河北省武邑中学2020届高三12月月考数学(文)试卷

数学试题 文
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知i z i -=+⋅)1(，那么复数z 对应的点位于复平面内的
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2.若b a 、均为实数，则””是““20,0≥+>>b
a
a
b
b a 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知复数224(1)
+=
-i
z i （i 为虚数单位）
，则z 的模||z 为（ ）
A. C. 5
4.已知2α=，则点(sin ,tan )P αα所在的象限是( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 5．直线3430x y -+=与圆2
2
1x y +=相交所截的弦长为 A ．
45
B ．
85
C ．2
D ．3
6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =.，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a <c <b
B. a <b <c
C. b <c <a
D. c <a <b
7. 已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在点()(11)f ，处的切线方程是. （ ） A ．210x y +-= B ．210x y --= C ．210x y ++=
D ．230x y --=
8．若]2
,2[,π
πβα-
∈，且0sin sin >-ββαα．则下列结论正确的是 （ ）
A ．βα>
B ．0>+βα
C ．βα<
D ．22βα>
9.函数12
log (sin 2cos
cos 2sin )44
y x x π
π
=⋅-⋅的单调递减区间是（ ）
A. π
5π
(π+π+)()88k k k ∈Z ， B. π3π
(π+π+)()88
k k k ∈Z ， C. π3π
(π-π+
)()88k k k ∈Z ，
D. 3π5π
(π+
π+)()88
k k k ∈Z ， 10、如图是函数
在区间
上的图象,
为了得到这个函数的图象,只需将
的图象上的所有的点( )
A. 向左平移
3
π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变
B. 向左平移
3
π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 C. 向左平移
6
π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变
D. 向左平移6
π
个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
11． 如图所示，两个不共线向量,的夹角为，
分别为与的中点，
点
在直线
上，且
，则
的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知()f x '
是函数()f x 的导函数，且1(1)f e =，32
351
()()x
x x x f x f x e '-+-+=
，若2()x e f x m x -=有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）
A.(,0]-∞
B.(,0)-∞
C.[0,)+∞
D.(0,)+∞
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．设双曲线x 2a 2－y 2
9＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，
则a 的值为________.
14.规定，如：，则函数的值域
为 ．
15.已知点满足线性约束条件点，O 为坐标原点,则的
最大值为__________．
16．在双曲线22
22:1(00)x y C a b a b
-=>>，的右支上存在点A ，使得点A 与双曲线的左、右焦
点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，若12AF F △的重心G 满足12PG F F ∥，则双曲线C 的离心率为__________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分）
在ABC △中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，已知sin 1
2sin sin 2cos B A C C
=-．
（1）求角B 的大小；
（2）若1a =，7b =ABC △的面积．
18.（本题满分12分）
已知{}n a 是等比数列，12a =，且1a ，31a +，4a 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，求数列{}n n b a 前n 项的和n S ．
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面
PAD ⊥平面ABCD ,//CD AB ,
AD AB ⊥,3AD =,11
122
CD PD AB PA ==
==, 点E 、F 分别为AB 、AP 的中点.
﹙1﹚求证:平面//PBC 平面EFD ； ﹙2﹚求三棱锥P —EFD 的体积.
20.（本题满分12分）
设函数()2
ln f x x ax x =+-.
(1)若1a =,试求函数()f x 的单调区间;
(2)过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线,证明:切点的横坐标为1. 21.（本题满分12分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点
)
6,1P
-，且△PF 1F 2的面积为2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交
于C ，D 两点，且||||AB CD λ=（R ∈λ），当λ取得最小值时，求直线l 的方程.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,5)-，点M 的极坐标为(4,
)2
π
，若直线l 过点P ，且倾斜角为
3
π
，圆C 以M 为圆心，4为半径。

（1）求直线l 关于t 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 与圆C 的位置关系。

23．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数()f x x a =-.
（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在x ∈R 使得()()5f x f x m ++≤成立，求实数m 的取值范围.
月考（文科）参考答案
1. B
2. A
3. B
4. D
5. B
6. A
7. A
8. D
9. B 10.A 11. B 12. D 13. 2； 14.
15. 11 16. 2
17.解：（1）由
sin 1
2sin sin 2cos B A C C
=-
得()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-， ——2分 2cos sin sin B C C ∴=，又在ABC △中，sin 0C ≠，——4分
1cos 2B ∴=
，0πB <<Q ，π
3
B ∴=．——6分 （2）在AB
C △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即271c c =+-，——2分 260c c ∴--=，解得3c =，——4分
∴ABC △的面积133
sin 2S ac B =6分
18.解：（1）设数列{}n a 公比为q ，则2231·2a a q q ==，3341·2a a q q ==，因为1a ，31a +，
4a 成等差数列，所以()14321a a a +=+，即()
3222221q q +=+，——3分
整理得()2
20q
q -=，
因为0q ≠，所以2q =，——4分 所以()
1
*22
2n n n a n -=⨯=∈N ．——6分
（2）因为22log log 2n n n b a n ===，n
n n n b a 2=∴——2分
n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅=K
132222)1(22212+⋅+⋅⋅-++⋅+⋅=n n n n n S Λ——4分
两式相减得：
132122222+⋅-++++=-n n n n S Λ
=1
2
)1(2+-+-n n
12)1(2+-+=∴n n n S ——6分
19. 解: ﹙1﹚由题意知: 点E 是AB 的中点,//CD AB 且1
2
CD AB =
,
所以 CD BE =
P ,所以四边形BCDE 是平行四边形,则//DE BC . ……………………2分
DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//DE 平面PBC . ……………………4分
又因为E 、F 分别为AB 、AP 的中点,所以//EF PB .
EF ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ,
所以, //EF 平面PBC . ……………………5分
EF DE E ⋂=,所以平面//PBC 平面EFD . ……………………6分
（2）解法一：利用P EFD E PFD V V --= 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,
平面PAD ⋂平面ABCD AD =，EA ⊂平面ABCD ,EA AD ⊥,所以，EA ⊥平面ABCD . 所以，EA 的长即是点E 到平面PFD 的距离.……………………8分
在Rt ADP ∆中，sin AD APD PA ∠=
=,
所以，11sin 1122PFD S PF PD APD ∆=
⨯⨯⨯∠=⨯⨯=, ……………………10分
所以1
=3
P EFD E PFD PFD V V S AE --∆=⨯⨯=
. ……………………12分 解法二：利用P EFD P ADE F ADE V V V ---=-.
11
1222
ADE S AD AE ∆=
⨯⨯==……………………10分 P EFD P ADE F ADE V V V ---=- 11
33
ADE ADE S PD S FH ∆∆=⨯⨯-⨯⨯
1111332=-=. ……………………12分 20.解: (1)1a =时, 2
()(0)f x x x lnx x =+->
1'()21f x x x ∴=+-
(21)(1)
x x x
-+= ——2分 ()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫
∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
——4分
(2)设切点为()()
,M t f t ,()1
'2f x x a x
=+-
切线的斜率12k t a t
=+-,又切线过原点()
f t k t
=
()2221
2ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t
=+-+-=+-∴-+=，即： ------ 6分
1t =满足方程21ln 0t t -+=,由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=
有唯一解1x =,切点的横坐标为1; ____10分 或者设()2
1ln t t t ϕ=-+,()1
'20t t t
ϕ=+>
()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21ln 0t t -+=有唯一解 ————12分
21.解：（1）由12PF F △的面积可得1
2122
c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=．①
又椭圆C 过点)
1P
-，∴
22
611a b +=．② 由①②解得
a =2
b =，故椭圆C 的标准方程为
22
184
x y +=．————4分
（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d =
由弦长公式可得AB ==6分
将y x m =+代入椭圆方程22184
x y
+=，得2234280x mx m ++-=，
由判别式()
22
1612280m m ∆=-->，解得m -<<．
由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，
综上可得m 的取值范围是()2,2-．————8分
设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，21228
3
m x x -=，
由CD AB λ=
，得CD AB λ===10分 ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ
此时直线l 的方程为y x =．————12分
22. 解：（1）直线l
的参数方程为1125x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数）
， （3分） 圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=． （5分） （2）因为M (4，π
2 )对应的直角坐标为（0，4），
直线l
50y --=， ∴圆心到直线l
的距离5d =
=
>， 所以直线l 与圆C 相离． （10分）
23. （1）由()3f x ≤得：3x a -≤，即33x a -≤-≤，解得：33a x a -≤≤+ 又()3f x ≤的解集为：{}|15x x -≤≤ 31
35
a a -=-⎧∴⎨+=⎩，解得：2a =
（2）当2a =时，()2f x x =-
()()()()523235f x f x x x x x ∴++=-++≥--+=（当且仅当32x -≤≤时取等
号）
5m ∴≥时，存在x ∈R ，使得()()5f x f x m ++≤
m ∴的取值范围为：[)5,+∞。