《金融数量分析 》第6章 随机模拟———概率分布与随机数

则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~0(λ)。其期望E(X)=λ，方差var(X)=λ。
3. 离散均匀分布 若随机变量X的概率函数为
则称X服从离散的均匀分布。 4. 连续均匀分布 若随机变量X的概率密度函数为
则称X服从区间［a,b］上的连续均匀分布，记为X~U(a,b)。其期 望
，
方差
通常四舍五入取整所产生的误差服从(－0.5,0.5)上的均匀分布。在未指明分布的
先对上侧分位数的概念作一点说明，设随机变量χ2~χ2(n)，对于给定的 0<α<1，称满足P(χ2 ≥ χ2α)=α的数χ2α为χ2(n)分布的上侧α分位数。其他分布的上 侧分位数的定义与之类似。
6.2 随机数与蒙特卡罗模拟
６.2.1 随机数的生成
例2 调用normrnd函数生成1 000×3的正态分布随机数矩阵，其中均值μ=75，标 准差σ =8，并作出各列的频数直方图。
（1） 构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述 和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定 积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求 问题的解,即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
（2） 实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看做是由各种各样的 概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就 成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为 随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上 的均匀分布（或称矩形分布）。 （3） 建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，就 要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，称为无偏估计。建立各种 估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。
生成收益率服从正态分布的价格序列，首先生成服从正态分布的收益率序列，
根据价格与收益率之间的关系，计算出相应的随机价格序列。
编写生成收益率服从正态分布的价格序列函数Price，函数语法如下： Price=RandnPrice(Price0,mu,sigma,N) 输入参数： Ø Price0: 初始价格; Ø mu: 正态分布均值; Ø sigma:正态分布方差; Ø N: 随机数个数。 输出参数： Ø Price：收益率服从正态分布的价格序列。
例1 求均值为1.234 5，标准差（方差的算术平方根）为6的正态分布在 x=0,1,2,…,10处的密度函数值与分布函数值。
例2 求标准正态分布、t分布、χ2分布和F分布的上侧分位数： ① 标准正态分布的上侧0.05分位数u0.05； ② 自由度为50的t分布的上侧0.05分位数t0.05(50)； ③ 自由度为8的χ2分布的上侧0.025分位数χ20.025(8)； ④ 第一自由度为7，第二自由度为13的F分布的上侧0.01分位数F0.01(7,13)； ⑤ 第一自由度为13，第二自由度为7的F分布的上侧0.99分位数F0.99(13,7)。
6. 4 带约束的随机序列
若我们使用模拟的方法求解投资组合的有效前沿面，就需要生成符合下述条 件的随机数。
① 每组随机数的和为1； ② 每组随机数都必须大于等于0。 经典马可维兹均值方差模型为
式中：R=(R1,R2,…,Rn)T；Ri=E(ri)是第i种资产的预期收益率；X=(x1,x2,…,xn)T是 投资组合的权重向量；Σ=(σij)n×n是n种资产间的协方差矩阵；Rp=E(rp)和σ2p分别是 投资组合的期望回报率和回报率的方差。
图3 t分布密度函数图
图4 F分布密度函数图
６.1.3 概率密度、分布和逆概率分布函数数值的计算
MATLAB统计工具箱中有这样一系列函数，函数名以pdf三个字符结尾的函 数用来计算常见连续分布的密度函数值或离散分布的概率函数值;函数名以cdf三 个字符结尾的函数用来计算常见分布的分布函数值;函数名以inv三个字符结尾的 函数用来计算常见分布的逆概率分布函数值;函数名以rnd三个字符结尾的函数用 来生成常见分布的随机数;函数名以fit三个字符结尾的函数用来求常见分布的参 数的最大似然估计和置信区间;函数名以stat四个字符结尾的函数用来计算常见分 布的期望和方差;函数名以like四个字符结尾的函数用来计算常见分布的负对数似 然函数值。
情况下，常说的随机数是指［0,1］上的均匀分布随机数。
5. 指数分布 若随机变量X的概率密度函数为
式中：λ >0为参数，则称X服从指数分布，记为X~Exp(λ)。其期望E(X)=λ，方差 var(X)=λ2。
6. 正态分布 若随机变量X的概率密度函数为
式中：σ >0,μ为分布的参数，则称X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2)。其期望E(X)=μ， 方差var(X)=σ2。特别地，当μ=0,σ =1时，称X服从标准正态分布，记为X~N(0,1)。
7. χ2（卡方）分布 设随机变量X1, X2 ,…, Xn 相互独立，且均服从N（0,1）分布，则称随机变量 所服从的分布是自由度为n的χ2分布，记作χ2~χ2(n)。卡方分布的密度函数图像如图2 所示。
图2 卡方分布密度函数图
8. t分布
设随机变量X与Y相互独立，X服从N（0,1）分布，Y服从自由度为n的χ2分布，则称
(若存在)为X的数学期望(也称均值)。
若随机变量X 的分布函数可以表示为一个非负函数f (x)的积分,即F(x)=
, 则称
X 为连续型随机变量,称f (x)为X 的概率密度函数(简称密度函数)。定义E(X) =
(若存在)为X 的数学期望。
定义var(X)=E{ [X-E(X)]2} (若存在)为随机变量X 的方差。
6.1.1 概率分布的定义
为X 的分布设X 为一随机变量,对任意实数x,定义 F(x)=P(X≤x)
为X的分布函数。根据随机变量取值的特点,随机变量分为离散型和连续型两种。
若X为离散随机变量,其可能的取值为x1,x2,…, xn ,… ,称P(X=xi),i=1,2,…,n, … 为X的概率函
数(也称为分布列)。定义E(X )=
6.1.2 几种常用概率分布
1. 二项分布 若随机变量X的概率函数为
则称X服从二项分布，记为X~B(n, p)。其期望E(X)=np，方差var(X)=np(1－p)。 这样一个实例就对应了一个二项分布，在n次独立重复试验中，若每次试验仅有 两个结果，记为事件A和A（A的对立事件），设A发生的概率为p , n次试验中A发 生的次数为X，则X~B(n,p)。 2. 泊松分布 若随机变量X的概率函数为
正态分布具有以下几个重要特征： ① 密度函数关于x=μ对称，呈现出中间高、两边低的现象，在x=μ处取得最大值， 如图1所示。
图1 正态分布密度函数图
② 当μ的取值变动时，密度函数图像沿x轴平移，当σ的取值变大或变小时，密度 函数图像变得平缓或陡峭。 ③ 若X~N(μ,σ2)，则
这里F(x)为X的分布函数，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，在一般的概率论与数 理统计课本中都提供Φ(x)的函数值表。
6.3 随机价序列
6. 3.1 收益率服从正太分布的价格序列
现代的金融量化理论，大多都建立在有效市场的证券收益率服从正态分布的 假设基础上。若随机变量X的概率密度函数为
式中：σ>0,μ为分布的参数，则称X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2)。其期望E(X)=μ， 方差var(X)=σ2，特别地，当μ=0,σ =1时，称X服从标准正态分布，记为X~N(0,1)。
随机变量
所服从的分布是自由度为n的t分布，记作t~t（n）。 t分布的密
度函数图像如图3所示。
9. F分布
设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为n1与02的χ2分布，则称随机变量F= 所服从的分布是自由度为(n1,n2)的F分布，记作F~F(n1,n2) 。 其中n1称为第一自由度， n2称为第二自由度。F分布的密度函数图像如图4所示。
例3 调用normrnd函数生成1 000×3的正态分布随机数矩阵，其中各列均值μ分 别为0、15、40，标准差σ分别为1、2、3，并作出各列的频数直方图。
正态分布随机数频数直方图（一）正态分布随机数Fra bibliotek数直方图（二）
6. 2.2 蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率 过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。
6. 3.2 具体相关性的随机序列
在实际问题中，组合的价格是由多种资产构成，为测试策略的有效性就要生 成多种资产各自的价格序列，若假设每种资产的相关系数为零，就可以直接反复 使用RandnPrice函数，但这样的模拟忽略了资产之间的相关性。如何生成收益率 服从正态分布且具有一定相关性的随机价格序列？可引入RandnPriceWithCov函数。 其语法为： Price=RandnPriceWithCov (Price0,mu,sigma,N) 输入参数： Ø Price0: 初始价格，向量； Ø mu: 正态分布均值； Ø sigma:正态分布协方差矩阵； Ø N: 随机数个数。 输出参数： Ø Price：收益率服从正态分布的价格序列。