专题11 巧解二次函数与特殊三角形综合题（含答案）

专题11 巧解二次函数与特殊三角形综合题
知识解读
二次函数与特殊三角形综合题，是指以二次函数的图象为载体，探究图象上是否存在一些点，使其能构成特殊的三角形，有以下几种常见形式：
（1）二次函数图象上的点能否构成等腰（或等边）三角形； （2）二次函数图象上的点能否构成直角三角形；
（3）二次函数图象上的点能否构成等腰直角三角形。

由于有平面直角坐标系为背景，为点的坐标与线段长度的相互转化提供了可能，着重考查数形结合与转化的能力；由于三角形边和角的不确定性，为思维的发散提供了可能，着重考查分类讨论思想及思维的缜密性。

培优学案 典例示范
例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x －（2＋n ）x ＋2n （n <2）与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的右侧），与y 轴相交于点C .若△ABC 是等腰三角形，求n 的值。

【提示】求得点A ，B ，C 的坐标，从而表示出线段OA ，OB ，OC ，AB 的长度，接着根据勾股定理求出AC ，BC ，再用分类讨论的数学思想分三种情况构建方程模型便可求出n . 【解答】
【跟踪训练】已知抛物线2323333
y x x =-
-+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点.点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标。

【提示】求出A ，B ，C 三点坐标，表示出△PBC 的三边长，再模仿例1分三种情况讨论求解。

【解答】
例2 如图11－1，点A （5，m ）在抛物线215
222
y x x =-+上.试探究：在抛物线的对称轴上是否存在点
B ，使△OAB 是直角三角形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由。

【提示】不能确定直角△OAB 的直角顶点，所以点B 的坐标的存在情况需要分类讨论：①直角顶点在对称轴上，②直角顶点在A 点，③直角顶点在O 点. 【解答】
【跟踪训练】已知抛物线y ＝－2x －2x ＋3交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点。

在抛物线上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，请求出点P 坐标；若不存在，试说明理由. 【提示】分∠BCP ＝90°，∠PBC ＝90°，∠BPC ＝90°三种情况讨论。

【解答】
例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝2x －2mx ＋2m －9与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，且OA <OB ，与y 轴交于点（0，一5）. （1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x 轴的交点为N ，若点M 是线段AN 上的任意一点，过点M 作直线MC ⊥x 轴，交
y
x
A
图11-1
O
抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP＝1
4
MC，连
接CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE＝PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【提示】（1）要求抛物线的解析式，只需求出A，B两点的坐标，用待定系数法求解；
（2）显然△EPM ≌△PDC，再假设存在，设出P点的坐标，进而表示出C、D点的坐标，转化为求待定系数的一元二次方程问题进行求解。

【解答】
【跟踪训练】如图11－2，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－1，0）和点B（1，0），直线y＝2x－1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标。

【提示】（1）首先求出点C 坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设直线CD 与x 轴交于点E ，求出点E 的坐标，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出点A 到直线CD 的距离；（3）△GPQ 为等腰直角三角形，有三种情形，需要分类讨论。

为方便分析与计算，首先需要求出线段PQ 的长度。

例4 如图11－3，二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，
1
4
），点F （0，1）在y 轴上.直线y ＝－1与y 轴交于点H .
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y ＝－1交于点M . ①求证：FM 平分∠OFP ；
②当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标。

【提示】（1）根据题意可设函数的解析式为y ＝a 2x ，将点A 坐标代入函数解析式，求出a 的值，继而可求得二次函数的解析式；
y
x
图11-2
D
C
B A O
（2）①过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，利用勾股定理求出PF ，表示出PM ，可得PF ＝ PM ，∠PFM ＝∠PMF ，结合平行线的性质，可得出结论；
②首先可得∠FMH ＝30°，设点P 的坐标为（x ，14
2
x ），根据PF ＝PM ＝FM ，可得关于x 的方程，求出x 的值即可得出答案。

【解答】
【跟踪训练】
已知抛物线1C :y ＝2x 以点C 为顶点且过点B ，抛物线2C : 2
222y a x b x c =++以点B 为顶点且过点C ，分
别过点B ，C 作x 轴的平行线，交抛物线1C ，2C 于点A ，D ，且AB ＝AC .
（1）如图11－4①， ①求证：△ABC 为等边三角形； ②求点A 的坐标；
（2）①如图11－4②，将抛物线1C 向上平移1个单位长度，其他条件不变，求CD 的长；
②如图11－4③，若将抛物线1C 的解析式改为2
113y x b x c =++，其他条件不变，求2a 的值； （3）若将抛物线1C 的解析式改为2
111y a x b x c =++，其他条件不变，直接写出1b 关于2b 的函数解析式.
y
x
图11-3
H M P
F A
O
【提示】（1）①由于AB //x 轴，显然点A ，B 关于抛物线y ＝2x 的对称轴对称，可得AC ＝BC ，已知AB ＝
AC ，那么△ABC 必为等边三角形；
②由抛物线1C 的解析式设出点A 的坐标，再根据△ABC 是等边三角形列出点A 横、纵坐标的关系式，以此确定点A 的坐标为（一3，3）.
（2）①若记AB 与抛物线1C 对称轴的交点为E ，可设AE ＝BE ＝m （m ＞0），在等边△ABC 中，CE ＝3m ，
则B （m ，3m 十1），代入y ＝2x ＋1，得m ＝3，∴AB ＝23.易证△BCD 也为等边三角形， ∴ CD ＝AB ＝23.
②将1C 的解析式写成顶点式2
3()y x h k =-+，首先根据等边△ABC 的特点表达出点B 的坐标，将点B 的
坐标代入抛物线1C 的解析式中，由此求得m 的值；抛物线2C 以点B 为顶点，可先写成顶点式，再将点A 的坐标代入其中来确定2a 的值.
（3）由于这个小题并没有说明按给出的三个图求解，所以还需考虑抛物线C 2在1左侧的情况，但解法是相同的。

【解答】
例5 设二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ，称△ABC 为“抛物
线三角形”，显然抛物线三角形是等腰三角形.解答下列问题：
（1）当△ABC 是等腰直角三角形时，求2b －4ac 的值； （2）当△ABC 是等边三角形时，求2b －4ac 的值.
【提示】以a ＞0为例画出示意图如图11－5所示.作出特殊三角形的辅助线，由线段关系建立字母参数的关系式，化简式子并求值即可.在例5中，若设∠CAB ＝α，则tan α∆
该结论清晰的表明了抛物线三角形与二次函数各项系数，判别式△及α角之间的关系，这种关系为我们深入研究二次函数的性质，提出更一般的问题带来有力的支撑.读者可继续探究：当∠ACB ＝120°时，2b －4ac 的值确定吗？
y
x
①
D B
C
A
O y
x
O
②
D
B
C A
O
y
x
③
D
B
C A
图11-4
【解答】
y
x
图11-5
C B
A
O
【跟踪训练】
1.直线Y=KX与抛物线Y=X2有两个交点A，B；O为坐标原点，若△ABO是等边三角形，求K的值.
2.已知抛物线2248
=-+-的顶点A为一个顶点，作该抛物线的内接正三角形AMN (M,N两点在
y x mx m
抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

例6 如图,已知抛物线223
=-++与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接
y x x
BC.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若点P为线段BC上一点(不与B,C重合),PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM 的面积最大时，求△BPN的周长；
(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。

【跟踪训练】
如图,抛物线y=x2−2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(1,−m)作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B. 点B 关于抛物线对称轴的对称点为C.
(1)若m=2，求点A和点C的坐标；
(2)令m>1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
(3)在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

竞赛链接
例7（全国初中数学竞赛）已知a<0,b△0,c>0,且242
b a
c b ac
-=-,求b2−4ac的最小值。

【跟踪训练】
（全国初中数学竞赛）如图,抛物线23
y ax bx
=+-,顶点为E，该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于
点C，且OB=OC=3OA.直线y=−1
3
x+1与y轴交于点D. 求△DBC−△CBE.
培优训练直击中考
1.已知二次函数y=x2−4x+3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积。

2.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0),B(3,0)两点,过点A的直线交抛物线于点C(2,m)，交y轴于点D.
(1)求抛物线及直线AC的解析式；
(2)点P是线段AC上的一动点(点P与点A. C不重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE 长度的最大值；
(3)点M(m,−3)是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形?如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由。

挑战竞赛
1.已知抛物线经过A(−2,0),B(0,2),C(32,0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q.设点P的运动时间为t秒。

(1)求抛物线的解析式；
(2)当BQ=1
2
AP时，求t的值；
(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形?若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图,二次函数y=a(x2−2mx−3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A. B(点A位于点B 的左侧),与y轴交于C(0,−3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.
(1)用含m的代数式表示a；
(2)求证：AD
AE
为定值；
(3)设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由。