时谐电磁场的位函数和亥姆霍兹方程

weav
wmav
1 T 1 T 1 r. r = ∫ we dt = ∫ E D dt T 0 T 0 2
1 T 1 T 1 r .r = ∫ wm dt = ∫ H B dt T 0 T 0 2
r 1 T r 1 T r r S av = ∫ S dt = ∫ ( E × H ) dt T 0 T 0
r r r r E ( z , t ) = e x E0 cos(ωt − kz ), H ( z , t ) = e y H 0 cos(ωt − kz )
其中E0、H0 和 k 为常数。求：(1) w 和 wav ；(2) S 和 Sav。 1 r r r r 1 解:(1) w = we + wm = ( E D + BH ) = (ε 0 E 2 + μ0 H 2 ) 2 2 1 2 2 2 2 = ⎡ − + cos ( ) cos (ωt − kz)⎤ E t kz H ε ω μ 0 0 0 0 ⎣ ⎦ 2 由于 所以
例1 已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量
r ∂ r kE0 − jkz − jkz =− (−e x E0 e ) = −e x e jωμ0 ωμ0 ∂z
（2）电场和磁场的瞬时值为
r r r jωt ⎡ ⎤ E ( z , t ) = Re ⎣ E ( z )e ⎦ = e y E0 cos(ωt − kz )
r r r r r∗ r 1 r r ) 在某一个瞬时的取值；而 S av (r ) = Re[ E (r ) × H (r )] 中的 E ( r ) 2 r r r r ) 都是复矢量，与时间无关，所以 S av ( r ) 也与时间无 和 H (r )
关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。 r r rr r r r r r r) 1 T r r S ( S ( r , t ) av (r , t )dt ，可由 S ( r , t ) 利用 Sav (r ) = ∫0 Sr 计算 S av (r ) ，但不能直 r r r T r r r r r r jωt r r S ( r , t ) S ( ) av ( r ) 计算 S ( r , t ) 接由 S av ，也就是说 S (r , t ) ≠ Re[ S av (r )e ]
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1 时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以 表示成复数形式。 瞬时矢量
r r ⎧B = ∇ × A ⎪ r ⎨r ∂A = − − ∇ϕ E ⎪ ∂t ⎩
复矢量
r r ⎧ ⎪B = ∇ × A r ⎨r ⎪ ⎩ E = − jω A − ∇ϕ
洛仑兹条件
v ∂ϕ ∇ ⋅ A = − με ∂t
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r r − jkz 为 E ( z ) = e y E0 e ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢
量H ；（2）瞬时坡印廷矢量S ；（3）平均坡印廷矢量Sav 。 r r 解：（1）由 ∇ × E = − jωμ0 H 得
r H ( z) = − 1 jωμ0 1 r ∇ × E ( z) = − r ∂ r (e z ) × (e y E0 e − jkz ) jωμ0 ∂z 1
r r r r 1 T r 1 T r r 1 r 2 S av = ∫ ( E × H ) dt = E0 × H 0 ∫ cos [ωt + φ ( r )]dt = E0 × H 0 T 0 T 0 2
如果电场和磁场都用复数形式给出，即有
r r r jφ ( rr ) ⎧ ⎪ E ( r ) = E0 e r jφ ( rr ) ⎨r r ⎪ ⎩ H (r ) = H 0e
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2 ∂ ∂ 2 ω → − 在时谐时情况下，将 ∂t → jω 、 ，即可得到复矢 2 ∂t 量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。
Fra Baidu bibliotek
3 亥姆霍兹方程
瞬时矢量
r r ⎧ 2 ∂ E ∇ − =0 με E ⎪ 2 理想介质 ⎪ ∂t r ⎨ 2 r ⎪∇ 2 H − με ∂ H = 0 ⎪ ∂ 2t ⎩ r r 2 ⎧ 2r ∂E ∂ E E ∇ − − =0 μσ με ⎪ 2 ∂t ∂t 导电媒质 ⎪ r r ⎨ 2 r ⎪∇ 2 H − μσ ∂H − με ∂ H = 0 ⎪ ∂t ∂ 2t ⎩
r r r* r r r r* r − jkz jkz − jkz E = e x E0 e , D = e xε 0 E0 e , H = e y H 0 e , B = e y μ0 H 0 e jkz
r r* r r * 1 1 = Re( E D + B H ) = (ε 0 E02 + μ0 H 02 ) 4 4
或直接积分，得
r 1 T r ω 2π ω r Sav = ∫ S dt = S dt ∫ 0 0 2π T r k ω 2π ω r kE02 2 2 ω = t − kz t = E e e [ cos ( )]d 0 z z ωμ0 2π ∫0 2ωμ0
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例2 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为
1
时谐电磁场
时谐场的位函数 亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量
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时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变 化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种 以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁 场。 ------时谐电磁场是时变电磁场的一种特殊情况 注意两点： 所谓时谐场，是指场矢量的各个分量随时间作简谐变化。而 场矢量，一般并不一定是时间的正弦或余弦函数。
r r jω t r jω t r 1 r S av = [Re( E e ) × Re( H e )]av = E 0 × H 0 2
r r r* 1 S av = Re( E × H ) 2
时间平均值与时间无关
r r jφ ( rr ) − jφ ( rr ) 1 r r 1 ] = E0 × H0 = Re[ E0 × H0e e 2 2
在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有
r r r∗ r r∗ r r∗ 1 1 1 . .B ) Sav = Re( E × H ) , weav = Re( E D ) , wmav = Re( H 2 4 4
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r r r r r r 关于S ( r ) 的几点说明 S( (r r,,tt)) 和 S av av r r S (r , t ) 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它
{
}
{
}
先取实部，再代入
r r j[ωt +φ ( rr )] r j[ωt +φ ( rr )] S = Re E0 e × Re H 0 e r r r 2 = E0 × H 0 cos [ωt + φ (r ) ]
{
}
{
}
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二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的 平均值，即 平均电场能量密度 平均磁场能量密度 平均能流密度矢量
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r r r r r r 则能流密度为 S = E × H = E0 × H 0 cos 2 [ωt + φ (r ) ]
如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有
r r r jφ ( rr ) E (r ) = E0 e
r r r jφ ( rr ) H (r ) = H 0e
r r jωt r jωt r j[ωt+φ(rr)] r j[ωt+φ(rr)] S = Re(Ee × He ) = Re E0e × H0e r r r j 2[ωt+φ(r )] = E0 × H0 Re e r r r = E0 × H0 cos[ 2ωt + 2φ(r )]
r r r kE0 jωt ⎤ H ( z , t ) = Re ⎡ H e z ( )e cos(ωt − kz ) = − x ⎣ ⎦
ωμ0
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瞬时坡印廷矢量为
r r r r r kE0 S = E × H = e y E0 cos(ωt − kz ) × [−e x cos(ωt − kz )]
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r r 时变电磁场；而 S av (r )只适用于时谐电磁场。
r r r r r r r r r r 在 S (r , t ) = E (r , t ) × H (r , t ) 中， E (r , t ) 和H (r , t ) 都是实数形式且是
rr r 时间的函数，所以 S 也是时间的函数，反映的是能流密度 r,, t) S(r t)
2
复矢量
r r 2 ⎧∇ E + k E = 0 ⎪ r ⎨ 2r 2 ⎪ ⎩∇ H + k H = 0
2
( k = ω με )
r r 2 ⎧∇ E + kc E = 0 ⎪ r ⎨ 2r 2 ⎪ ⎩∇ H + kc H = 0
2
( kc = ω με c )
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3 平均能量密度和平均能流密度矢量
(2)
r r r r S = E ( z , t ) × H ( z , t ) = e z E0 H 0 cos 2 (ωt − kz )
r r r* r 1 1 S av = Re( E × H ) = e z E0 H 0 2 2
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wav = weav + wmav
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例3 已知截面为 a × b 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 r a πx r E = −ey jωμ H 0 sin e− jβ z a π r a πx r π x − jβ z r H = (ex j β H 0 sin + ez H 0 cos )e a a π 式中H0 、ω、β、μ都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量。 r ur 解：（1）E 和 H 的瞬时值为 r r jωt a πx r E ( x, z , t ) = Re[ Ee ] = eyωμ H 0 sin sin(ωt − β z ) π a r r jωt πx r a H ( x, z , t ) = Re[ He ] = −ex β H 0 sin sin(ωt − β z ) + a π πx r cos(ωt − β z ) ez H 0 cos
电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。 时谐场中二次式的表示方法 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形 式，不能将复数形式的场量直接代入。 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为
r r r r E (r , t ) = E0 cos[ω t + φ (r )] r r r r H (r , t ) = H 0 cos[ω t + φ (r )]
r kE = ez cos 2 (ωt − kz )
ωμ0
2 0
ωμ0
（3）平均坡印廷矢量为 r r r kE0 − jkz ∗ 1 − jkz S av = Re[e y E0 e × (−e x e )] 2 2ωμ0
r kE02 r k 1 E02 ) = ez = Re(e z 2 ωμ0 ωμ0
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使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子
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例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出 r r r r r r r r E (r , t ) = E0 cos[ω t + φ (r )] , H (r , t ) = H 0 cos[ω t + φ (r )] 则平均能流密度矢量为
为使所有的场分量均是时间的正弦函数，媒质本身应是线性的。 即只有在线性媒质中，才能保证场矢量的每个坐标分量都是简谐变 化的----即媒质 ε , μ , σ 与场矢量和时间无关，所以我们总是在线性 媒质中讨论时谐场。
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研究时谐电磁场具有重要意义
时谐场分析起来最简单，也是实际问题中碰到最多的电磁场。 如广播、电视、雷达和通信的载波等都是时谐电磁场。 可以用比较简单的时谐场来构成与时间有更复杂关系的时 变电磁场，或者说，随时间作任意变化的电磁场，可以通过傅 立叶变换分解为许多不同频率的时谐场的叠加来进行研究。 时谐场可以用复数形式表示，这使得对复杂的电磁场的问 题的分析和计算大为简化
2
v ∇ ⋅ A = − jωμεϕ
r r r 2 ⎧∇ A + k A = − μ J ⎪ ⎨ 2 ρ 2 ⎪∇ ϕ + k ϕ = − ε ⎩ ( k = ω με )
2
达朗贝尔方程
r r ⎧ 2r ∂ A ∇ A − με 2 = − μ J ⎪ ⎪ ∂t ⎨ 2 ∂ ⎪∇ 2ϕ − με ϕ = − ρ ⎪ ∂t 2 ε ⎩