2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2练习：学业分层

学业分层测评(三) (建议用时：45分钟)
一、选择题
1.已知a ，b 为非零实数，则使不等式a b ＋b a
≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A.a ·b >0 B.a ·b <0 C.a >0，b <0
D.a >0，b >0
【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2
ab
≤－2.
∵a 2
＋b 2
>0，
∴ab <0，则a ，b 异号，故选C. 【答案】 C
2.平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →
，则四边形ABCD 为( ) A.菱形 B.梯形 C.矩形
D.平行四边形
【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →
， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，
∴四边形ABCD 为平行四边形. 【答案】 D
3.若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )
【导学号：94210011】
A.12
B.a 2＋b 2
C.2ab
D.a
【解析】 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ， ∴2ab <12
.
而a 2
＋b 2
>（a ＋b ）2
2＝1
2
.
又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，
∴a <12，∴a 2＋b 2
最大，故选B.
【答案】 B
4.A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【解析】 若A >B ，则a >b ， 又
a sin A ＝b
sin B
，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . 【答案】 C
5.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A.若m β，α⊥β，则m ⊥α
B.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β
C.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
【解析】 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直.
【答案】 C 二、填空题
6.设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →
＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.
【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →
，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6. 【答案】 6
7.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________.
【解析】 ∵a 2－c 2
＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c . 又∵c b
＝
6－27－3＝7＋3
6＋2
>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b
8.已知三个不等式：①ab >0；②c a >d
b
；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题.
【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad
ab
>0，
故①③⇒②.若ab >0，
bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad
ab
>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题.
【答案】 3 三、解答题
9.如图1­2­3，四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：
AF ∥平面PEC .
图1­2­3
【证明】 ∵四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形， ∴AB ═∥CD .
又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF ═∥AE ，
∴四边形AECF 为平行四边形， ∴AF ∥EC .
又AF ⊆/平面PEC ，EC 平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .
10.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，
a ，
b ，
c 也成等差数列.求证：△ABC 为等边三角形.
【证明】 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2
－ac ，
又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝
a ＋c
2
，
代入上式得（a ＋c ）2
4＝a 2＋c 2
－ac ，
整理得3(a －c )2
＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ， 而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，
从而△ABC 为等边三角形.
1.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y
＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y
的最大值为( )
【导学号：94210012】
A.2
B.32
C.1
D.12
【解析】 ∵a x
＝b y
＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，
∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C.
【答案】 C
2.在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
D.不确定
【解析】 因为tan A ·tan B >1， 所以A ，B 只能都是锐角，
所以tan A >0，tan B >0，1－tan A ·tan B <0， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0，
所以A ＋B 是钝角，即C 为锐角. 【答案】 A
3.若0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，a 2
＋b 2
，2ab 中最大的是________. 【解析】 由0<a <1，0<b <1， 且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2
＋b 2
>2ab . 又a >a 2
，b >b 2
，
知a ＋b >a 2
＋b 2
，从而a ＋b 最大. 【答案】 a ＋b
4.如图1­2­4所示，M 是抛物线y 2
＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值.
图1­2­4
【证明】 设M (y 2
0，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， ∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，
∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 2
0).
由⎩
⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k （x －y 2
0），y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0， 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝（1－ky 0）2
k
2
. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝（1＋ky 0）2
k 2
.
∴k EF ＝y E －y F
x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k （1－ky 0）2k 2－（1＋ky 0）2k 2＝
2
k －4ky 0
k
2
＝－1
2y 0
(定值).
∴直线EF 的斜率为定值.。