(完整word)2019年高考真题数学(浙江卷)word版含答案,推荐文档

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2019年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共 4页，选择题部分1至2页；非选择题部
分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意:
1 •答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷 和答题纸规定的位置上。

2 •答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在 本试题
卷上的作答一律无效。

示台体的咼
其中R 表示球的半径
选择题部分(共40分)
、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是
符合题目要求的。

B .
0,1 参考公式： 若事件A , B 互斥，则P(A B) P(A) P(B) 若事件A ,
柱体的体积公式V Sh
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式V ^Sh
3
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式 2
S 4 R
球的体积公式
1.已知全集U
1,0,1,2,3，集
1,0,1 ，则 e u AI B =
C .
1,2,3
1,0,1,
3
2•渐近线方程为x± y=0的双曲线的离心率是
_2
~2
3 •若实数x, y满足约束条件3x y
4 0，则z=3x+2y的最大值是
D • 12
C. 10
4 •祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家
•他提出的“幕势既同，则积不容易”称为祖暅原理,
利用该原理可以得到柱体体积公式
V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高•若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
x 3y 4 0
A• 158 B• 162
C• 182 D • 32
5•若a> 0, b>0，则“ a+b w 4”是“ ab w4” 的
A •充分不必要条件
B •必要不充分条件
C •充分必要条件
D •既不充分也不必要条件
1
6•在同一直角坐标系中，函数y =匚,y=log a(x+), (a>0且a^0)的图像可能是
a
B C D
7.设O v a v 1,则随机变量X 的分布列是
则当a 在（0,1 ）内增大时 A . D （ X ）增大
B . D （ X ）减小
C .
D （ X ）先增大后减小
D . D （X ）先减小后增大
8设三棱锥V-ABC
的底面是正三角形，侧棱长均相等，
P 是棱VA 上的点（不含端点），记直
线PB 与直线AC 所成角为a,直线PB 与平面ABC 所成角为3,二面角P-AC-B 的平面角
X,
X 9. 已知 a,b R ，函数 f (x)
1 3 x 3
有三个零点，则 A . a<-1, b<0 C . a > -1, b > 0
10. 设 a , b € R ，数列｛a n ｝中 a n =a , a n+1=a n 2+b , b N ,则
B .当 b=, a 10> 10
D .当 b=-4 , a 10 > 10
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。

1 、
11. -------------------- 复数z _______________________ （为虚数单位），则| z|= .
1 i
12. 已知圆C 的圆心坐标是（0,m ），半径长是 若直线2x y 3 0与圆相切于点 A （ 2, 1）,
B . 3< a,
3< Y
D . a < 3, Y 3 0
如
1)x 2 ax, x
0，若函数
y f （x ） ax b 恰
B . a<-1 , b>0
D . a > -1 ,b<0
为Y 则
A . 仟
Y, a <
Y
C
. 3< a, Y a
A .当 b=, a 10 > 10
贝y m = __ , = ______ .
13.在二项式（恵 x）9的展开式中，常数项是___________ ,系数为有理数的项的个数是__________
14 .在△ ABC 中，ABC 90 , AB 4 , BC 3，点D 在线段AC 上，若BDC 45 ,
则BD ___ , cos ABD _________ .
2 2
15•已知椭圆—乂1的左焦点为F，点P在椭圆上且在轴的上方，若线段PF的中点在
9 5
以原点O为圆心，|OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ________________ .
16•已知a R，函数f(x)t R，使得|f(t 2) f(t)|2
ax x，若存在-，则实数的
3取大值疋
17 •已知正方形ABCD的边长为1 , 当每个曲1,2,3,4,5,6)取遍1时，
uuu uuu UJU UUU UUT UUU
| 1AB 2BC3CD4DA 5AC6BD |的最小值是,最大值是
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. （本小题满分14分）设函数f（x） sinx,x R .
（1）已知[0,2 ）,函数f （x ）是偶函数，求的值；
（2）求函数y [f （x —）]2[f（x -）]2的值域.
12 4
19. （本小题满分15分）如图，已知三棱柱ABC A i B1C1 ，平面AiAC1C 平面
ABC, ABC 90，BAC 30,AA AC AC,E,F 分别是AC，A1B1 的中点.
（1）证明：EF BC ；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
20.（本小题满分15 分）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，a3 4，a4 S3，数列｛b n｝满足:
对每个n N ,S n b n ,S ni b n ,S n 2 b n 成等比数列
(1 )求数列{a n },{ b n }的通项公式;
(2)记 C n ,n N ,证明：G C 2+L C n 2、n,n N.
2
21.(本小题满分15分)如图，已知点F(1,0)为抛物线y 2px(p 0)，点F 为焦点，过点
F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得 △ ABC 的重心
G 在x 轴上，直 线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧•记△ AFG ,△ CQG 的面积为S i ,S 2. (1 )求p 的值及抛物线的标准方程； (2 )求§的最小值及此时点 G 的坐标.
S 2
注：e=2.71828…为自然对数的底数
已知实数a 0，设函数 f(x)二alnx _ x 1,x
0.
(1 )当 a
3
时，求函数f(x)的单调区间;
(2)对任意
)均有f(x))求的取值范围.
2a
22.(本小题满分
2019年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)
数学参考答案
三、解答题：本大题共 5小题，共74分。

18 •本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分
14分。

(I )因为f (x ) sin(x )是偶函数，所以，对任意实数x 都有
sin(x ) sin( x ),
即 sin xcos cosxsin sin xcos cosxsin , 故 2sin xcos 0 , 所以cos 0 •
又
[0,2
n ,
因
此
丄或 2 2
2 2
n n
2
n .2 n
(n )y f
x — f x — sin x 一
sin x —
1
2 4
12
4
1 cos 2x n
1 n
cos 2x —
6
2 , 1
3 . c
1
cos2x sin2x
2
2
2
2 2
1 .3 co s
2x
n
2
3
、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题
4分，满分40分。

1. A
2. C
3. C 6. D
7. D 8. B
10. A
、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题
6分，单空题每题4分，共36分。

12. 2, ,5 13. 16、一2,5
14.虫！三
5 10
2
因此，函数的值域是[1 ,1丄?].
2 2
19•本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：
(I)连接A i E，因为A i A=A i C, E是AC的中点，所以A i E丄AC.
又平面A i ACC i丄平面ABC, A i E 平面A i ACC i,
平面A i ACC i门平面ABC =AC,
所以，A i E丄平面ABC，则A i E丄BC.
又因为A i F // AB,/ ABC=90 ° 故BC 丄A i F.
所以BC丄平面A i EF.
因此EF丄BC. 1菊19题图
(n )取BC中点G,连接EG , GF，则EGFA i是平行四边形. 由于A i E丄平面ABC，故AE i丄EG,所以平行四边形EGFA i为矩形. 由(I)得BC丄平面EGFA i，则平面A i BC丄平面EGFA i, 所以EF在平面A i BC上的射影在直线A i G上.
连接A i G交EF于0,则/ EOG是直线EF与平面A i BC所成的角(或其补角) 不妨设AC=4,则在RtM i EG中，A i E=2 ,3 , EG= .
由于0为A i G的中点，故E0 0G
2 2
if
3
因此，直线EF 与平面A i BC 所成角的余弦值是 -.
5
所以cos EOG
EO 2 OG 2 EG 2
3
2E0 OG 5
方法
连接A I E,因为A i A=A i C, E是AC的中点，所以A i E丄AC.
又平面A i ACC i丄平面ABC, A I E平面A I ACC I,
平面A I ACC I A平面ABC=AC，所以，A I E丄平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC, EA I为y, z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E —yz.
不妨设AC=4,则
BiC-3,3,2. 3) , F^^,-,^.3) , C(0, 2, 0).
2 2
因此，EF e^,-,2.3)，BC ( ,3,1,0).
2 2
uuu uuu
由EF BC 0得EF BC •
20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算
求解能力和综合应用能力。

满分15分。

(I)设数列｛a n｝的公差为d,由题意得
a 1 2d4,
印
3d3印3d ,
解得
a1
0,d 2 .
从而a n 2n2,n*
N .
由S n b n , S n 1b
n
,S n 2 b n成等比数列得
S n 1
2
b n S n
b n S n 2 b n •
解得
b n1S21
d
S n S n 2 •
所以
b n 2 n n,n
* N .
A i ( 0, 0, 2 ,3),
B ( .3 , 1, 0),
我们用数学归纳法证明.
(1 )当门=1时，C i =0<2，不等式成立;
(I )由题意得—1,即p=2.
2
所以，抛物线的准线方程为 x=-1.
2 t 2 1
y
t
y 4 0,
故 2ty B
4，即
Y
B
所以B 1
~~2
，
2
t
t t
又由于
1 X G
1 X A X B X C ，Y G
1
3
Y A Y B Y C 及重心G 在x 轴上，故
2
2t — y c 0 ，得C
1
2
1 t ,
2 - t ,G 2t 4 2t 2 2
,0 .
t
t t
3t 2
所以，直线AC 方程为y 2t 2t x t 2，得Q t 2
1,0
2n 2 2n(n 1)
' n(n 1)
n 1 ,n
(2)假设n 时不等式成立，即 C i
c 2 L C h 2k .
那么，当
k 1时,
c k
c k 1
k (k 1)(k 2)
即当n
2、、k
2(..厂、、k)
k 1时不等式也成立.
根据(1 )和(2),不等式q
c 2 L
Cn 2・、,n 对任意n N 成立.
21.本题主要考查抛物线的几何性质, 直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算
求解能力和综合应用能力。

满分
15分。

(n)设 A X A , y A ,B X B , y B ,C
X C , y c ，重心 G X G , y G •令 y
2
2t,t 0,则 X A t .
由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为x
t 2 1 r y
1，代入y 2
4x ，得
2b n
a n
由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2
2 .从而
s S 2
1
2IFG| 和 2
―2―2 1 |2t|
3t^ 1 1
2t 4 t 2
s S 2
2|QG| |y c |t
4
2
2t 2t 2 3t 2
2 I 彳
2t|
t 2 2 t 4 1
2
t 2，则 m>0,
m m 4m 3
1
1
(2, 0). 1 ~~3_— m 4
m
时，取得最小值1 —3
，此时G S 2 2 22 •本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用 能力。

满分15分。

(I)当 a -时，f(x) 3lnx iF^X, x 0 •
4 4 3 f '(x)忑
2" x (,1 x 2)(2.1 x 1) 4xj1 x 所以, 函数f(x)的单调递减区间为(0, 3)
，单调递增区间为(3, + )•
当0 a
时，f(x)
等价于 2
-
4 2a
a
1
令t
，则t 2 2 •
a
设 g(t) t 2 一 X
2t .1 x 2ln x,t 2.2 , g(t) g(2&)
8.x 42.1 x
2ln x
•
1
(i )当x 丄，
时，J 1 2 2 ,则
7
V x
g(t) g(2&)
8匸 4.2.1~x
2ln x
•
则 1
由 f (1)
2；，得
0 a
―x 2ln x 0 • a
4
记 p(x)
4、、X 2.2.1
x In x, x 1
，则
7
p'(x) 2 x- x 1
、2x v x 1 x 「X 1
1 7
(
7,
1)
1 (1,)
p'(x)
0 +
p(x) p(1)
单调递减 极小值
p(1)
单调递增
故 p(1) 0 - 所以， p(x ) 因此， g(t) (ii )
当 当x g(2、2)
2p(x) 0 . 1 1 e 2,7
时, 1 x
g(t)…g 1 2\ x l n x (x 1)
令 q(x) 2x In x (x 1),x 2,1 e
，则 q'(x)
lnx 2
1 0,
1 1 故 q(x)在
2 ,— e 2 7 上单调递增，所以 q(x), q
1 由(i )得q 1 1 P ? 2y Z P(1) 0 - 所以，q(x)<0 . 1 因此g(t)…g
x
q(x) 2.x 由(i ) (ii )得对任意
1 ~~2，
e
,t [2、.2, ),g(t)-0 ,
1
即对任意x
J 2, e
，均有 f(x),
2a
综上所述，所求a 的取值范围是。