2021年高考数学一轮总复习 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课时作业 文(含解析)新人教版

2021年高考数学一轮总复习 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课
时作业 文（含解析）新人教版
一、选择题
1．(xx·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.4
5 B.35 C ．－35
D ．－45
解析：设角α的终边上点(－4,3)到原点O 的距离为r ，则r ＝－4
2
＋32
＝5，∴由余弦函数的定义，得cos α＝x r ＝－4
5
，故选D.
答案：D
2．(xx·新课标全国卷Ⅰ)若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0
D ．cos2α＞0
解析：由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin2α＝2sin αcos α＞0，故选C.
答案：C
3．(xx·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,3]
B ．(－2,3)
C ．[－2,3)
D ．[－2,3]
解析：由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所
以有⎩⎪⎨
⎪⎧
3a －9≤0，
a ＋2＞0，
解得－2＜a ≤3.
答案：A
4．(xx·石家庄质检)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的
值为( )
A.5π
6 B.2π3 C.
11π
6
D.5π3
解析：因为点P ⎝
⎛⎭⎪⎫3
2
，－12在第四象限，
根据三角函数的定义可知tan θ＝－1
232
＝－
33，则θ＝11
6
π，故选C. 答案：C
5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2
＋y 2
＝1顺时针方向运动2π
3
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，－32
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－
32，12 解析：根据题意得Q ⎝
⎛⎭
⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，
即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，－32.
答案：C
6．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2
B.⎝
⎛⎭⎪⎫π，54π
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝
⎛⎭⎪⎫π，54π
解析：由已知得⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin α－cos α>0，
tan α>0.
解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π.
答案：D 二、填空题
7．(xx·山东潍坊一模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3,4)，则cos2α＝__________.
解析：根据三角函数的定义知：
sin α＝y r
＝
4
32＋42
＝45
， 所以cos2α＝1－2sin 2
α ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452
＝1－3225＝－725.
答案：－7
25
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255
，则y ＝__________.
解析：P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y
16＋y
2
，又sin θ＝
－
255，∴y 16＋y 2＝－25
5，解得y ＝－8. 答案：－8
9．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α
1－sin 2
α＋1－cos 2
αcos α的值等于________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，α＝k π＋3π
4
，k ∈Z ，sin α，cos α的符号相反，当α＝2k π＋3π
4
，
即角α的终边在第二象限时，sin α>0，cos α<0； 当α＝2k π＋7π
4，即α的终边在第四象限时，
sin α<0，cos α>0.
所以有sin α
1－sin 2
α＋1－cos 2
αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|
cos α＝0. 答案：0 三、解答题
10．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB ︵
的弧长； (2)求弓形OAB 的面积．
解析：(1)∵α＝120°＝2π
3，r ＝6，
∴AB ︵
的弧长为l ＝2π
3
×6＝4π.
(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2
×4π×6＝12π，
S △ABO ＝1
2r 2·sin π3＝12×62×
3
2
＝93， ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3. 11．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求
α
2
终边所在的象限；
(3)试判断tan
α
2
sin
α
2
cos
α
2
的符号．
解析：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为 {α|(2k ＋1)π＜α＜2k π＋
3π
2，k ∈Z }． (2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋
3π2
， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4，k ∈Z ，
故α
2终边在第二、四象限． (3)当
α
2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α
2
＜0， 所以tan
α
2
sin
α
2cos α
2
取正号；
当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α
2＞0，
所以tan
α
2
sin
α
2
cos
α
2
也取正号．
因此，tan α2sin α2cos α
2
取正号．
12．已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.
(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2
α＋sin2αcos 2
α＋cos2α的值； (2)求|BC |2
的取值范围．
解析：(1)∵A 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45，
∴tan α＝4
3
.
∴sin 2
α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2
α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2
α ＝sin 2αcos 2
α＋2×sin α
cos α2－sin 2
αcos 2
α ＝tan 2α＋2tan α2－tan 2
α ＝169＋832－
169
＝20.
(2)设A 点的坐标为(x ，y )， ∵△AOB 为正三角形， ∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3，且C (1,0)． ∴|BC |2＝⎣⎢⎡
⎦⎥⎤cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3－12＋sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝2－2cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫α＋
π3. 而A 、B 分别在第一、二象限，
∴α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2. ∴α＋
π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，5π6.
∴cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋
π3∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，0. ∴|BC |2
的取值范围是(2,2＋3)．29959 7507 甇S24963 6183 憃28620 6FCC 濌EA23708 5C9C 岜i33000 80E8 胨JR23986 5DB2 嶲24070 5E06
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