群论34-41

1 2 i 3 2 eˆ1 i i 3 2 1 2 eˆ2 1 2 i 3 2 eˆ1 ieˆ2
ei2 3eˆ1 ieˆ2 eˆ1 ieˆ2
上式结果对应于 c3 的不可约表示 D3 。同理其他元素的也可以得到
P4eˆ3 0
P4eˆ1 1 2 eˆ1 ieˆ2
是否成立？
左边 a Al a Al b Bi b Bi ga gb
l
i
上面推论成立
※⑶因子群的所有不可约表示的直积得到的是直积群的不
可约表示的全部 证：直积群的不可约表示的维度 L
L la lb
r
L2 ga gb
1
对于 Ga 的不可约表示 Da ，其维度 la ，Gb 的 Db 维度 lb
群)
而且对过球心的平面的镜面反射也是对称操作，与 R3群合
并组成 O3 群(全正交群)
图！
点操作的共同特点：
不动的点为坐标原点，过原点的点 操作不改变 r1 , r2 矢量间的相对位
r 1
置(在数学上称保长、保角变换)
任何点操作在三维空间中对应着一个算符 A,
r1 Ar1
r2 Ar2
显然内积：
rv1, rv2 rv1, rv2 Arv1, Arv2
群C3h 在三维空间上的表示及表示空间的约化： 设C3 的转动轴为 z 轴，建立坐标系，基矢为 eˆ1 ， eˆ2 ， eˆ3 ，对应 x,y,z 轴的单位矢量。
图！
T
c3
eˆ1
1 2
eˆ1
3 2
eˆ2
0
eˆ3
T c3 eˆ2
3 2
eˆ1
1 2
eˆ2
0
eˆ3
T c3 eˆ3 0 eˆ1 0 eˆ2 1 eˆ3
点操作(point operation)：空间中至少有一点不变的对称
操作，称作点对称操作，简称点操作。包括旋转和镜面反
射。该操作中至少有一点是不动的。
空间操作(space operation):由平移实现，空间所有点都
发生变动。
例：1. c3v 群是点操作
2.花瓶：
有对称中心轴线，旋转任何角度不
变，有无限多的操作。
图！
绕轴旋转任何角度 Cz ，( 0,2 )
C 表示旋转，Z 表示转轴方向， 表
示转角大小。
Cz Cz Cz
∴ Cz 构成了 Abel 群(可置换群元)。且该群称为 R2 群
或 SO2群。(二维旋转内的对称操作﹑二维旋转群)
3.圆球：绕过球心的任意转轴旋任意角度都是对称操作，
这些操作组成的群称为 R3群或 SO3群。( R3群:三维旋转
e 3, c3 0, c32 0,
h 1, c3 h 2, c32 h 2
R a j j R
j
aj
1 g
R
j R R
a j 一定是整数
a1
1 6
1
3
1
0
1
0
111
21
2
0
a2
1 6
1 3
1 0
1 0
1 1
1
2
1
2
1
a3
1 6
13
满足此关系的变换一定满足保长、保角变换。
类似于 x, Ay A x, y之内积运算
上式可写为 A Ar1, r2 ，∴要求 A A I0 (单位算符)
※ 即 A 变换是幺正的 而在三维空间中，要求 A 变换不会将矢量变成复矢量，
∴A 必须是实变换，结合幺正性，表明 A 是正交算符， 对应的矩阵为正交矩阵(orthogonal matrix), A A~ A1
所有的不可约表示都是一维的，特征标就是表示矩阵。
e C3h
c3
c
2 3
h c3 h c32 h
D1 1 1 1 1 1 1
D2 1 1 1 - 1 - 1 - 1
D3 1 w w2 1 w w2
D4 1 w2 w 1 w2 w D5 1 w w2 - 1 w w2
D6 1 w2 w - 1 w2 w
②任意两向量间夹角不变。
对称操作群：对于一个物质体系，由该体系的所有对称 操作构成的集合，称为该体系的～。
对称操作的基本类型：
①（rotation）旋转：绕固定轴（有向线段）转某个角度(0～ 2 )。
②(mirror reflection)镜面反射(也叫反映):镜面记作 ，以 k
为法向量的平面，记作
0
2
0 11
2 2
2
1
a4 1
a5 0
a6 0
D D2 D3 D4
D D2 L D2
D3 L D3
a2次
l2维
21 1
L
21 l2
a3 l3
ji k
D4 L D4 a4 l4
D2
D3
D4
i
21 1
31 1
41 1
12
13
14
投影算符：
Pj
lj g
R
D1j1 R T R
※ ⑵因子群的两个不可约表示的矩阵直积（是否）构成直
积群的不可约表示？
证： Da Al Db Bi
Da Al Db Bi a Al b Bi
而左边 Al Bi 即有Al Bi a Al b Bi
下面只虽利用不可约表示的判据：
Al Bi Al Bi ga gb li
g3h g3 g1h 6
c3h , c3h 2 c32, c3h 3 h ,
c3h 4 c3,c3h 5 c32h, c3h 6 e
循环群，生成元为 c3 h 。求所有不可约表示的特征标系。 先求共有多少个不可约表示
循环群是 Abel 群
li 6
i
r c
类的数目等于群阶 6，共有六个不可约表示。
3 2eˆ2 2 1 2 eˆ1
3 2eˆ2
eˆ1 1 2 eˆ1 3 2eˆ2 2 1 2 eˆ1 3 2eˆ2
P3eˆ2
1 i
2 eˆ1 2 eˆ1
ieˆ2 ieˆ2
线性相关的
31 1
e1
ie2
为约化基失
但需做检验：
T
c3
31 1
T
c3
e1
ie2
1 2e1 3 2e2 i 3 2e1 i1 2e2
类似于之内积运算上式可写为变换是幺正的而在三维空间中要求a变换不会将矢量变成复矢量是正交算符对应的矩阵为正交矩阵orthogonalmatrix由正交变换组成的群称为o群三维转轴so群是specialorthogonalgroup引理1
C3 群：e, c3 , c32 和C1h：e, h 的直积群：C3h C3 C1h
由一维特性：
c3 c3 c3 c33 e 1
1
ei
2
3
w w3
1
c3
i 2 2 e 3
w2
ei
2
3
3
1
与第一解重复
c3 c32 1
h h h 2 e 1 c3 h c3 h
c32 h c32 h
先用 c3 1的解来试试
利用：
h 1
i R j R ij g
R
比如： 3R 3R g3h 6 R
成立
判据:
i
R
j
R
i j
0
R
不可约表示时！
一维表示肯定是不可约的，而且，特征标的的模一定等于 1。
(如若 g 2 ， g 2 2 2
发散，且一个群元可能有两个特征标)
C3h 的正规子群C3 ，C1h ，其商群为C3h C3 ，与C1h 是同构关系。
T h eˆ1 eˆ1 T h eˆ2 eˆ2 T h eˆ3 eˆ3
1 2 3 2 0
D c3 3 2 1 2 0
0
0 1
1 0 0
D h 0 1
0
0 0 1
三维空间构成 C3h 群的封闭空间，所以每个群元在此空间中必有表示，
从而其他群元表示可直接求出。
1 2 3 2 0
b13
b23
b33
a11B a21B
a12 B a22 B
前一个矩阵（ l1 维）和后一个矩阵（l2 维）的直接乘积即直乘，
直积。
l1 l2 维
a b li kj alk bij
※⑴直积群的表示就是相应群元的表示的直积。
证：
如果 Al Bi AmBj AnBk , 则有
?
Da Al Db Bi Da Am Db Bj Da An Db Bk
C3h C3 C1h
e c3
c
2 3
h
c3 h
c32 h
D1 D13 D1h
D2 D1 3D2 h
D3 D2 3D1 h
D4 D2 3 D2 h
D5 D3 3D1 h
D6 D3 3D2 h
第三章 连续转动群
第一节 基本概念和定理
对称操作：是物质体系所占的空间位置不变的空间变换， 称作体系的～。 对称操作满足两个基本条件：①任意两点间距离不变；
由正交变换组成的群称为 O 群(三维转轴 O3 群)
SO3群是 Special orthogonal group
h
D1 1 1
D2 1 -1
G Ga Gb 已知 Ga 的表示 Da ， Gb 的表示为 Db ，如何构造 G 的表示？
Al Ga，有Da Al Bi Gb ,有Db Bi
直积群 Al Bi G
Da Al Db Bi 假设aa1211
a12 a22
b11 b21 b31
b12 b22 b32
P2
1 6
1T e 1T c3 1T
c32
1Th 1Tc3h 1T
c32 h
P3
1 6
1Te Tc32 T
c32
1.Th Tc3h 2 T
c32 h
P4
1 6
1Te2 Tc3 T
c32
1.Th 2 Tc3h T
c32 h
P2eˆ3, P2eˆ1, P2eˆ2 E2 a2维即一维空间
D c32
Dc3
Dc3
32
1 2
0
0
0 1
1 2 3 2 0
Dc3
h
Dc3
D
h
32
1 2
0
0
0 1
1 2 3 2 0
D c32 h
32
1 2
0
0
0 1
因为 C3h 的不可约表示都是一维的，显然上述表示都是可约的，应将现
有的基失化成可约基失（对称化基失），从而将上述表示化成块状矩阵。 利用投影算符算法。
P2eˆ3
1 6
eˆ3
eˆ3
eˆ3
eˆ3
eˆ3
eˆ3
eˆ3
P2eˆ1 0
P2eˆ2 0
eˆ3是约化基矢
D2
12 1
eˆ3
求P3eˆ1, P3eˆ1, P3eˆ1
P3eˆ3
1 6
eˆ3
eˆ3
2
eˆ3
eˆ3
eˆ3
2
eˆ3
0
P3eˆ1
1 6
eˆ1 1 2 eˆ1
k
；
h
，
(分别为垂直和通过主轴的镜
面)
③(translation)平移：空中所有的点沿同一方向移动相同距离的
操作。用向量 a表示(其指向表方向， a表距离)
④(inversion)反演： r r 反演与镜面反射两者是相互关联
的，其中只有一个是基本的。
I hc2 (即反演可由绕轴旋180 后再做关于 垂直于转轴的平面的镜面反射)。
图！
h ：关于此平面的镜面反射
可做直积群操作的两个群必须满足： 1.只有一个公共元素，即单位元。 2.两个构成直积的群中任两个元素对易。（分别来自两个群）
如： hCz p p Cz h p p
对易
C3h C3 C1h e, c3 , c32 , h , c3 h , c32 h
C3h C3
D1
D2
C3
hC3
1
1
1 -1
C3 c3 , c32 , e
hC3 h,c3h , c32h 陪集
※ 二阶群的表示是唯一的（都是一维的 A
另一个商群：
C3 h C1h
C1h
D1
1
D2
1
D3
1
C3C1h
1
C32C1h
1
w w2
w2 w
※三阶群的表示也是唯一的（都是一维的 Abel 群） 此商群与 C3 同构 但是不完整，因为子群的不可约表示必为大群的不可约表示，但不能 “代表”全部不可约表示。现在来求解 C3h 在三维空间上的一个表示。
P4eˆ2 i 2 eˆ1 ieˆ2
41 1
eˆ1
ieˆ2
即
21 1
,131,
41 1
形成新的约化基失，可以将表示化为不可约表示。
第七节 表示的直积和直积群的表示
C3h C3 C1h
C3, C1h为直积因子
C3
e
c3
c
2 3
D1 1 1 1
D2 1 2
D3 1 2
e C1h
而 D 是直积群的不可约表示，其维度 la lb
rarb
lalb
2
ra rb
la 2lb 2
ga
gb
ij
ij
r
ra rb
L2
lalb
L 2
ra rb
2
1
ij
ij
于是有 r ra rb ，说明因子群所有不可约表示的直积表示 个数等于直积群的不可约表示个数，推论成立。 例： 由 C3 、 C1h 的不可约表示构造 C3h 的不可约表示：
?
即 D
Al Bi
D
Am Bj
D
An Bk
左边：
Da
Al
Db
Bi
Da
Am
Db
Bj
Da
Al
Da
Am
Db
Bi
Db
Bj
Da An Db Bk
右边 Da An Db Bk 左边 右边
※ 因子群的两个表示的矩阵直积构成直积群的表示