安徽省安庆市2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题理含解析
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【解析】
【分析】
（1）先根据 且 ， 且 可知四边形 为平行四边形，由此 ，进而得证；
（2）先证明 平面 ，由此可以 为坐标原点，射线 、 分别为 轴、 轴的正半轴，以平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用向量的夹角公式得解.
【详解】（1）如图 ，取线段 的中点 ，连接 、 ，
【点睛】本题考查了椭圆方程，根据对称和向量数量积求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20. 为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各 次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：
（1）①设所采集的 个连续正常运行时间的中位数 ，并将连续正常运行时间超过 和不超过 的次数填入下面的列联表：
又 ，可得 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以可得点 的坐标为 （点 只能在第一象限），所以直线 的方程为 ，代入 ，可求得点 的横坐标为 ，
所以 ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了抛物线的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.
16. 《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马 ， 平面 ， ， ， . 上有一点 ，使截面 的周长最短，则 与 所成角的余弦值等于______.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，根据条件概率公式计算得到答案.
【详解】记事件 “4名同学所报选项各不相同”，
事件 “已知甲同学报的项目其他同学不报”，
， ， .
故选：C.
【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10. 在平行四边形 中， ， ， 是 的中点， 点在边 上，且 ，若 ，则 （）
【答案】
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，则 ，根据题意得出关于 和 的方程组，求出这两个量的值，利用等比数列的通项公式可求出 .
【详解】设等比数列 公比为 ，则 ，由 ， ，得 ，解得 ， ，
数列 的通项公式 .
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到 ， ， ，得到答案.
【详解】 ， ， ，
由于 ，故 .
故选：A.
【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）
为 的中点， 且 ，
又 为 的中点， 且 ， 且 ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）作 于点 ，由 ，得 ，
，即 为 的中点，
， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，从而有 ，
又 ， ， 平面 ，
故可以点 为坐标原点，射线 、 分别为 轴、 轴的正半轴，以平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图 ，
安徽省安庆市2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 理（含解析）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可选用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】
记 ， ， ， ，根据 得到 ，计算得到答案.
【详解】记 ， ，则 ， ， ， ，
所以
.
因为 ，所以 ，得 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查了根据向量数量积求夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11. 双曲线 ： 的右支上一点 在第一象限， ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 的内心，若内切圆 的半径为1，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的值等于（ ）
12. 定义在 上函数 满足 ，且当 时， .则使得 在 上恒成立的 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算 ，画出图像，计算 ，解得 ，得到答案.
【详解】根据题设可知，当 时， ，故 ，
同理可得：在区间 上， ，
所以当 时， .
作函数 的图象，如图所示.
在 上，由 ，得 .
2. 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.
【详解】若 是纯虚数，化简虚数得到 ，
纯虚数即
解得m=-1.
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.
19. 已知椭圆 ： 的离心率是 ，原点到直线 的距离等于 ，又知点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 上总存在两个点 、 关于直线 对称，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据离心率定义和点到直线的距离公式计算得到答案.
（2）设直线 的方程为 ，联立方程得到 ， ，根据中点得到 ，得到 ，根据 一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
易得 ，由于 ， ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在 中，三内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 为锐角，且 .
（1）求 ；
（2）已知 ， ，求 面积.
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由 ，得 ， ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）根据题意可设直线 方程为 ，联立 ，
整理得 ，由 ，得 .
设 ， ，则 ， .
又设 的中点为 ，则 ， .
由于点 在直线 上，所以 ，得 ，代入 ，
得 ，所以 ①.
因为 ， ，
所以
.
由 ，得 ，解得 ，所以 ，
即 ②
又由①②得 ，故实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
【分析】
要使截面 的周长最短，则 最短，连接 ，交 于 ，作 交 于 ，连接 ，则 与 所成角为 ，计算得到答案.
【详解】要使截面 的周长最短，则 最短，
将底面 沿 展开成平面图形 （如图），连接 ，交 于 ，
则 ，当 共线时等号成立，
此时，由 ， ，则 ，故 ， ，故 ，
作 交 于 ，连接 ，则 与 所成角为 ，
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，该几何体是四棱锥 ，计算得到答案.
【详解】该几何体是四棱锥 ，
其中 ，底面是直角梯形， ， ， .
体积 .
故选： .
【点睛】本题考查了根据三视图求体积，画出几何体是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8. 设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到 ， ，故 ，计算得到答案.
【详解】 ，故 ， ；
，故 ， ，
所以 ，
故当 时， 最小为 .
故选： .
【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移法则的灵活运用.
7. 如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，设圆 与 三边的切点分别为 ， ， ，得到 ，故 ，计算得到答案.
【详解】如图，设圆 与 三边的切点分别为 ， ， ，
根据圆切线的性质和双曲线的定义，有 .
又 ，所以 ，
所以 ，即点 的横坐标为3，所以 .
因为 ， ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算法框图依次计算得到答案.
【详解】 ， ； ， ； ， ； ， ； ， ；
故呈现以4为周期的特点，当 时，输出结果与 时结果相同，为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定周期是解题的关键.
5. 设公差不为 的等差数列 的前 项和为 .若 ，则在 、 、 、 这四个值中，恒等于 的个数是（ ）
15. 过抛物线 焦点 的直线交抛物线于点 、 ，交准线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则弦长 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
设点 、 在准线上的射影分别是点 、 ，计算得到 ，得到 的坐标为 ， 的横坐标为 ，计算得到答案.
【详解】设点 、 在准线上的射影分别是点 、 ，
根据抛物线的定义可知原点 是线段 的中点，所以 是线段 的中点， ，
超过
不超过
改造前
改造后
②根据①中的列联表，能否有 的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？
附： .
（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为 天（即从开工运行到第 天 进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为 万元/次；保障维护费第一次为 万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加 万元.现制定生产线一个生产周期（以 天计）内的维护方案： ， 、 、 、 .以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.
①代入②，得 ，所以 .
所以 的面积等于 .
【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18. 如图，在三棱柱 中， ， ， 、 分别为 和 的中点，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
14. 在 展开式中， 的偶数次幂项的系数之和为8，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
设 的偶数次幂项的系数之和为 ，奇数次幂项的系数之和为 ，则 ，解得 ，得到答案.
【详解】设 展开式 的偶数次幂项的系数之和为 ，奇数次幂项的系数之和为 ，
则 ，得 ，由 得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
【解析】
【分析】
（1）计算得到 ，故 ，或 ，计算得到答案.
（2）根据题意得到 ，根据正弦定理得到 ，得到 ，得到面积.
【详解】（1）由 ，得 ，故 .
所以 ，或 即 .
因为 为锐角，所以 ，即 ，故 .
（2）由 ，得 ，故 .
因为 ，所以 ①.
根据正弦定理， ，及 ， ， ，
得 ，所以 ，故 ②.
令 ，则 、 、 、 、 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，可得 ，
又平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，
因此，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.
由图象可知当 时， .
故选： .
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）
13. 已知公比不为 的等比数列 ，且 ， ，则数列的通项公式 _____.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，可得出 ，再根据等差数列的基本性质可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
由 ，可得 ， ，
， ，
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
6. 为了得到正弦函数 的图象，可将函数 的图象向右平移 个单位长度，或向左平移 个单位长度（ ， ），则 的最小值是（ ）
3. 函数 在 上的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数排除 ，计算 时， ，排除 ，得到答案.
【详解】函数 是奇函数，排除A，D；当 时， ，排除C.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键.
4. 在如图所示的算法框图中，若输入的 ，则输出结果为（ ）
【分析】
（1）先根据 且 ， 且 可知四边形 为平行四边形，由此 ，进而得证；
（2）先证明 平面 ，由此可以 为坐标原点，射线 、 分别为 轴、 轴的正半轴，以平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用向量的夹角公式得解.
【详解】（1）如图 ，取线段 的中点 ，连接 、 ，
【点睛】本题考查了椭圆方程，根据对称和向量数量积求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20. 为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各 次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：
（1）①设所采集的 个连续正常运行时间的中位数 ，并将连续正常运行时间超过 和不超过 的次数填入下面的列联表：
又 ，可得 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以可得点 的坐标为 （点 只能在第一象限），所以直线 的方程为 ，代入 ，可求得点 的横坐标为 ，
所以 ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了抛物线的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.
16. 《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马 ， 平面 ， ， ， . 上有一点 ，使截面 的周长最短，则 与 所成角的余弦值等于______.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，根据条件概率公式计算得到答案.
【详解】记事件 “4名同学所报选项各不相同”，
事件 “已知甲同学报的项目其他同学不报”，
， ， .
故选：C.
【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10. 在平行四边形 中， ， ， 是 的中点， 点在边 上，且 ，若 ，则 （）
【答案】
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，则 ，根据题意得出关于 和 的方程组，求出这两个量的值，利用等比数列的通项公式可求出 .
【详解】设等比数列 公比为 ，则 ，由 ， ，得 ，解得 ， ，
数列 的通项公式 .
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到 ， ， ，得到答案.
【详解】 ， ， ，
由于 ，故 .
故选：A.
【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）
为 的中点， 且 ，
又 为 的中点， 且 ， 且 ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）作 于点 ，由 ，得 ，
，即 为 的中点，
， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，从而有 ，
又 ， ， 平面 ，
故可以点 为坐标原点，射线 、 分别为 轴、 轴的正半轴，以平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图 ，
安徽省安庆市2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 理（含解析）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可选用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】
记 ， ， ， ，根据 得到 ，计算得到答案.
【详解】记 ， ，则 ， ， ， ，
所以
.
因为 ，所以 ，得 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查了根据向量数量积求夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11. 双曲线 ： 的右支上一点 在第一象限， ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 的内心，若内切圆 的半径为1，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的值等于（ ）
12. 定义在 上函数 满足 ，且当 时， .则使得 在 上恒成立的 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算 ，画出图像，计算 ，解得 ，得到答案.
【详解】根据题设可知，当 时， ，故 ，
同理可得：在区间 上， ，
所以当 时， .
作函数 的图象，如图所示.
在 上，由 ，得 .
2. 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.
【详解】若 是纯虚数，化简虚数得到 ，
纯虚数即
解得m=-1.
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.
19. 已知椭圆 ： 的离心率是 ，原点到直线 的距离等于 ，又知点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 上总存在两个点 、 关于直线 对称，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据离心率定义和点到直线的距离公式计算得到答案.
（2）设直线 的方程为 ，联立方程得到 ， ，根据中点得到 ，得到 ，根据 一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
易得 ，由于 ， ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在 中，三内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 为锐角，且 .
（1）求 ；
（2）已知 ， ，求 面积.
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由 ，得 ， ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）根据题意可设直线 方程为 ，联立 ，
整理得 ，由 ，得 .
设 ， ，则 ， .
又设 的中点为 ，则 ， .
由于点 在直线 上，所以 ，得 ，代入 ，
得 ，所以 ①.
因为 ， ，
所以
.
由 ，得 ，解得 ，所以 ，
即 ②
又由①②得 ，故实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
【分析】
要使截面 的周长最短，则 最短，连接 ，交 于 ，作 交 于 ，连接 ，则 与 所成角为 ，计算得到答案.
【详解】要使截面 的周长最短，则 最短，
将底面 沿 展开成平面图形 （如图），连接 ，交 于 ，
则 ，当 共线时等号成立，
此时，由 ， ，则 ，故 ， ，故 ，
作 交 于 ，连接 ，则 与 所成角为 ，
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，该几何体是四棱锥 ，计算得到答案.
【详解】该几何体是四棱锥 ，
其中 ，底面是直角梯形， ， ， .
体积 .
故选： .
【点睛】本题考查了根据三视图求体积，画出几何体是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8. 设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到 ， ，故 ，计算得到答案.
【详解】 ，故 ， ；
，故 ， ，
所以 ，
故当 时， 最小为 .
故选： .
【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移法则的灵活运用.
7. 如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，设圆 与 三边的切点分别为 ， ， ，得到 ，故 ，计算得到答案.
【详解】如图，设圆 与 三边的切点分别为 ， ， ，
根据圆切线的性质和双曲线的定义，有 .
又 ，所以 ，
所以 ，即点 的横坐标为3，所以 .
因为 ， ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算法框图依次计算得到答案.
【详解】 ， ； ， ； ， ； ， ； ， ；
故呈现以4为周期的特点，当 时，输出结果与 时结果相同，为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定周期是解题的关键.
5. 设公差不为 的等差数列 的前 项和为 .若 ，则在 、 、 、 这四个值中，恒等于 的个数是（ ）
15. 过抛物线 焦点 的直线交抛物线于点 、 ，交准线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则弦长 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
设点 、 在准线上的射影分别是点 、 ，计算得到 ，得到 的坐标为 ， 的横坐标为 ，计算得到答案.
【详解】设点 、 在准线上的射影分别是点 、 ，
根据抛物线的定义可知原点 是线段 的中点，所以 是线段 的中点， ，
超过
不超过
改造前
改造后
②根据①中的列联表，能否有 的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？
附： .
（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为 天（即从开工运行到第 天 进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为 万元/次；保障维护费第一次为 万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加 万元.现制定生产线一个生产周期（以 天计）内的维护方案： ， 、 、 、 .以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.
①代入②，得 ，所以 .
所以 的面积等于 .
【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18. 如图，在三棱柱 中， ， ， 、 分别为 和 的中点，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
14. 在 展开式中， 的偶数次幂项的系数之和为8，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
设 的偶数次幂项的系数之和为 ，奇数次幂项的系数之和为 ，则 ，解得 ，得到答案.
【详解】设 展开式 的偶数次幂项的系数之和为 ，奇数次幂项的系数之和为 ，
则 ，得 ，由 得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
【解析】
【分析】
（1）计算得到 ，故 ，或 ，计算得到答案.
（2）根据题意得到 ，根据正弦定理得到 ，得到 ，得到面积.
【详解】（1）由 ，得 ，故 .
所以 ，或 即 .
因为 为锐角，所以 ，即 ，故 .
（2）由 ，得 ，故 .
因为 ，所以 ①.
根据正弦定理， ，及 ， ， ，
得 ，所以 ，故 ②.
令 ，则 、 、 、 、 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，可得 ，
又平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，
因此，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.
由图象可知当 时， .
故选： .
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）
13. 已知公比不为 的等比数列 ，且 ， ，则数列的通项公式 _____.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，可得出 ，再根据等差数列的基本性质可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
由 ，可得 ， ，
， ，
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
6. 为了得到正弦函数 的图象，可将函数 的图象向右平移 个单位长度，或向左平移 个单位长度（ ， ），则 的最小值是（ ）
3. 函数 在 上的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数排除 ，计算 时， ，排除 ，得到答案.
【详解】函数 是奇函数，排除A，D；当 时， ，排除C.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键.
4. 在如图所示的算法框图中，若输入的 ，则输出结果为（ ）