四川省泸州市泸州老窖天府中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

四川省泸州市泸州老窖天府中学2015—2016学年高二上学期期中考
试 数学试题
第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.直线013=-+y x 的倾斜角为（ ） A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
3
2π
D ．
6
5π 【答案】C 【解析】
试题分析：由方程可知直线斜率为3k =-2tan 33
πθθ== 考点:直线倾斜角与斜率
2。

命题“若2015x >,则0x >”的否命题是（ ）
A ．若2015x >，则0x ≤
B ．若0x ≤，则2015x ≤
C ．若2015x ≤，则0x ≤
D ．若0x >，则2015x > 【答案】C 【解析】
试题分析：否命题需将条件和结论分别否定,所以否命题为：若2015x ≤，则0x ≤ 考点：四种命题
3.如果0<<b a ，那么下面不等式一定成立的是（ ） A ．0>-b a B ．bc ac < C ．
b
a 1
1< D ．2
2b a >
【答案】D 【解析】
试题分析:由0<<b a 可设2,1a b =-=-，代入四个选项的不等式中可知2
2b a >成立
考点：不等式性质
4。

不等式
03
1
2>+-x x 的解集是( ) A ．（
1
2
,+∞） B ．（4,+∞） C ．(﹣ ∞，﹣3）∪（4,+∞） D ．（﹣∞，﹣3）∪（
1
2
，+∞） 【答案】D 【解析】 试题分析:
2103x x ->+变形为()()2130x x -+>，结合方程()()2130x x -+=的根为1
,32
-可知不等式的解集为()1,3,2⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
考点:分式不等式解法
5.如果两条直线l 1：260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等于( ） A ．1 B ．—1 C ．2
D ．
2
3
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意可知()121
136a a a a ⎧-=⨯∴=-⎨≠⎩
考点：两直线平行的判定
6.已知a R ∈，则“2a >”是“2
2a a >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：22a a >可化为()200a a a ->∴<或2a >,所以“2a >"是“2
2a a >”的充分不
必要条件
考点：充分条件与必要条件
7。

若不等式022
>+-a ax x ，对R x ∈恒成立， 则实数a 取值范围为( ）
A ．}21{<<a a
B ．}12{<<-a a
C ．}20{<<a a
D ．}10{<<a a 【答案】D
【解析】
试题分析：由与不等式对应的二次函数图像可知需满足2
044001a a a ∆<∴-<∴<< 考点:三个二次关系
8。

设0,0a b >>,若3是3a 与3b 的等比中项，则14
a b
+的最小值为 ( ） A ．8
B.9
C.4
D. 3
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意可知
()14144333155249a b b a
a b a b a b a b a b
⎛⎫=∴+=∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
4b a
a b
=时等号成立取得最小值9 考点:等比数列及不等式性质
9。

在圆22260x y x y +--=内,过点E （0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．52
B ．102
C ．152
D ．202 【答案】B 【解析】
试题分析：把圆的方程化为标准方程得：()()2
2
1310x y -+-=， 则圆心坐标为（1,3），半径为10， 根据题意画出图象,如图所示：
由图象可知:过点E 最长的弦为直径AC,最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，则AC=2 10MB=
10ME=
()()
22
10315-+-=
所以BD=2BE= (
)()
2
2
10
525-=AC ⊥BD ，
所以四边形ABCD 的面积S=
12AC •BD=1
2
×210×25=102 考点：圆的标准方程；两点间的距离公式
10.某加工厂用某原料由车间加工出 产品，由乙车间加工出 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克 产品，每千克 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克 产品，每千克 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( ）
A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B ．甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 【答案】B
考点:简单线性规划的应用
11。

已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线1x =-所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为( ) A 。

2
42x x y =+ B.242x y x =+ C.242y y x =+ D.2
42y x y =+
【答案】D 【解析】
试题分析：设C(x ，y ），则
∵恒过定点（1,1)的圆C 截直线x=—1所得弦长为2， ()()()2
22
1111x x y ++=
-+-
化简可得2
42y x y =+ 考点：轨迹方程
12。

若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线
0=-y x 对称，动点P ()b a ,在不等式组2000
kx y kx my y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及边界上运动，
则21
b w a -=-的取值范围是（ )
A ．),2[+∞
B ．]2,(--∞
C ．]2,2[-
D ．),2[]2,(+∞⋃--∞
【答案】D 【解析】
试题分析：：∵M,N 是圆上两点,且M ，N 关于直线x-y=0对称， ∴直线x-y=0经过圆的圆心,22k m ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
,且直线x —y=0与直线y=kx+1垂直． ∴k=m=-1．∴约束条件为：2000x y x y y --+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
根据约束条件画出可行域,
21
b w a -=-，表示可行域内点Q 和点P （1，2）连线的斜率的最值,
当Q 点在原点O 时，直线PQ 的斜率为2,当Q 点在可行域内的点B 处时,直线PQ 的斜率为—2， 结合直线PQ 的位置可得,当点Q 在可行域内运动时，其斜率的取值范围是： （-∞,-2］∪2，+∞）
从而得到w 的取值范围(—∞，-2]∪2，+∞）． 考点：简单线性规划的应用;直线与圆相交的性质
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）
13.不等式234x x +<的解集为 【答案】()1,3 【解析】
试题分析：()()2234430130x x x x x x +<∴-+<∴--<13x ∴<<,所以解集为()1,3 考点：一元二次不等式解法
14。

直线3480x y +-=与直线3470x y ++=间的距离是 。

【答案】3 【解析】
试题分析:由两直线间的距离公式可知3d ==
考点:两直线间的距离
15.函数229
()(0)x x f x x x
-+=
<最大值为_______ 【答案】8- 【解析】
试题分析:()2299
99
()2
0268x x f x x x x x f x x x
x x
-+==+-<∴+
≤-=-∴≤-，函数的最大值为8- 考点：函数最值
16。

已知直线)0(4)1(:2≥=+-m m y m mx l 和圆01648:2
2=++-+y x y x C .有以下几个结论：
①直线l 的倾斜角不是钝角； ②直线l 必过第一、三、四象限； ③直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为
2
1
的两段圆弧； ④直线l 与圆C 相交的最大弦长为5
5
4. 其中正确的是________________.(写出所有正确说法的番号)。

【答案】①④ 【解析】
试题分析：在①中，直线l 的方程可化为22411
m m
y x m m =-++, 于是直线l 的斜率21
m
k m =
+，
∵()2112m m ≤
+,∴21
12
m k m =≤+， 当且仅当|m ｜=1时等号成立． ∵m ≥0，
∴直线l 的斜率k 的取值范围是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,
∴直线l 的倾斜角不是钝角，故①正确;
在②中,∵直线l 的方程为：y=k （x —4），其中0≤k ≤1
2
， ∴当k=0或k=
1
2
时，直线l 不过第一、三、四象限，故②错误; 在③中，直线l 的方程为：y=k （x-4），其中0≤k ≤1
2
，
圆C 的方程可化为()()2
2
424x y -++=, ∴圆C 的圆心为C （4，-2)，半径r=2， 于是圆心C 到直线l 的距离
d =
由0≤k ≤
1
2，得d 1，即d ＞2r ， ∴若直线l 与圆C 相交，
则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23
π
， 故直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为
1
2
的两段弧,故③错误; 由③知圆心C 到直线l 的距离d
∴直线l 与圆C 相交的最大弦长为：= 考点：直线与圆的位置关系
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本题满分10分） 已知,a b R +∈，求证：3322
a b a b ab +≥+。

【答案】详见解析 【解析】
试题分析：不等式的证明可采用分析法和综合法，本题中将要证明的不等式转化为只需证明
3322a b a b ab +-+≥（）0即可
试题解析：3322a b a b ab +-+=（）3232a a b b ab -+-（）
2222)(()()a a b b b a a b a b =-+-=--（）2()()a b a b =-+
,a b R +∈，2()0,0a b a b ∴-≥+>2()()0a b a b ∴-+≥
3322a b a b ab ∴+≥+。

考点:不等式证明
18。

(本题满分12分)
(1)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0与l 2：7x ＋15y ＋1＝0的交点，且平行于直线x ＋2y －3＝0的直线方程;
(2)求与直线3x ＋4y －7＝0垂直,且与原点的距离为6的直线方程。

【答案】（1) 9x ＋18y －4＝0(2） 4x －3y±30＝0.
考点:直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系
19。

（本小题满分12分）直线34120x y -+=与坐标轴的交点是圆C 一条直径的两端点。

（I ）求圆C 的方程;
(II ）圆C 的弦AB 211
(1,)2
，求弦AB 所在直线的方程.
【答案】(I)22235
(2)()()22
x y ++-=（II ）210y -=或3450x y +-=
【解析】
试题分析：(1）由题意可得，A （0，3）B （—4,0），AB 的中点(—2,3
2）为圆的圆心，直径
AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C 的弦AB
，所以圆心到直线的距离
为1，设直线方程为y —1
2=k （x —1）,利用点到直线的距离公式，即可求弦AB 所在直线的方
程
试题解析：（I ）直线34120x y -+=与两坐标轴的交点分别为(4,0)A -，(0,3)B ．（2分） 所以线段AB 的中点为3
(2,)
2C -，||5AB =．（4分) 故所求圆的方程为222
35
(2)()()22x y ++-=．（6分）
（II)设直线AB 到原点距离为d
，则1
d ==．（8分）
若直线AB 斜率不存在，不符合题意．若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为1
(1)2y k x -
=-,
则
1
d =
=，解得0k =或
34k =-
．（11分）
所以直线AB 的方程为210y -=或3450x y +-=．（12分） 考点：直线和圆的方程的应用
20。

(本题满分12分）某村计划建造一个室内面积为8002
m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
【答案】当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2 【解析】
试题分析：设出矩形的长为a 与宽b ，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a —4）(b —2）=ab-4b —2a+8=800—2（a+2b ）．利用基本不等式变形求解 试题解析：设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m ，则 ab=800。

蔬菜的种植面积).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--=
所以
).(648248082
m ab S =-≤ 当
).
(648,)(20),(40,22m S m b m a b a ====最大值时即
答：当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2。

考点:基本不等式在最值问题中的应用
21.(本题满分12分）已知)0,5(-P ，点Q 是圆36)5(22=+-y x 上的点,M 是线段PQ 的中点.
(Ⅰ)求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点P 的直线l 和轨迹C 有两个交点,A B （,A B 不重合)，若4=AB ，求直线l 的方程。

【答案】(Ⅰ）92
2
=+y x （Ⅱ）052=++y x 或052=+-y x 【解析】
试题分析:（Ⅰ）设M （x ，y ），则P(-5，0）关于M 的对称点为Q （2x+5，2y ），由此能求出轨迹C 的方程．
（Ⅱ）设A ()11,x y ，B ()22,x y ，设直线l 的方程是y=k （x+5），由方程组()
22
59y k x x y ⎧=+⎨+=⎩
，得()2
2
221102590
k x
k x k +++-=,由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线l 的方程．
试题解析:（Ⅰ）设),(y x M ，则)0,5(-P 关于M 的对称点为)2,52(y x Q +,
∵点Q 是圆
36)5(22=+-y x 上的点， ∴36)2()552(2
2=+-+y x ，即
922=+y x ， 所以轨迹C 的方程是
92
2=+y x ．………………………………6分 （Ⅱ）① 设),(),,(2211y x B y x A ，由题意，直线l 的斜率存在，设为k ,则直线l 的方程是
)5(+=x k y ,
由方程组⎩⎨⎧=++=9)
5(22y x x k y 得，
092510)1(2222=-+++k x k x k ， 由0)925)(1(4)102
2
2
2>-+-=
∆k k k （,得43
43<
<-
k
∴
222122211925110k k x x k k x x +-=+-=+，，………………………………6分 ∵
4=AB ，∴41212=-+x x k ， ∴4
4)(1212212=-+⋅+x x x x k ， ∴41)925(4)110(122222
2=+--+-⋅+k k k k k ， 解得，21±=k ，∴直线l 的方程是)5(21+±=x y ，
即直线l 的方程是052=++y x 或052=+-y x ．………………………………12分
【另解】设坐标原点为O ，作AB OE ⊥,垂足为E ． ∵
4=AB ,∴2=AE ,由(I)可知，3=OA ，∴5=OE 。

又5=OP ，∴5
2=PE ， ∴21
tan ==
∠PE OE
APO .∴直线l 的斜率21±=k ，∴直线l 的方程是)5(21+±=x y ， 即直线l 的方程是052=++y x 或052=+-y x ．………………………………12分 考点：直线与圆锥曲线的综合问题
22.(本题满分12分)设函数222()log (0.1)12b x x f x b b ax
-+=>≠+ （1）求()f x 的定义域；
(2）1b >时，求使()0f x >的所有x 值.
【答案】（1）0a >时定义域为1(,)2a -
+∞0a =时定义域为R ，0a <时定义域为1(,)2a -∞-
（2）112x a a ∴-<<+或1x a >+ 【解析】
试题分析：（1）要使f(x ）有意义，须满足222012x x ax
-+>+，易知2220x x -+>，故只需解1+2ax ＞0，按照a ＞0，a=0，a ＜0三种情况讨论可解不等式;（2)根据对数函数的单调性可把不等式化为一元二次不等式，按对应二次方程的判别式△的符号分情况进行讨论,可解不等
式，注意要与函数定义域取交集 试题解析：⑴222()log (0,1)12b x x f x b b ax
-+=>≠+，2220x x -+> 120ax ∴+> ①0a >时，21ax >-,12x a >-，定义域为1(,)2a -+∞ ②0a =时,10>，x R ∈，定义域为R
③0a <时，21ax >-，12x a <-，定义域为1(,)2a
-∞- ⑵222()log 0log 112b b x x f x ax
-+=>=+ 1b > 222112x x ax
-+∴>+ 22212x x ax ∴-+>+ 即2(22)10x a x -++> 令22[(22)]44(2)a a a ∆=-+-=+ ①当0a <时,0∆>，2(22)10x a x -++=的两根为
11x a =+- 21x a =+
这时
121102x x a a <=++=<<-
1x a ∴<+112a x a ++<-
②当2a =-时，14
x <且1x ≠- ③当20a -<<时，0∆<,12x a
<-
④当0a =时，x R ∈且1x ≠ ⑤当0a >时，0∆>,211
02x x a >>>-
112x a a
∴-<<+或1x a >+ 考点：指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法；对数函数的定义域。