构造镶边幻方的代码法

2. 海南师范大学 数学与统计学院， 海南 海口 571158 ）
摘 要 ： 给出构造 n = 2m + 1 （m = 2，3，… ） 阶双对称镶边幻方的代码法及其证明 , 给出构造 n =
4m + 3（m = 1，2，… ）阶奇偶镶边幻方的代码法 .
关键词 ： 双对称 ； 镶边幻方 ； 奇偶镶边幻方 ； 代码法 中图分类号 ：O 157.6 文献标识码 ：A 文章编号 ：1674-4942 （2010 ）02-0152-06
2 （n + 1 ） 的 5 阶幻方 ， 直至最外层是幻方常数为 n × 1 （n2 + 1） 的 n 阶幻方 . 即该幻方中包含有 m - 1 2 个同心的子幻方 ， 其中 m - 2 个同心子幻方是具有
以上特性的非正规幻方 . 则把以 上 的 n = 2m + 1 （m = 2 ，3，… ） 阶 幻 方 定义为双对称镶边幻方 . m - 2 个同心子幻方是双 对称镶边子幻方 . 这里采用双对称镶边幻方是避免 与对称幻方混淆 . 对 1~n2 中的自然数 进 行 编 码 ， 幻 方 的 中 位 数 记为 x，x = 1 （n2 + 1）， 将 x + 0， 自然数 x + k，x+
收稿日期 :2010-01-08
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（-k）（k = 1 ，2，…，m） 中的数 0 ，k，-k 分别叫做自然 数的代码 . 显然 ， 如果若干个自然数其代码之和为零 ， 则 表示它们的平均数等于中位数 ； 两个自然数其代码
第2期
詹 森等 ： 构造镶边幻方的代码法
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之和为零 ， 就 表 示 它 们 之 和 为 n2 + 1 ， 称 它 们 是 互 为补数 . 定义 2 若一个 n = 4m + 3 （m = 1 ，2，… ） 阶 幻方除具有双对称镶边幻方的全部特性外 ， 其全部 奇数都集中于方阵中央的菱形中 ， 而偶数则位于菱 形外的四个角 . 幻方中包含 2m 个同 心 的 子 幻 方 ， 其中 2m - 1 个是同心双对称镶边子幻方 （ 是非正 规幻方 ）. 则具有这样特性的 n = 4m + 3 （m = 1，2， … ） 阶幻方定义为奇偶镶边幻方 ［4］ . 对 1~n2 中的奇数进行编码 ， 把中位数 x= 1
Key words：double symmetrical ；bordered magic square ；odd-even-bordered magic square ；code method
我们已研究了利用已知的较低阶幻方来构造 高阶幻方
［1］
的方法 ， 也研究了不需要利用已知幻方
阶幻方 ， 然后由内到外依次是幻方常数为 5 × 1
在双对称的位置上安装相应的互补数 ， 就得基方阵
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双对称性 . 所以 ， 这样的方阵就是所求的双对称镶 边幻方 （ 是正规幻方 ）. 定理证毕 . 而当我们以 1 （k2 + 1） （k = 2，3，… ，m - 1 ） 代
1） 1~n2 的中位数 1 （n2 + 1）位于方阵的中心 ， 2 对角线上的元素中心对称 ; 对角线上 下 、 左 右 的 元 素是分别以中间行 、 中间列为轴对称 . 把 这 种 中 心 对称和轴对称简称双对称 . 2） 最 内 层 是 幻 方 常 数 为 3 × 1 （n2 + 1） 的 3 2
即按 k 由小到大的顺序安装方阵 A 的各个元素 ：
a （m + 1 ，m 第m+1h ，m + 1 - k ） =
+ 1） = 0； k （k = 1，2，…，m）列 a （m + 1 - k + （2k2 + k） - h（h = 0 ，1，…，k - 1） ；
a （m + 1，m + 1 - k） = -2k2；a （m + 1 + k - h，m + 1 - k） = -（（2k2 - k） - h）（h = 0，1，…，k - 1）； 第 m + 1 - k （k = 1，2，…，m ） 行 a （m + 1 - k， m + 1 - h） = -（（2k2 + 2k） - h）（h = 0，1， …，k 1）；a （m + 1 - k，m + 1 - k） = 2k2 + k；a （m + 1 k，m + 1 + h） = 2k2 - h（h = 1，2，…，k）. 此时 ， 只是安装了方阵 A 左上角 （ 由左下角至
Σ -Σ
k-1 h = 0 k h = 1 k
（（2k2 + 2k） - h） + （2k2 + k） +
k-1
Σ
幻方的构造方法
第一步 设待安装的 n = 2m + 1 （m = 2 ，3，… ） 阶方阵为 A ， 以 a （i ，j ） （i ， j = 1 ，2，… ，n） 表 示 A 的 位于第 i 行 ， 第 j 列的元素 ， 按以下规则由中心向外
Σ（2k
h = 1
2
- h） =
Σ（-2k + h） + （2k
h = 0 2 2
2
+ k） +
Σ（-h） = （-2k ） + （2k
+ k） + （-k） = 0.
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海南师范大学学报 （ 自然科学版 ） 由于代方阵 A 的每一个代元都是按双对称规 （2k2 + k） - h（h = 0 ，1，…，k - 1 ） ，
k-1 2
Σ -Σ
h = 0 k-1 h = 0 2
Σ=
- + 2（k1） + 1 与 x x + 2（r - k1） - 1 两个偶数之和为 2x + 2r. 当前者为正后者为负时 ， 结果相同 . 同理 ， 相同数目 （t ） 符号相反的偶数代码 （ 共有 2 t 个 ） 其 和为 r， 它们所表示的偶数之和就是 2 t x + 2 r.
2010 年
则安装的 ，显然以 0 为中心的任一个 2k + 1（k = 1，
a（2m + 2，2m + 2 -k） = -2k2， a（2m + 2 + k - h，2m + 2 - k） = -（（2k2 - k） - h）（h = 0，1，…，k - 1）.
代方阵 A 的第 2m + 2 - k（k = 1，2，… ，m ） 行 ， 可取
order double symmetrical bordered magic square and a lot of n = 4m + 3 （m = 1 ，2 ， … ） order odd-even-bordeved magic squares. Ten former method was proved.
第 23 卷第 2 期
海南师范大学学报 ( 自然科学版 )
Vo1.23 No.2 Jun. 2010
2010 年 6 月
Hale Waihona Puke Journal of Hainan Normal University（Natural Science）
构造镶边幻方的代码法
詹 森 1， 王辉丰 2
（1. 广东技术师范学院 计算机科学系 ， 广东 广州 510665 ；
以代码为元素的方阵称为代码方阵 ， 简称代方 阵 ， 其元素简称为代元 .
Σ（k - h） + （-2k ） + Σ（k + h） =
h = 0
k + （-2k ） + k2 = 0. 代方阵 A 的第 m + 1 - k （k = 1 ，2，…，m ） 行元素之
和为
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1 n = 2m + 1 （m = 2，3，… ） 阶 双 对 称 镶 边
数等于中位数 . 两个偶数其代码之和为零 ， 就表示 它们之和为 n2 + 1 ， 称它们是互为补数 . 两个符号 相反的偶数代码之和为 r， 分别记它们为 k1，r - k1， 当前者为负后者为正时 ， 它们所表示的偶数分别为
Σ（（2k
h = 0 k-1
2
+ k） - h） + （-2k2） +
（（2k2 - k） - h）
对角线上元素的平均数就都等于中位数 ； 即它们的 和都等于幻方常数 （2k + 1） × 1 （n2 + 1 ）， 且具有
a（2m + 2 - k，2m + 2 - h） = -（（2k2 + 2k） - h）（h = 0，1，…，k - 1）， a（2m + 2 - k，2m + 2 - k） = 2k2 + k， a（2m + 2 - k，2m + 2 + h） = 2k2 - h（k = 1，2，… ，k）. 此时 ，已安装了基方阵 A 左上角的元素 ，接着 ，
2，… ，m） 阶方阵 ， 其 每 行 、 每 列 以 及 两 条 对 角 线 上 的代码之和都等于 0，且具有双对称性. 当我们把代 方阵 A 中的代码换为其所表示的自然数 ， 所得新的 方阵 ， 以中位数 x = 1 （n2 + 1） 为中心的任一个 2k 2 + 1 （k = 1，2，… ，m） 阶方阵 ， 其每行 、 每列以及两条
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其代码之和为 零 ， 就 表 示 它 们 之 和 为 n + 1 ， 称 它
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们是互为补数 . 对 1~n2 中的偶数进行编码 ， 把偶数 x + （2k -
1），x - （2k - 1） = x + 2 （-k ） + 1 （k = 1，2，…， 1 4 2 （n - 1 ）） 的 代 码 分 别 规 定 为 粗 体 数 字 k， -k， 与 以 上奇数代码区别 .
The Code Methods about Structure Bordering Magic Square
ZHAN Sen1， WANG Huifeng2
（1. Department of Computer Science ，Guangdong Technical Normal University ，Guangdong 510665 ，China ；
2. College of Mathematics and Statistics ，Hainan Normal University ，Haikou 571158，China） Abstract：The new structure methods called code method were given, which could obtain a n = 2m + 1 （m = 2，3，… ）
2 （n + 1 ） 的代码规定为 0； 把奇数 x + 2k ，x + 2 （-k ） （k = 1 ，2，…， 1 （n2 - 1 ）） 代码分别规定为 k ，-k. 4
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显然 ， 如果若干个奇数其代码之和为零 ， 则它 们的平均数等于中位数 . t 个奇数其代码之和为 s ， 就表示它们的和为 t × 1 （n2 + 1） + 2s. 两个奇数
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而直接构造奇数高阶幻方 ［2-3］ 的方法 ， 文 [4] 的镶边 法是先构造一个 n - 2 阶幻方 ， 在其中每个方格的 数上加同一个整数 ， 然后在它四周镶上一条边 ， 安 装入余下来的数字使之成为一个 n 阶幻方 . 这种镶 边法往往是从已知的 、比较容易构造的幻方入手. 这 里 ， 我们提出一种直接构造镶边幻方的新方法 . 在 讨论新的镶边法之前 ， 介绍几个有关概念如下 ： 定义 1 若一个 n = 2m + 1 （m = 2 ，3，… ） 阶 幻方具有以下特性 ：
右上角对角线以及其上方 ） 的元素 ， 接着 ， 在双对称 的位置上安装相应的互补数 ， 就得以代码为元素的 代 方 阵 A. 代 方 阵 A 以 及 其 任 一 个 以 0 为 中 心 的 子方阵 ， 它们的每行 、 每列和两条对角线上的代码 之和都等于 0， 且具有双对称性 . 第二步 把代方阵 A 中的代码换成其所表示 的自然数 ， 得到一个新的 n = 2m + 1 （m = 2，3，… ） 阶方阵 就 是 所 求 的 双 对 称 镶 边 幻 方 （见 定 理 的 证 明 ）. 按以上步骤安装幻方的方法称为代码法 . 定理 证明 由代码法得出的方阵是一个 n = 2m + 在代方阵 A 的以 0 为中心的任一个 2k+
显然 ， 相同数目 （t ） 符号相反的偶数代码 （ 共有
1（m = 2，3，… ）阶双对称镶边幻方 . 1 （k = 1，2，…，m） 阶子方阵左上角 （ 由左下角至右 上角对角线以及其上方 ） 中 ， 代方阵 A 的第 m + 1k（k = 1，2，…，m）列元素之和为
k-1
2t 个 ） 其和为零 ， 就表示它们所表示的偶数的平均