时谐电磁场的位函数和亥姆霍兹方程

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第17讲时变电磁场(2)..

矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量
理想介质
t
t
Hale Waihona Puke 复矢量2 2 E k E 0 2 2 H k H 0
2 2 E E 2 0 t 2 2 H H 0 2t
(k )

E0 H 0 cos 2 t (r )
使用二次式时需要注意的问题
二次式只有实数的形式，没有复数形式
场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是复数式时，应先取实部再代入，即“ 先取实后相
乘”
如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子
瞬时电磁场能流密度
S(r,t) E(r, t ) H (r, t )
故电场的复矢量为
E ( z) ex [0.03e j / 2 0.04e j / 3 ]e jkz
E ( z) ex [0.03e
H ( z) 1 j 0 E ( z) ey
j / 2
0.04e
j / 3
]e
jkz
（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量
例将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式
E ( z, t ) ex Exm cos(t kz x ) ey E ym sin(t kz y )
解：由于
E ( z, t ) ex Exm cos( t kz x ) ey E ym cos(t kz y ) 2
H J jD E jB D B 0
～ t
j
略去“.”和下标m

时谐电磁场

磁铁 S
运动
N 静止线圈
＋－
i
图4 - 1 由磁通量增加产生的感应电动势与电流
＋
K
U －
＋－
线圈2
线圈1
图4 - 2 接通线圈1的开关K时，在线圈2中的与穿过曲面S和回路C交链的磁通Ψ的正向成右手螺旋关系。时变磁通可通过在线圈附近
移动磁铁来产生，如图4-1所示，或者由打开或接通另一个线圈的电路来建立，
如图4-2所示。
❖
2章知道，在导体内维持电
流以必用须导在体导内体的内感存应C 在电Ei非场n 保（dl 守非场库，仑电我场们）可
来定义感应电动势
❖
如果空间中同时存在由静止电荷
产生的保守电场Ec，则总电场E=Ein+Ec，因此电场沿闭合路径的积分为
C E dl C (Ein Ec ) dl C Ein dl
第4章时谐电磁场与电磁波
❖ 4.1 法拉第电磁感应定律 ❖ 4.2 位移电流 ❖ 4.3 麦克斯韦方程及边界条件 ❖ 4.4 坡印廷定理与坡印廷矢量 ❖ 4.5 时谐电磁场 ❖ 4.6 平面电磁波 ❖ 4.7 电磁波的极化 ❖ 4.8 电磁波的色散与群速 ❖ 4.9 均匀平面电磁波对平面边
界的垂直入射
利用式
1 R
aR R2
，式
B(r) 0 4 V
J (r) aR R2
dV
又可以写为
B(r) 0
4
V
J
(r)
1 R
dV
应用恒等式
▽ ×(ψA)=▽ ψ×A+ψ▽ ×A
同时注意到▽ 是对场点作用的算子，故 ▽ ×J(r′)=0，磁通密度可以表达如下

电磁场与电磁波1-6章公式总结.

三种坐标下的位矢表示：直角坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：标量的梯度：矢量的散度：矢量的旋度：散度定理：斯托克斯定理：拉普拉斯运算符：标量拉普拉斯运算：矢量拉普拉斯运算：电流的连续性方程：，恒定电流场：（要电流不随时间变化，即要电荷在空间分布不随时间变化）电场强度：高斯定理：电场性质：磁感应强度：安培环路定理：磁场性质：媒质的传导特性：（表示电荷的运动速度）法拉第电磁感应定律：麦克斯韦方程组与磁场的边界条件：静电场和恒定磁场的基本方程和边界条件如上可查（电场与磁场不相互影响，故有略去项）电位函数：微分方程：边界方程：系统电容：1取适合坐标；2设带等量相反电荷；3求出电场；4求出电位差；5计算荷差比。

静电场的能量：能量密度：矢量磁位：，微分方程：边界方程：标量位矢：微分方程：边界方程：系统电感：恒定磁场的能量：能量密度：恒定电场分析：本构以，电荷密度对恒定电场无影响可以置零。

对比电容与漏电导：唯一性定理：在场域的边界面上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域内具有唯一解。

镜像法遵循的原则：1所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；2镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界面上的边界条件来确定。

波动方程：达朗贝尔方程（依洛仑兹规范）：洛仑兹规范：库仑规范：电磁能量守恒：（坡印廷定理）时谐电磁场的复数表示：复矢量的麦克斯韦方程：，，，亥姆霍兹方程（波动方程的复数化）：，，时谐场的位函数：洛仑兹条件变为达朗贝尔方程变为平均能流密度：平均电、磁场能量密度：理想介质中的均匀平面波函数：，第一项为方向，第二项为方向理想介质中的均匀平面波的传播特点：沿任意方向传播的均匀平面波：合成波的极化形式取决于和分量的振幅和相位之间的关系：有：，直线极化波：或圆极化波：电场的和分量的振幅相等；，左旋极化波；，右旋极化波椭圆极化波：振幅和相位都不等，最简单而形成。

均匀平面波在导电媒质中的传播（）：，称为衰减常数，称为相位常数（与波数相近），速度变为平均坡印廷矢量：弱导电媒质中的均匀平面波：，，良导体中的均匀平面波：趋肤深度群速与相速的关系：①，无色散；②，正常色散；③，反色散均匀平面波对分界面的垂直入射：定义：反射系数，透射系数且有关系：对理想导体平面的垂直入射：媒质1为理想介质，媒质2为理想导体，得，故有，对理想介质分界面的垂直入射：媒质1与2均为理想介质，，得，，故有，均匀平面波对多层介质分界面的垂直入射：自右起，算出第2个分界面右边的等效阻抗，连续计算至自左起的第1个分界面右边。

亥姆霍兹方程推导

与其他物理量的关系
亥姆霍兹方程与波动场中的其他物理量，如速度、加速度、位移等密切相关。通过该方程，可以建立这些物理量之间的联系，为波动现象的研究提供方便。
推导亥姆霍兹方程的目的
揭示波动现象的本质
通过推导亥姆霍兹方程，可以深入了解波动现象的本质和规律，掌握波动场的基本性质和传播特点。
为实际应用提供理论支持
亥姆霍兹方程的解的性质
解的存在性和唯一性
在一定的边界条件和初始条件下，亥姆霍兹方程存在唯一解。解的存在性和唯一性可以通过数学方法如分离变量法、格林函数法等来证明。
解的振荡性质
亥姆霍兹方程的解具有振荡性质，即解在空间中呈现周期性的变化。这种振荡性质与波的传播和干涉现象密切相关。
解的衰减性质
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解会随着距离的增加而逐渐衰减。这种衰减性质与波的扩散和衰减现象有关。
将亥姆霍兹方程转化为等价的变分问题，即求泛函的极值问题。
网格剖分
将求解区域剖分为有限个单元，每个单元内的解用形函数近似表示。
单元分析
对每个单元进行分析，建立单元刚度矩阵和荷载向量。
总体合成
将所有单元的刚度矩阵和荷载向量按照一定规则合成总体刚度矩阵和荷载向量。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
进而研究热传导的规律。
05
数值方法求解亥姆霍兹方程
有限差分法
差分格式
将亥姆霍兹方程中的微分项用差分格式近似，从而将偏微分方程转化为代数方程。
网格划分
在求解区域上划分网格，将连续的空间离散化，便于计算机处理。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对差分方程进行修正，以保证解的正确性。

亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍亥姆霍兹兹的名字命名。

亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。

因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。

如：电磁场中的▽^2 E+k^2 E=0，▽^2 H+k^2 H=0，称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。

其中：k^2=μω^2(ε-jσ/ω) 为波数，当忽略位移电流时，k^2=μεω^2；以上^2为平方。

相关书籍数学上具有(墷2+k2)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。

式中墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。

当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。

在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。

亥姆霍兹方程相关书籍亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程相关书籍相关书籍。

电磁场与电磁波基础知识总结

电磁场与电磁波总结第一章一、矢量代数 A ∙B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B )()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元x y z =++le e e d x y z矢量面元=++Se e e x y z d dxdy dzdx dxdy体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y2. 圆柱形坐标系矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ体积元dz d d dVϕρρ=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元d l = e r d r e θr d θ+e ϕr sin θd ϕ矢量面元d S = e r r 2sin θd θd ϕ体积元ϕθθd drd r dVsin 2=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A SSd Φ0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γmaxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x z A A A x y z11()z A A A z ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕxy z∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y zA A A 1zzzA A A ρϕρϕρρϕρ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A 21sin sin r r zr r A r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SVd dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u ll 0cos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P u u u ulx y zαβγcos ∇⋅=∇e l u u θgrad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u u u x y z 1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场()0∇⨯∇=u -u =∇F 六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zyyyx x x z z z x y zu u uu A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第二章一、麦克斯韦方程组 1. 静电场真空中：001d ==VqdV ρεε⋅⎰⎰SE S （高斯定理） d 0⋅=⎰l E l 0∇⋅=E ρε0∇⨯=E 场与位：3'1'()(')'4'V dV ρπε-=-⎰r r E r r r r ϕ=-∇E 01()()d 4πV V ρϕε''='-⎰r r |r r |介质中：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ0∇⨯=E极化：0=+D E P εe 00(1)=+==D E E E r χεεεε==⋅P e PS n n P ρ=-∇⋅P P ρ2. 恒定电场电荷守恒定律：⎰⎰-=-=⋅Vsdv dtd dt dq ds J ρ0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流与运流电流：=J E σρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0⋅=⎰J l l 0∇⋅=J 0∇⨯J =3. 恒定磁场真空中：0 d ⋅=⎰B l lI μ（安培环路定理） d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ0∇⋅=B场与位：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ=∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μm 00(1)=+B H =H =H r χμμμμm =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律() d d in lC dv B dl dt ⋅=-⋅⨯⋅⎰⎰⎰SE l B S +）（法拉第电磁感应定律∂∇⨯=-∂B E t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S lSt∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流：d=DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S lS l SS V Sl tl t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J BE D B t t ρ()()()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m eme e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H DB H J E J D B D B t t&tt ρρm e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B t t ρρ 三、边界条件1. 一般形式12121212()0()()()0n n S n Sn σρ⨯-=⨯-=→∞⋅-=⋅-=（）e E E e H H J e D D e B B2. 理想导体界面和理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n S n S n ρ12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第三章一、静电场分析 1. 位函数方程与边界条件位函数方程：220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qCφ两导体间的电容：=C q /U 任意双导体系统电容求解方法：3. 静电场的能量N 个导体：112ne i i i W q φ==∑连续分布：12e VW dV φρ=⎰电场能量密度：12ω=⋅D E e二、恒定电场分析1.位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E lE l J S E SSSU R G I d d σ（L R =σS ） 4.静电比拟法：G C —，σε—2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析 2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇=211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A lSlL IIIψ0=+i L L L3. 恒定磁场的能量N 个线圈：112==∑Nmj j j W I ψ连续分布：m 1d 2=⋅⎰A J V W V 磁场能量密度：m 12ω=⋅H B第四章一、边值问题的类型（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ （2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ（3）混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ （4）自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。

亥姆霍兹方程推导波动方程电动力学

一、介绍亥姆霍兹方程是描述波动现象的重要方程之一，在电动力学中也有着重要的应用。

本文将围绕亥姆霍兹方程推导波动方程在电动力学中的应用展开讨论，旨在深入探讨相关理论，并提供前沿的研究成果。

二、亥姆霍兹方程的基本原理1. 亥姆霍兹方程的概念及作用亥姆霍兹方程是描述波动现象的偏微分方程。

它是一种线性波动方程，能够描述一维波动现象，如声波、光波等。

亥姆霍兹方程也是电磁波方程中的一个重要组成部分，具有广泛的应用价值。

2. 亥姆霍兹方程的数学表示亥姆霍兹方程可用数学符号表示为△u+k²u=0，其中△为拉普拉斯算子，u为波函数，k为波数。

该方程是一个关于波函数u的二阶偏微分方程，描述了波在空间中的传播过程。

三、亥姆霍兹方程在电动力学中的应用1. 电磁波方程的推导电磁波是由电场和磁场相互作用形成的波动现象，其传播过程可由亥姆霍兹方程描述。

通过麦克斯韦方程和波动方程的推导，可以得到描述电磁波传播的波动方程，从而揭示了电磁波的性质和特点。

2. 电磁波的传播特性利用亥姆霍兹方程可以研究电磁波的传播特性，如波速、频率、偏振等。

通过对波动方程的分析和求解，可以深入了解电磁波在空间中的传播规律，为相关技术和应用提供理论依据。

3. 电磁波在介质中的传播介质对电磁波的传播具有影响，利用亥姆霍兹方程可以研究介质中电磁波的传播性质。

介质的介电常数和磁导率对电磁波的传播速度和衰减效应有重要影响，因此通过亥姆霍兹方程可进行相关研究和分析。

四、前沿研究与应用1. 亥姆霍兹方程的数值模拟随着计算机技术的发展，利用亥姆霍兹方程进行电磁波传播的数值模拟成为研究的热点。

采用有限差分、有限元等方法，可以对电磁波在复杂介质和结构中的传播进行模拟和分析，为相关领域的工程设计和优化提供支持。

2. 电磁波的控制与调制利用亥姆霍兹方程可以研究电磁波的控制和调制技术。

通过改变波函数的边界条件、介质特性等方式，可以实现对电磁波的传播和辐射特性的调控，为通信、雷达、遥感等领域的应用提供新的思路和方法。

时谐电磁场的位函数和亥姆霍兹方程

r r r r 1 T r 1 T r r 1 r 2 S av = ∫ ( E × H ) dt = E0 × H 0 ∫ cos [ωt + φ ( r )]dt = E0 × H 0 T 0 T 0 2
如果电场和磁场都用复数形式给出，即有
r r r jφ ( rr ) ⎧ ⎪ E ( r ) = E0 e r jφ ( rr ) ⎨r r ⎪ ⎩ H (r ) = H 0e
电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式。时谐场中二次式的表示方法二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为
r r r r E (r , t ) = E0 cos[ω t + φ (r )] r r r r H (r , t ) = H 0 cos[ω t + φ (r )]
或直接积分，得
r 1 T r ω 2π ω r Sav = ∫ S dt = S dt ∫ 0 0 2π T r k ω 2π ω r kE02 2 2 ω = t − kz t = E e e [ cos ( )]d 0 z z ωμ0 2π ∫0 2ωμ0
11:09
14
例2 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为
r r jω t r jω t r 1 r S av = [Re( E e ) × Re( H e )]av = E 0 × H 0 2
r r r* 1 S av = Re( E × H ) 2
时间平均值与时间无关
r r jφ ( rr ) − jφ ( rr ) 1 r r 1 ] = E0 × H0 = Re[ E0 × H0e e 2 2

亥姆霍兹方程在极坐标系中的求解过程

亥姆霍兹方程在极坐标系中的求解过程在物理学和工程学中，亥姆霍兹方程是一个非常重要的偏微分方程，它描述了波动现象以及散射和传播等许多自然现象。

在极坐标系中，亥姆霍兹方程的求解过程涉及到复杂的数学理论和方法，需要深入的理论基础和丰富的实际经验。

在本文中，我将从基本概念开始，逐步深入，探讨亥姆霍兹方程在极坐标系中的求解过程，希望能够帮助读者更全面地理解这一重要的数学物理问题。

1. 亥姆霍兹方程简介亥姆霍兹方程是一个描述波动现象的偏微分方程，通常用于描述光、声波、电磁波等在空间中传播的规律。

它的一般形式可以表示为：\[\nabla^2 u + k^2u = 0\]其中，\(\nabla^2\)是拉普拉斯算子，\(u\)表示波函数，\(k\)为波数。

在极坐标系中，亥姆霍兹方程的形式稍有不同，需要进行适当的坐标变换和求解方法。

2. 极坐标系中的亥姆霍兹方程在二维极坐标系中，亥姆霍兹方程可以表示为：\[\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partialu}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2u}{\partial\theta^2} + k^2 u = 0\]其中，\(r\)为径向坐标，\(\theta\)为极角，\(u\)为波函数，\(k\)为波数。

在极坐标系中，由于坐标系的特殊性，方程的求解变得更加复杂和有趣。

3. 求解方法在极坐标系中，亥姆霍兹方程的求解通常需要用到分离变量法、复数变换、特殊函数等多种数学方法。

可以尝试对波函数进行分离变量，得到径向方程和角向方程。

根据具体的边界条件和物理问题，选择合适的方法进行求解。

4. 分析与讨论亥姆霍兹方程在极坐标系中的求解过程涉及到大量的数学理论和物理知识，需要深入的理论基础和丰富的实际经验。

在实际应用中，还需要考虑到边界条件、散射问题、波场传播等多种因素，使得求解过程更加复杂和丰富。

声场亥姆霍兹方程

声场亥姆霍兹方程一、亥姆霍兹方程的引出（一）波动方程在声学中，对于小振幅声波的传播，在均匀的、静止的理想流体介质中，声波的波动方程为：∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0其中p是声压，∇^2是拉普拉斯算符，c是声速，t是时间。

（二）时谐声波假设当考虑时谐声波（即声波随时间作简谐变化）时，设p(→r,t)=P(→r)e^-iω t，这里→r是空间位置矢量，ω = 2π f是角频率，f是频率，P(→r)是仅与空间位置有关的复声压幅值。

将p(→r,t)=P(→r)e^-iω t代入波动方程∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0，可得：∇^2(P(→r)e^-iω t)-(1)/(c^2)frac{∂^2(P(→r)e^-iω t)}{∂ t^2} = 0由于(∂)/(∂ t)(e^-iω t)=-iω e^-iω t，frac{∂^2}{∂ t^2}(e^-iω t)=-ω^2e^-iωt方程变为：e^-iω t∇^2P(→r)+frac{ω^2}{c^2}P(→r)e^-iω t= 0两边同时消去e^-iω t，就得到了亥姆霍兹方程：∇^2P(→r)+k^2P(→r) = 0，其中k = (ω)/(c)称为波数。

二、亥姆霍兹方程在声场中的物理意义（一）描述稳态声场亥姆霍兹方程描述的是稳态（时谐）声场中声压幅值P(→r)的空间分布规律。

它反映了在给定频率ω下，声波在空间中的传播和分布特性，与声源的特性、传播介质的性质以及边界条件等因素密切相关。

（二）与能量分布的联系在声场中，声能量密度与声压的平方成正比。

亥姆霍兹方程通过确定声压幅值的分布，间接地反映了声场中能量的分布情况。

例如，在亥姆霍兹方程的解中，声压幅值较大的区域通常对应着较高的声能量密度区域，这有助于我们理解声波在空间中的聚焦、散射等能量相关的现象。

三、求解亥姆霍兹方程（一）分离变量法1. 直角坐标系下- 对于直角坐标系(x,y,z)，设P(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入亥姆霍兹方程∇^2P + k^2P = 0，其中∇^2=frac{∂^2}{∂ x^2}+frac{∂^2}{∂ y^2}+frac{∂^2}{∂z^2}。

电磁场与电磁波第1718讲位函数波动方程时谐场

2
B E t D H J t D B 0
可得到
2 H 2 H 2 J t
7
可得
2 E J 1 2 E 2 t t
2 H 2 H 2 J t
3
Main topic
1. 位函数 2. 波动方程及其解 3. 时谐场
时变电磁场和麦克斯韦方程
4
1. 位函数
微分形式
解方程：
1）直接求解 2）寻找电场和磁场分别满足的方程（去耦） 3）位函数的方法
B E t D H J t D B 0
5
假设媒质为线性，均匀且各向同性, 根据麦克斯韦方程，可得
left : E ＝ E E＝ E 2 E 1 2 E H ( H ) right : ＝ t t E ( J ) J 2 E t ＝－－ 2 t t t
d d ' B dS dt S dt
(V)
2
2. 麦克斯韦方程
积分形式微分形式意义
法拉第定律
B d dS C S t dt D H dl ( J ) dS C S t E dl
B t D H J t E
a a ; t t t x x x
a a 2 a a a a a a a a t 2 t t t 2 2 2 2 2 2 2 a a a a 2 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 2

电磁场的亥姆霍兹方程

电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程之一。

它是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于19世纪提出的。

亥姆霍兹方程可以表示为：
∇²E + k²E = 0
其中，E代表电场强度，k代表波数，∇²代表拉普拉斯算子。

这个方程描述了电磁波在空间中传播时所满足的条件。

它告诉我们，
电场强度在传播过程中会受到拉普拉斯算子和波数的影响。

当波数为
零时，即没有任何介质存在时，这个方程退化为普通的拉普拉斯方程。

亥姆霍兹方程可以应用于许多领域，比如无线通信、雷达、天线等。

在这些应用中，我们需要了解电磁波在介质中传播的特性，以便更好
地设计和优化相应的设备和系统。

总之，电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程
之一。

它对于许多领域都有着广泛的应用，是我们理解电磁波传播特
性的基础之一。

时谐电磁场 b 和 h 的数学关系

时谐电磁场是电磁学中非常重要的概念，它描述了电磁场随时间变化的特性。

在时谐电磁场中，电场E和磁场H随时间的变化呈正弦或余弦规律，它们可以用复数形式表示，分别为E=E0e^(jωt)和H=H0e^(jωt)。

在时谐电磁场中，电场和磁场之间有着一定的数学关系，下面我们将通过数学推导来探讨时谐电磁场中电场和磁场的数学关系。

1. 库仑定律和安培定律在讨论时谐电磁场的数学关系之前，我们首先要了解库仑定律和安培定律。

库仑定律描述了电荷之间的相互作用，它表明两个电荷之间的相互作用力与它们之间的距离的平方成反比。

安培定律则描述了电流元产生的磁场与电流元之间的关系，它表明电流元产生的磁场的大小与电流元的大小成正比，与电流元之间的距离的平方成反比。

2. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律，它由四个方程组成，分别是高斯定律、法拉第定律、安培定律和毕奥-萨伐尔定律。

在时谐电磁场中，这些方程可以用复数形式表示，通过这些方程我们可以推导出时谐电磁场中电场和磁场之间的数学关系。

3. 时谐电磁场的数学关系由麦克斯韦方程组和安培定律我们可以推导出时谐电磁场中电场和磁场之间的数学关系。

在时谐电磁场中，电场E和磁场H之间的数学关系可以用以下公式表示：∇ x E = -jωμH∇ x H = jωεE其中，∇表示对空间坐标的梯度运算，j是虚数单位，ω是角频率，μ是磁导率，ε是介电常数。

这两个公式表明了电场和磁场之间的耦合关系，它们描述了电场引起的磁场变化和磁场引起的电场变化。

4. 物理意义和应用这些数学关系反映了时谐电磁场中电场和磁场相互作用的规律，它们具有重要的物理意义和广泛的应用价值。

在电磁波传播、天线设计、电磁场仿真等领域，这些数学关系都发挥着重要作用，它们为我们理解和应用时谐电磁场提供了重要的理论基础。

总结时谐电磁场中电场和磁场之间具有一定的数学关系，通过推导和分析我们可以得出它们之间的耦合关系，这些数学关系是电磁场理论的重要组成部分，对于我们深入理解电磁场的性质和应用具有重要的意义。

第四章时谐电磁波 -时谐电磁场复表示

在直角E坐标e系x E下x，电ey场E可y 表e示z E为z：
Ex Ey
(x, (x,
y, y,
z, z,
t) t)
Exm E ym
(x, (x,
y, y,
z) z)
cos[t cos[t
x (x, y (x,
y, y,
z)] z)]
Ez
(x,
y,
z,
t
)
Ezm
(
x,
y,
z)
cos[t
z
方程中虽然没有与时间相关的因子，但是需记住时间因子ejwt 缺省了。
2）麦克斯韦方程组复数形式只能用于时谐场。
6
附：复数形式转换为实数形式
场量的复数形式：场量的实数形式：
E
EmEcosE(met
j
E0e j
) Байду номын сангаасE0
cos(t
)
场量的复数形式转换为实数形式的方法：
E E0e je jtE0e j(t )取实部 E0 cos(t )
(
x,
y,
z)]
上式中： Exm, Eym, Ezm 为电场在各方向分量的幅度
2
由复变函数，知：cos(t) Re(e jt )，则：
Ex Ey
Exm E ym
cos(t x ) Re(Exme j[tx ] ) Re(Exme jt ) cos(t y ) Re(Eyme j[ty ] ) Re(E yme jt )
Ez
Ezm
cos(t
z )
Re(Ezme j[tz ] )
Re(Ezme jt )
式中：
E xm E ym
Exme jx Eyme jy

电磁场理论时变场

变化的电流 J 磁准静态场（MQS）
变化的磁场 B 1 变化的电场 E 1
变化的磁场 B 2
电流、磁场、电场的相互激发关系
磁准静态场基本方程
B 0 H J
D B E t
磁准静态场特点：计算磁场忽略位移电流，只考虑传导电流的作用；传导电流是外加电流与导体中感应电流的总和；计算电场要同时电荷的作用和感应电场。磁准静态场的分析：先求磁场，再解电场。若涉及涡流，则必须电、磁联解。适应对象：低频交流线圈；低频下一小段同轴电缆；涡流场等。似稳条件 R
即：式中，
2
H H 1 2 z z j k Hz 0 2 r r r
2
。阶数为零的含虚宗量的贝塞尔 k
方程，通解为：
J ( jkr ) C K ( jkr ) C H z 1 0 2 0
K0 ( jkr )
r 0

0 C 2
f (r , t ) jt Im[ 2j f (r )e ] t f (r , t ) (r ) j f t
时谐电磁场
对于正弦矢量函数，一切都类似：
时谐矢量 A(r , t ) 2 A( x, y , z )sin(t ) 定义相量关
(r ) A(r )e j A
集肤深度 d
2
z

0.71mm, 50Hz Fe：d 0.16mm, 1kHz 5.03 m, 1MHz
9.35mm, 50Hz Cu： d 2.09mm, 1kHz 0.07mm, 1MHz
• 邻近效应
相互靠近的导体通有交变电流时,会受到邻近导体的影响，这种现象称为邻近效应。频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。

时谐电磁场A详解

电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示 Ex x, y, z, t Exm x, y, z cos t x
E y x, y , z, t E ym x, y , z cos t y
Ez x, y, z, t Ezm x, y, z cos t z
导电媒质的电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示，即
c ' j "

为了方便描述导电媒质的损耗特性，引入媒质损耗角正切（用表示）的概念。定义
" tan arct tan( ) '
6.8 时谐电磁场
在时变电磁场中，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐(正弦或余弦)变化，则所产生的电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。在工程上，应用最多的是时谐电磁场。同时，任意的时变场在一定的条件下都可通过傅里叶分析方法展开为不同频率的时变场的叠加。因此，研究时谐电磁场具有重要的意义。
式中
Fi (r, t ) Fim (r)cos[t i (r)]
(i x, y, z)
2
Fi (r, t ) Fim (r)cos[t i (r)]
它们可用复数表示为
(i x, y, z)
(i x, y, z)
Fi (r , t ) Re[ Fim (r )e ji ( r )e jt ]
j
j[ ( x 2 y z ) ] 3 4
H y ( x, y, z, t ) 120 cos{8 10 t [ ( x 2 y z ) ]} 3 4

4.5 时谐电磁场

同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质
4.5 时谐电磁场
一、时谐电磁场的概念
如果
场源
以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化
电磁场
这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
研究时谐电磁场具有重要意义 1 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。
广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。
2
任意的时变场
分解成基波和高次谐波分量分别研究
2 2 、 j t t 2
即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。
瞬时矢量
复矢量
理想介质
2 E E 2 0 t 2 H 2 H 2 0 t
2
2 E k E 0 2 2 H k H 0
H E j E j ( j ) E j c E
其中c= -jσ/ω、称为导电媒质的等效介电常数。

电介质的复介电常数
对于存在电极化损耗的电介质，有 c j ，称为复介电
常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。
2
(k )
五、时谐场的位函数
在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以
表示成复数形式。瞬时矢量 B A A E t 洛仑兹条件 A t 2 2 A A 2 J t 达朗贝尔方程 2 2 t 2
ˆ y y 0.01e j (100 / 3) z
ˆ z z 0
ˆ1.2e E (t ) Re[ x

赫姆霍兹方程

赫姆霍兹方程
赫姆霍兹方程是一个重要的物理方程，它是20世纪最重要的物理学原理之一。

它描述了物质对时空的动力学响应，也帮助我们完善了相对论，并被用作分析宇宙的基础。

赫姆霍兹方程的提出开始于1915年，当时德国数学家爱因斯坦做出了一项革命性的突破，他把广义相对论的物理思想用数学语言表达出来，由于他的工作，为物理学史上又添了一页光辉。

赫姆霍兹方程的公式如下：Rμν-1/2Rgμν=κTμν。

其中R μν为第一发现的Riemann空间的测度张量，Rgμν为空间的Einstein张量，κ是物质和力学的耦合系数，Tμν则代表了研究物质源引力作用下引起的物质能量、动能和力的内在关系。

赫姆霍兹方程的数学推导涉及了空间的张量分析，对物理学家来说，它是一种全新的数学工具，允许我们用解析的方式求解波动方程，以及描述宇宙的扩张。

此外，赫姆霍兹方程也在实际物理实验中发挥了重要作用。

在太阳系发现外行星时，赫姆霍兹方程可以用来预测太阳系的稳定性。

在工程力学中，它被用来分析和计算一系列物理场，如质量、摩擦力、温度场等。

最后，赫姆霍兹方程被用来表示宇宙的膨胀，它可以提供宇宙背景辐射的相关信息，更重要的是，它可以帮助我们探测宇宙的未来。

这些研究的结果提出了一个新的概念，即宇宙无穷大，且恒定是可能的。

赫姆霍兹方程被普遍认为是20世纪物理学史上最重要的突破，它为世界上最顶尖的科学家提供了解析宇宙的机会，并使我们更深入地了解了宇宙的结构和运行的规律。

时谐电磁场哈灵顿

时谐电磁场哈灵顿1. 介绍时谐电磁场是电磁学中一个重要的概念，它描述了电磁场在时间上的周期性变化。

哈灵顿是电磁学中的一种解析方法，用于求解时谐电磁场的分布和性质。

本文将介绍时谐电磁场的基本概念和哈灵顿方法的原理，以及它们在电磁学研究和工程应用中的重要性。

2. 时谐电磁场时谐电磁场是指电磁场的振幅和相位随时间按照一定的周期性变化。

在时谐电磁场中，电场和磁场的分布可以用复数形式表示：E(r,t)=E0(r)e jωtH(r,t)=H0(r)e jωt其中，E0(r)和H0(r)分别表示电场和磁场的复振幅，j为虚数单位，ω为角频率，t 为时间，r为空间位置。

时谐电磁场满足麦克斯韦方程组，即：∇×E=−jωμH∇×H=jωϵE∇⋅E=0∇⋅H=0其中，μ为磁导率，ϵ为介电常数。

3. 哈灵顿方法哈灵顿方法是一种求解时谐电磁场分布和性质的解析方法。

它基于麦克斯韦方程组的时谐形式，通过引入矢量标量势和矢量势的关系，将麦克斯韦方程组转化为亥姆霍兹方程。

亥姆霍兹方程描述了时谐电磁场的传播和衰减规律：∇2A+k2A=0其中，A为矢量标量势，k为波数，定义为k=ω√μϵ。

哈灵顿方法的关键是找到合适的矢量标量势，使得亥姆霍兹方程成为一个可解的数学问题。

常用的矢量标量势有电磁矢量势A和电磁标量势Φ。

通过合适的选择矢量标量势，可以得到电场和磁场的分布：E=−jωμ∇×AH=1μ∇×∇×A哈灵顿方法在求解时谐电磁场问题时具有以下优点：•可以得到解析解，方便分析电磁场的性质。

•可以求解复杂的边界条件和介质分布下的电磁场问题。

•可以求解具有任意形状的散射体和辐射体的电磁场分布。

4. 应用时谐电磁场和哈灵顿方法在电磁学研究和工程应用中具有广泛的应用。

4.1 无线通信时谐电磁场和哈灵顿方法可以用于分析和设计无线通信系统中的天线、传输线和辐射场。

通过求解时谐电磁场分布，可以优化天线的辐射特性和工作频率，提高通信系统的性能。

时谐电磁场的位函数和亥姆霍兹方程

第17讲 时变电磁场(2)..

时谐电磁场

电磁场与电磁波1-6章公式总结.

亥姆霍兹方程推导

亥姆霍兹方程

电磁场与电磁波基础知识总结

亥姆霍兹方程推导波动方程电动力学

时谐电磁场的位函数和亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程在极坐标系中的求解过程

声场亥姆霍兹方程

电磁场与电磁波第1718讲位函数波动方程时谐场

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第四章 时谐电磁波 -时谐电磁场复表示

电磁场理论 时变场

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4.5 时谐电磁场

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