高考数学专题--坐标系与参数方程

高考数学专题--坐标系与参数方程
高考考点：1、直角坐标与极坐标方程的互化
2、普通方程与参数方程的互化
3、坐标系与参数方程的综合
考点1 两种互化及其应用
调研1 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线122cos :12sin x t
C y t =-+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 01sin cos 4=+-θρθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值.
【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x ；（2）
217
17
8-. 【解析】（1）由122cos :12sin x t
C y t
=-+⎧⎨
=+⎩消去t 得4)1()2(22=-++y x ，
因为01sin cos 4=+-θρθρ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得014=+-y x . 所以曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x . （2）由（1）知:1C 4)1()2(22=-++y x 的圆心为)1,2(-，半径为2，:2C 014=+-y x ，
||PQ 的最小值即为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离减去圆的半径，
因为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离为17
17
8)1(4|1142|2
2=
-++-⨯-=
d ， 所以||PQ 的最小值为217
17
8-. ☆技巧点拨☆
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元
法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.
3．极坐标方程与直角坐标方程互化
进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2
＝x 2
＋
y 2
，tan θ＝y
x (x ≠0)．
4．参数方程与极坐标方程互化
进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）. 考点2 利用参数几何意义解题
调研1 以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度
单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为2312x t y t =-⎧⎨=-+⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为
2sin 4cos ρθθ=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB . 【答案】（1）24y x =；（2）143.
【解析】（1）由2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为24y x =. （2）将l 的参数方程代入24y x =，整理得24870t t +-=， ∴122t t +=-，127
4
t t =-， ∴()
()
2
2
2121212321341347143AB t t t t t t =
-+-=⨯
+-=⨯+=.
☆技巧点拨☆
若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为
(t 为参数).
考点3 利用ρθ,的几何意义解题
调研 1 平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x a y a ϕ
ϕ
=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a >),以坐标原点O 为
极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为()222
cos24sin 20ρθρθρ+=>.
（1）求出曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为π
=
4
θ,曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求2a 的值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=，2C 的直角坐标方程为2232x y +=；（2）22-.
【解析】（1）消去参数ϕ得到1C 的普通方程为()2
22
1x y a -+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 的普通
方程,得到1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=. 由222cos24sin 2ρθρθ+=得2222cos 3sin 2ρθρθ+=,
把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线2C 的直角坐标方程为2232x y +=.
（2）曲线1C 与2C 的公共点的极坐标满足方程组222222
2cos 10cos 3sin 2a ρρθρθρθ⎧-+-=⎨+=⎩
, 因为曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,所以把π4θ=代入方程组得222210
1a ρρρ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩
,
消去ρ得222a =-. 强化训练：
1．若椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，则它的两个焦点坐标是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】消去参数可得椭圆的标准方程为
22
1259
x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()40±，
，故选A.
2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立
极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 A ．ρ=sin θ B ．ρ=2sin θ C ．ρ=cos θ
D ．ρ=2cos θ
【答案】
D
3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同
的长度单位.已知圆C 是以极坐标系中的点7π2,
6⎛⎫
⎪⎝⎭
为圆心，3为半径的圆，直线l 的参数方程为12322x t y t ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
. （1）求C 与l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，求MON △的面积. 【答案】（1）见解析;（2）2
.
4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
212cos 110ρρθ++=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设()1,0P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B 两点，且
3
4
PA PB =
，求l 的普通方程. 【答案】（1）()2
2
625x y ++=;（2）()1y x =±-.
【思路点拨】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=代入212cos 110ρρθ++=，即可得圆C 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22
625x y ++=中，
化简得2
14cos 240t t α++=，利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得tan 1k α==±，从而
可得结果.
【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如2
2
cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数
化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩，
222
tan x y y
x
ρθ⎧+=⎪
⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
5．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为15cos 25sin x y α
α
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数），直线1:0l x =，直
线2:0l x y -=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；
（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AB . 【答案】（1）()()12ππ
:,:24
l l θρθρ=
∈=∈R R ；
（2）10.AB =
【名师点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
6．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ
为参数），直线l 的参数方程为
4,
1x a t t y t
=+⎧⎨
=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【答案】（1）(3,0)，2124
(,)2525
-
；（2）8a =或16a =-.
当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得
1
1717
a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-.
【思路点拨】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离
为|3cos 4sin 4|
17
a d θθ+--=
.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.
【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.
7．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．
【答案】（1）()()2
2
240x y x -+=≠；（2）23+．
所以OAB △面积的最大值为23+．
【思路点拨】（1）设出P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程； （2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB △面积的最大值．
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用
极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．
8．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
x t y kt =⎧⎨=⎩
（t 为参数），直线l 2的参数方程为
2,
x m m m y k =-+⎧⎪
⎨
=⎪⎩
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与
C 的交点，求M 的极径.
【答案】（1）()2
2
40x y y -=≠；（2）5
.
【思路点拨】（1）由题意得直线l 1，l 2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线C 的普通方程；
（2）联立两个极坐标方程可得2
291
cos ,sin 1010
θθ=
=，代入极坐标方程进行计算可得极径为5. 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t
y a t =⎧⎨
=+⎩
错误！未找到引用源。

（t 为参数，a ＞0）.
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（2）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
【答案】（1）圆，222sin 10a ρρθ-+-=；（2）1.
10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)2
+y 2
=25.
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程是cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
错误！未找到引用源。

(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，∣AB
∣=10错误！未找到引用源。

，求l 的斜率. 【答案】（1）2
12cos 110ρρθ++=；（2）15
3
±
.
【思路点拨】（1）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（2）先将直线l 的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．
【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.
11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224
ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
【答案】（1）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）||PQ 的最小值为2，此时P 的直角坐标为31(,)22
．
【思路点拨】（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C 1的参数方程为普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQ d α=的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．
【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．
12．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()22
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()π4
θρ=
∈R ，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN △的面积. 【答案】（1）12,C C 的极坐标方程分别为cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12. 【解析】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.
（2）将π4
θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1222,2ρρ==.故122ρρ-=，即2MN =，
由于2C 的半径为1，所以2C MN △的面积为
12. 13．在直角坐标系xOy 中,曲线1cos :sin x t C y t αα
=⎧⎨=⎩ （t 为参数,0t ≠）,其中0α≤<π. 在以O 为极点,x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==
（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（2）若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 的最大值.
【答案】（1）()330,0,,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；（2）4.。