率与抽样调查
美国咨询专栏作家安妮.兰德斯每隔两三年就要进行 一次自愿回答的调查，让她的读者回答一个有争议 的问题。如在一九七二年第一次调查中她问：“假 如你能重新选择的话，你是否还会要孩子？”在接 近一0000个回答中，大约七0%回答是“不”，许多 人在回答中还加进动人的故事，讲述抚养孩子种种 苦楚。这个结果是否能真实反映全体父母的情况呢？
主。每位记者对这五为候选球员的喜爱程度进行了排序，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如下表
记者
一八 一二 一0 九 四 二
第一选择 A
B
C DEE
第二选择 D
E
B CBC
第三选择 E
D
E EDD
第四选择 C
C
D BCB
第五选择 B
A
A AAA
简单多数票选举
规则：以最多票者为胜者 上例中A是胜者 许多国家总统选举，国会议员选举等都采用这种选
平均数的陷阱
厂长解释说：我们工厂里共有二0人，我厂长每个月 四000元，四个管理人员，没人每月二000元，剩下 一五个像你这样的工人，没人每月八00元。你算算 看，没人的平均工资是不是一二00元？我们的招工 启事上的承诺就是这样的，一点错都没有呀。
平均数的陷阱
算术平均：总值除以总项数 中位数：把数据按大小顺序排列，处于中心位置的
举制。 问题：选出的候选人票数可能低于半数，上例中A只
有一八票，占总票数的三二.七%。这不符合“大多 数原则”
两轮选举
规则：第一轮“海选”，然后再得票前两名之间进 行第二轮选举。
上面的例子中，第一轮选举后剩下A与B。在第二轮 的选举中，A将获得一八票，而B将获得余下的三七 票，结果是B当选。
平均数的陷阱
值此岁末年初之际，各行各业职工一年来薪酬几多， 是社会广泛关注的话题。放眼三百六十行，银行业 无疑是高收入行业。二0一0年度，一六家上市银行 职工人均年收入八.四三万元。其中，浦发银行人均 年收入最高，达二四.四二万元。据了解，二0一一 年度银行职工薪酬增长幅度较大。初步估算，一六 家上市银行二0一一年度职工总数为一八二六六0五 人，人均收入达到一二.二七万元。
逐论选举
规则：进行多轮投票，每轮淘汰一名得票最少的。
在上面的例子中，第一轮将淘汰E，第二轮中原来把E作为 第一支持的六名记者转投别人，其中四人投B，三人投C。 第二轮淘汰D。
记者
一八 一二 一0 九 四 二
第一选择 A B一六 C一二 D E E
第二选择 D
E
B CBC
第三选择 E
D
E EDD
A班男声 A班女声 B班男声 B男女声
及格 一八 二0 二六 一三
不及格 二 一0 四 七
总数 二0 三0 三0 二0
及格率 九0% 六六.七% 八六.七% 六五%
及格率悖论
两个班全体声的及格率
及格
总数
A班
三八
五0
B班
三九
五0
及格率 七六% 七八%
药效悖论
某研究单位研究出一种新药，为了检验药是否有效， 人们对一组病人进行试验。试验中，给予一些病人
支持率与抽样调查
第一次科性的抽样方法出现在美国爱荷华州，创始人盖洛 普一九0一~一九八四，在读博士的时候创建了一种抽样方 法
一九三六年罗斯福与共和党的兰登竞选总统，当时，《文 摘》杂志进行了民意调查。指导思想是：样本越大，结果 越准确。在全国的电话号码薄和汽车登记薄上找出越一 000万选民，进行了大规模的舆论调查，对其中约二00万 名选民的回答结果进行了分析后得出：兰登将以压倒性的 优势获胜。
在上例中，对第一选择至第五选择分别记五四三二 一分，则A的得分是：一八×五一二×一一0×一九 ×一四×一二×一=一二七；B：一五六；C：一六二； D：一九一；E：一八九.
D当选 在体育中，多采用这种方式以排出参赛队伍的名次。
鹰派对决
规则：让两个候选人之间进行表决。 E: A=三七：一八 E:B=三三：二二 E: C=三六：一九 E:D=二八：二七 E当选
为什么？在数上怎样解释？
选举与选举方式
民主选举的最基本原则是“多数选举”，即获得多 数票的候选人当选
选举的结果与选举制度有很大关系 在选民的“偏爱”不变，只要改变了选举方式，就
会选出不同的赢家
每年一次的足球界的金球奖评选，假设五五位记者要从五 个候选球员记为A,B,C,D,E中选出一位为该年度的金球奖得
真正的新药，而其余病人则给以“安慰剂”不含药 物的药片，结果如下：
药物 安慰剂
试验次数 一00 四0
成功次数 六六 二四
平均 六六% 六0%
药效悖论
另一位研究者对更大的病人组重复了这一试验，结 果如下
药物 安慰剂
试验次数 二00 五00
成功次数 一八0 四三0
平均 九0% 八六%
药效悖论
两位研究者对发现感到非常兴奋，决定把他们的数 据合并起来公布结果，但是他们困惑地看到了最意 想不到的结局。
盖普洛的样本小很多，他分析的结果是：罗斯福将以五五. 七%的投票率获胜
支持率与抽样调查
科的抽样的基本思想是：让没有个人因素的客观的 机遇来选择样本，即用随机选取样本来消除偏差。 现在专业的民意调查和其它一些抽样调查，都是采 用随机抽样。
随机抽样的样本大小只要在一000~一五00间就足够 大了
女声 九二 九
一0一 九一.一 %
录取率悖论
从这两个表格看，女声在两个院都被优先录取了。 即女声的录取率较高。
把数据汇总，再看
性别
录取
拒收
总数
录取比例
男声
二0九 九五
三0四 六八.八 %
女声 一四三 一一0 二五三 五六.五 从总体看女声的录取率反而较低了，为%什么？
及格率悖论
A,B两班各有五0名声，其中，A班二0名男声，三0 名女声；B班三0名男声，二0名女声.两个班参加同 一次测试，测试结果如下：
统计中的几个问题
平均数的陷阱 样本与总体 辛普森悖论 选举与选举方式 名额分配
平均数的陷阱
小李大毕业了，他需要找一份合适的工作。一天， 他看到一个小厂的招工启事。其中工资一项工厂承 诺：所有人员平均工资一个月一二00元。小李觉得 这个报酬还可以，于是去应聘并成为这个工厂的一 员。
工作一个月后，小李领到了工资，自有八00元。气 愤的小李去找厂长问原因。
统计的波动
正确答案是：小医院 样本的大小对统计的波动影响很大 在其他因素保持不变时，较大的样本总是能够更精
确的估计出总体的情况，样本越小，波动就越可能 出现
统计的波动
有一个男性团体对女性歧视，想证明女人对男人有 多坏。这个团体找到了一个数据，对这个数据他们 是这样陈述的：在等待处决的女死刑犯中，一半是 因为谋杀了亲夫，而等待处决的男死刑犯中，只有 三分之一是因犯了杀妻罪。