江苏2018高三数学一轮复习圆锥曲线(供参考)

椭圆
考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B级要求．
知识梳理
1．椭圆的定义
(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
用符号表示为PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)．
(2)第二定义：平面内到定点F和定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e(0<e<1)的点的轨迹叫作椭圆．
2．椭圆的标准方程及简单的几何性质
椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率e＝
c
a(0<e<1)，离心率e等于椭圆上任意一点M
到焦点F的距离与M到F对应的准线的距离的比．椭圆越扁，离心率e越大；椭圆越圆，离心率越小.
x2 a2＋y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()
(5)x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)与
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()
解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2，常数小于F1F2时，不存在这样的图形．
(2)因为e＝c
a＝
a2－b2
a＝1－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫b
a2，所以e越大，则
b
a越小，椭圆就越扁．
答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√
2．(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2
m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.
解析 依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3. 答案 3
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． 解析 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2
＝2，则C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案 x 23＋y 2
2＝1
4．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b
2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2a 2＋y 2b 2＝1，
y ＝b 2，
解得B ，C 两点坐标为
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2
－c ，
b 2，
又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →
＝0，代入坐标可得： c 2
－34a 2＋b 2
4＝0，①
又因为b 2＝a 2－c 2.
代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c
a ＝23＝6
3.
答案 6
3
5．已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，
所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝15
2，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫
152，－1.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭
⎪⎫
152，－1
考点一 椭圆的定义及其应用 【例1】(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________．
(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，
且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得QA ＝QP .
所以QO ＋QA ＝QO ＋QP ＝OP ＝r .
又因为点A 在圆内，所以，OA ＜OP ，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．
(2)由题意得PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，
所以PF 21＋PF 22－2PF 1PF 2cos 60°＝F 1F 2
2，
所以(PF 1＋PF 2)2－3PF 1PF 2＝4c 2， 所以3PF 1PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1PF 2＝4
3b 2，
所以S △PF 1F 2＝12PF 1PF 2sin 60°＝12×43b 2×3
2＝ 33b 2
＝33，所以b ＝3. 答案 (1)椭圆 (2)3
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义式必须满足2a ＞F 1F 2.
【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 2
2＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若
PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________．
(2)(2017·保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．
解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又PF 1－PF 2
＝2，所以PF 1＝3，PF 2＝1.又F 1F 2＝2c ＝22，所以有PF 21＝PF 22＋F 1F 2
2，即△
PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角， 所以S △PF 1F 2＝12F 1F 2PF 2＝1
2
×22×1＝ 2.
(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有PC 1＝r ＋1，PC 2＝9－r . 所以PC 1＋PC 2＝10＞C 1C 2，
即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16＝1. 答案 (1)2 (2)x 225＋y 2
16＝1 考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，52，
(3，5)，则椭圆方程为________．
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2
9＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________． 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，
3m ＋5n ＝1，
解得m ＝16，n ＝110.
106(2)法一 椭圆y 225＋x 2
9＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.
由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.
由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4＝1.
法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 2
9－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可
得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.
答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 2
4＝1
规律方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可． 【训练2】 (1)(2017·常州监测)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1
2，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆标准方程为________． (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．
解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以
c ＝1，又离心率e ＝c a ＝1
2，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，
43(2)法一 若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧ 2a ＝3×2b ，9a 2＋0
b 2
＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1.
所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2
＝1.
若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＝3×2b ，0a 2＋9
b 2
＝1，解得⎩⎨⎧
a ＝9，
b ＝3.
所以椭圆的标准方程为y 281＋x 2
9＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1.
法二 设椭圆的方程为x 2m ＋y 2
n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
9
m ＝1，2m ＝3×2n
或⎩⎪⎨⎪⎧
9
m ＝1，2n ＝3×2m ，
解得⎩⎨⎧ m ＝9，n ＝1或⎩⎨⎧
m ＝9，
n ＝81.
∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1. 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1 考点三 椭圆的几何性质
【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)
的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．
(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞
c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于3
2(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，
所以m 2(a －c )＝m a ＋c
，所以a ＝3c ，所以e ＝13.
(2)因为PT ＝PF 2
2－(b －c )2(b ＞c )，
而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥3
2(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①
又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)13 (2)⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
35，22
规律方法 (1)求椭圆离心率的方法
①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．
②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
【训练3】 (2017·盐城模拟)已知椭圆：x 24＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．
解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2
a ＝3.所以
b 2＝3，即b ＝ 3. 答案
3
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2
c ＝3，
解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2
，
C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 2
1＋2k 2，－k 1＋2k 2，且
AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2
.
若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，
5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2
|k |(1＋2k 2)
.
因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)
1＋2k 2，
解得k ＝±1.
此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.
【例5】 (2017·南通调研)如下图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，点P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值．
解 (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 24＋1
4b 2＝1. ∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ， 代入椭圆方程x 24＋y 2
＝1，即x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x C ＝2
1＋4k 2
. 则C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)， 代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.
∵x A ＝2，∴x B ＝2(4k 2－1)1＋4k 2，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2(4k 2－1)1＋4k 2，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →
＝0，∴2(4k 2－1)1＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k 1＋4k 2＝0. ∴k 2＝12，∵C 在第一象限，∴k ＞0，k ＝22. ∵OC →＝⎝
⎛⎭⎪⎫21＋4k 2
，2k 1＋4k 2， BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－
2(4k 2－1)1＋4k 2，0－－4k 1＋4k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC
→＝λBA →，得λ＝
k 2
＋14.
∵k ＝22，∴λ＝3
2.
规律方法 与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题．涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单．
【训练4】 (2017·南京、盐城模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求
出此常数．
(1)解 因为c a ＝22，a 2
c ＝2，
所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的标准方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)证明 法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1)． 因为k AP ＝
y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1
x 1
x ＋1. 令y ＝0，解得m ＝－
x 1
y 1－1
. 因为k AQ ＝
－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1
x 1
， 所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1
x 1x ＋1.
令y ＝0，解得n ＝
x 1
y 1＋1
. 所以mn ＝－x 1y 1－1·x 1y 1＋1＝x 21
1－y 21.
又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2
＝1上，
所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 2
12
， 所以x 211－y 21＝2，即mn ＝2，
所以mn 为常数，且常数为2.
法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，令y ＝0得m ＝
－1k .
联立方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1，x 22
＋y 2
＝1，
消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k
1＋2k 2，
所以y P ＝k ·x P ＋1＝1－2k 2
1＋2k 2
，
则Q 点的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－4k 1＋2k
2，－1－2k 21＋2k 2， 所以k AQ ＝－1－2k 2
1＋2k 2－1－
4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝
1
2k x ＋1. 令y ＝0得n ＝－2k ， 所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1k ·(－2k )＝2.
所以mn 为常数，常数为2.
[思想方法]
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标
准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]
1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．
2．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．椭圆x 2m ＋y 2
4＝1的焦距为2，则m 的值等于________．
解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 3
2．(2017·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2，则C 的方程是________．
解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝1
2⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝3，因此其方程是x 24＋y 2
3＝1.
答案 x 24＋y 2
3＝1
3．若椭圆x 225＋y 2
16＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．
解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4. 答案 4
4．(2017·扬州期末)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 解析 在Rt △PF 2F 1中，令PF 2＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以PF 1＝2，F 1F 2＝ 3.故e ＝2
c 2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2
＝3
3.
答案 3
3
5．(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为________．
解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝1
2b .
在Rt △OFB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·1
2b ，即a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12. 答案 12
6．(2016·南京师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，
B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b
a 的值为________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 2
2＝1，
即
ax 21－ax 22＝－(by 21－by 2
2)，
by 21－by 2
2
ax 21－ax 22
＝－1， b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×3
2＝－1，
∴b a ＝233. 答案 233
7．(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 2
25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．
解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有PF 1＋PF 2＝2a ＝10.
则m ＝PF 1·PF 2≤⎝
⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222
＝25，当且仅当PF 1＝PF 2＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案 (－3,0)或(3,0)
8．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝
c 2，则此椭圆离心率的取值范围
是________．
解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2
→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①
将y 2
＝b 2
－b 2a 2x 2
代入①式解得
x 2
＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2
，
又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
33，22.
答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
33，22
二、解答题
9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F 1N ，求a ，b .
解 (1)根据c ＝a 2
－b 2
及题设知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c ，b 2
a ，2
b 2＝3a
c .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为1
2. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2
a ＝4，即
b 2＝4a .① 由MN ＝5F 1N ，得DF 1＝2F 1N . 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧
2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－32c .y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b 2＝1.②
将①及c ＝a 2
－b 2
代入②得9(a 2－4a )4a 2＋1
4a ＝1.
解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7.
10．(2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25
5.
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．
解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0， 所以右焦点F 到直线l 的距离为 |2c －2a |5＝25
5，所以a －c ＝1. 又椭圆C 的右准线方程为x ＝4， 即a 2c ＝4，所以c ＝a 24，
将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，
所以b 2＝3，
所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)法一 由(1)知B (0，3)，F (1,0)． 所以直线BF 的标准方程为y ＝－3(x －1)， 联立方程组，得⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝－3(x －1)，x 24＋y 2
3＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝8
5，y ＝－335
或⎩
⎨⎧
x ＝0，
y ＝3(舍)． 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
85
，－
335， 所以直线l 的斜率k ＝0－⎝
⎛⎭⎪⎫
－
3352－85＝332.
法二 由(1)知B (0，3)，F (1,0)，
所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，由题意知A (2,0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，联立方程组得⎩⎨⎧
y ＝－3(x －1)，y ＝k (x －2)，
解得⎩⎨⎧
x ＝
2k ＋3
k ＋3
，y ＝－3k
k ＋3，
代入椭圆解得k ＝332或k ＝－3
2，
又由题意知，y ＝－3k
k ＋3<0得k >0或k <－3，
所以k ＝33
2.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11．(2016·苏州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________． 解析 设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n m ＋c ·(－3)＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c 2＋n
2
＝0，∴m ＝c 2，n ＝3
2c ，
代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c
2b 2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入，
化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1. 答案
3－1
12．(2017·盐城中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥45
5，则椭圆离心率
e 的取值范围是________． 解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.
设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥45
5，
解得d 2≤16
5.又因为d ＝21＋k 2
，所以11＋k 2≤4
5，
解得k 2≥1
4.
于是e 2
＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2
，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤
255. 答案 ⎝
⎛⎦⎥⎤
0，
255 13．椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________． 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①
∵y 2
＝1－x 24，代入①得x 2
－3＋1－x 24<0，
即34x 2<2，∴x 2<83.
解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
263，263. 答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
263，263 14．(2017·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，
c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 解 (1)由条件得1a 2＋1
b 2＝1，且
c 2＝2b 2， 所以a 2＝3b 2，解得b 2＝4
3，a 2＝4. 所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 2
4＝1.
(2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧
y ＝kx ＋k －1，
x 2＋3y 2
＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)，
解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3k 2＋6k ＋11＋3k 2
，3k 2＋2k －11＋3k 2. 当k ≠0时，用－1
k 代替k ， 得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2
＋3， 将k ＝－1代入，得M (－2,0)，N (1,1)． 因为P (－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22， 所以△PMN 的面积为1
2×2×22＝2.
(3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧
x 21＋3y 2
1＝4，
x 22＋3y 2
2＝4，
两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，
因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0， 从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0. 若x 1＋x 2＝0，则N (－x 1，－y 1)．
因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21
＝2.
又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，
所以M (－1,1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1,1)． 所以直线MN 的方程为y ＝－x . 若x 1－x 2＝0，则N (x 1，－y 1)，
因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1. 又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验：x 1＝－1
2满足条件，x 1＝－1不满足条件． 综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－1
2.
第6讲 双曲线
考试要求 双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A 级要求．
知 识 梳 理
1．双曲线的定义
(1)第一定义：平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为正常数2a (小于两定点之间的距离2c )的动点的轨迹叫作双曲线．
(2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a<F1F2＝2c.
(3)当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示靠近焦点F2的双曲线的一支；当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支；当2a＝F1F2时，轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．
(4)第二定义：平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线
2．双曲线的标准方程及简单的几何性质
x2y2y2x2
曲线．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线垂直(位置关系)⇔实轴长＝虚轴长．
(3)双曲线的离心率e与b
a⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
b
a＝e
2－1都是刻画双曲线开口的大小的量．
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()
(3)方程x2
m－
y2
n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()
(4)双曲线方程x2
m2－
y2
n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是
x2
m2－
y2
n2＝0，即
x
m±
y
n＝
0.()
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()
解析(1)因为|MF1－MF2|＝8＝F1F2，表示的轨迹为两条射线．
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√
2．(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x2
m2＋n－
y2
3m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两
焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________．
解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－
m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3. 答案 (－1,3)
3．(2017·南京调研)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．
解析 由题意得双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ＝2x ，所以b
a ＝2，则双曲线的离心率为e ＝1＋
b 2
a 2＝ 5.
答案
5
4．(2017·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
过点P (1,1)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________． 解析 由于双曲线过点P (1,1)，则有1a 2－1b 2＝1，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ，则有
b a ＝2，与1a 2－1
b 2＝1
联立解得a 2＝1
2，b 2＝1，故所求的双曲线的方程为2x 2－y 2＝1. 答案 2x 2－y 2＝1
5．(选修1－1P41习题6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 2
8＝1.
答案x2
8－
y2
8＝1
考点一双曲线的定义及其应用
【例1】(1)(2017·盐城中学模拟)设双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点
分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－y2
8＝1的右焦点，P是C左支上一点，
A(0,66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析(1)如图所示，因为AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a，BF1＝AF2＋BF2，所以AF2＝2a，AF1＝4a.
所以BF1＝22a，所以BF2＝22a－2a.
因为F1F22＝BF21＋BF22，
所以(2c)2＝(22a)2＋(22a－2a)2，
所以e2＝5－2 2.
(2)设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，
∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为
x －3＋
y
66
＝1.与x2－
y2
8＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S＝S△AF1F
－S △F 1PF ＝12 6. 答案 (1)5－22、(2)126
规律方法 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧
(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．
(2)技巧：经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立它与PF 1、PF 2的联系．
提醒 利用双曲线的定义解决问题，要注意三点
①距离之差的绝对值．②2a ＜F 1F 2.③焦点所在坐标轴的位置．
【训练1】 (1)如果双曲线x 24－y 2
12＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是________．
(2)(2017·扬州模拟)已知点P 为双曲线x 216－y 2
9＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双
曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为________．
解析 (1)由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF 1－PF 2＝±2a ， ∴PF 1＝PF 2±2a ＝8±4，∴PF 1＝12或PF 1＝4. (2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8， 所以1
2(PF 1－PF 2)R ＝8， 即aR ＝8，所以R ＝2，
所以S △MF 1F 2＝1
2·2c ·R ＝10. 答案 (1)4或12 (2)10
考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题
【例2－1】 (1)(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 2
2＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．
(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．
解析 (1)由题意可得(4－m )(2＋m )>0， 解得－2<m <4.
(2)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，
所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33.
答案 (1)(－2,4) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33
，33
命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题
【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3，则E 的离心率为________. (2)(2017·盐城模拟)以双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的
圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________． 解析 (1)设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程， 得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝1
3，所以
tan ∠MF 2F 1＝MF 1F 1F 2＝b 2
a 2c ＝
b 22a
c ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－2
2e －1
＝0， 所以e ＝ 2.
(2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线y ＝b
a x 的距离为a ，则
b ＝a ，该双曲线的离心率为e ＝c
a ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＝ 2. 答案 (1)2 (2)2
规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．
【训练2】 (1)(2017·苏北四市调研)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
(2)(2017·南京模拟)已知双曲线x 2
－y 2
3＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲
线右支上一点，则P A 1→·PF 2
→的最小值为________．
解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得b a ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2
a 2≤3时，c 2－a 2
a
2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2
≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2. 所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2.
(2)由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，
则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x
－2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.
因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.
答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 (2)－2
考点三 双曲线的综合问题
【例3】 (1)(2017·扬州质检)已知F 是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的一个公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若AF →·BF →
＝0，则C 2的离心率是________．
(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．
解析 (1)设另一个公共焦点为F 2，AF ＝m ，AF 2＝n ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝
2a 1＝4，根据对称性知AF 2∥BF ，且AF 2＝BF ，由AF →·BF →
＝0可知AF ⊥BF ，所以AF ⊥AF 2，则有m 2＋n 2＝(2c 1)2＝12，与m ＋n ＝4联立，解得m ＝2－2，n ＝2＋2(或m ＝2＋2，n ＝2－2)．根据双曲线的定义可得2a 2＝|m －n |＝22，即a 2＝2，而c 2＝c 1＝3，故双曲线的离心率为e ＝c 2a 2
＝6
2.
(2)设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为
12＝22
. 答案 (1)62 (2)2
2
规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法
(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．
(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．
【训练3】 (2016·天津卷改编)已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为________．
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b
2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝4，y ＝b 2
x ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4
4＋b 2，y ＝
2b 4＋b 2
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－4
4＋b 2，y ＝－2b
4＋b
2
，
即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4
4＋b 2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长分别为8
4＋b 2，
4b 4＋b
2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 2
12＝1
[思想方法]
1．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝t (t ≠0)．
2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，
b
>0)的两条渐近线方程． [易错防范]
1．双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不
要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆．
2．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错．
3．双曲线x2
a2－y2
b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±
b
a x，
y2
a2－
x2
b2＝1 (a>0，b>0)
的渐近线方程是y＝±a b x.
4．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2
7－
y2
3＝1的焦距是________．
解析由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210.答案210
2．(2017·南京模拟)设双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，
则双曲线的渐近线方程为________．
解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝23，所以c＝3，所以a＝c2－b2＝
2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b
a x＝±
2
2x.
答案y＝±
2 2x
3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C：x2
a2－
y2
b2＝1的离心率e＝
5
4，且其右焦点为
F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．
解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝c
a＝5
4，所以c＝5，a＝4，
b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为x2
16－
y2
9＝1.
答案x2
16－
y2
9＝1
4．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C：x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐
近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为________．
解析∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝b
a x的距离为2，即
|bc|
a2＋b2
＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴bc
c＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴
c＝3，∴a＝c2－b2＝5，∴离心率e＝c
a＝3
5
＝
35
5.
答案35 5
5．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左顶点
为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．
解析由题意可得AF＝MF，且AF＝b2
a，MF＝a＋c，则
b2
a＝a＋c，即b
2＝a2＋
ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2.答案2
6．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x
2＋
(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．
解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线y ＝±b
a x ，即bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则
2a a 2＋b
2＝2a c >1,2a >c ，故该双曲线的离心率满足1<e ＝c
a <2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)． 答案 (1,2)
7．(2017·泰州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．
解析 由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝b
a x 上，因此有⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＝25，4＝3×b
a ，解得⎩⎨⎧
a ＝3，
b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 2
16＝1. 答案 x 29－y 2
16＝1
8．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．
解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2
a ＝3×2c .
又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫
c a －2
＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 2 二、解答题
9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率。