武邑县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

武邑县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集，，，则有（ ）
U R ={|239}x
A x =<≤{|02}
B y y =<≤A ．
B ．
C ．
D ．A ØB A B B = ()R A B ≠∅ ð()R A B R
= ð2． 复数z 为纯虚数，若（3﹣i ）•z=a+i （i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）
A ．﹣
B ．3
C ．﹣3
D ．
3． 已知函数f （x ）=lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（ ）A ．[﹣9，+∞）
B ．[0，+∞）
C ．（﹣9，1）
D ．[﹣9，1）
4． 若命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2+1＜0，则下列结论正确的是（ ）
A ．￢p 为假命题
B ．￢q 为假命题
C ．p ∨q 为假命题
D ．p ∧q 真命题
5． 已知在△ABC 中，a=，b=，B=60°，那么角C 等于（ ）A ．135°B ．90°C ．45°D ．75°
6． 设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（
）
A ．0°
B ．45°
C ．60°
D ．90°8． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（
）
A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
9． 如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共
点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（
）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
11．复数满足＝i z ，则z 等于（
）
2＋2z 1－i
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
12．若，则等于（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．
14．已知数列中，，函数在处取得极值，则{}n a 11a =32
12()3432
n n a f x x x a x -=-
+-+1x =_________.
n a =15．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
16．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．
17．下列命题：
①集合的子集个数有16个；{},,,a b c d ②定义在上的奇函数必满足；
R ()f x (0)0f =③既不是奇函数又不是偶函数；2
()(21)2(21)f x x x =+--④，，，从集合到集合的对应关系是映射；A R =B R =1
:||
f x x →A B f ⑤在定义域上是减函数．1
()f x x
=
其中真命题的序号是
．
18．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
三、解答题
19．设函数f （x ）=kx 2+2x （k 为实常数）为奇函数，函数g （x ）=a f （x ）﹣1（a ＞0且a ≠1）．（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求g （x ）在[﹣1，2]上的最大值；（Ⅲ）当
时，g （x ）≤t 2﹣2mt+1对所有的x ∈[﹣1，1]及m ∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．
20．（本小题满分13分）已知函数，3
2
()31f x ax x =-+（Ⅰ）讨论的单调性；
()f x （Ⅱ）证明：当时，有唯一的零点，且．
2a <-()f x 0x 01(0,)2
x ∈21．（本题满分15分）
正项数列满足，．
}{n a 12
12
23+++=+n n n n a a a a 11=a （1）证明：对任意的，；
*
N n ∈12+≤n n a a （2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．
}{n a n n S *
N n ∈32121
<≤-
-n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.
22．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：
（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；
（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 的值．
序号（i）分组
（分数）
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1[60，70）65①0.10 2[70，80）7520②3[80，90）85③0.20 4[90，100）95④⑤合计501
23．设a＞0，是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
24．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
武邑县第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，，，∵，∴，选A ．3(log 2,2]A =(0,2]B =3log 20>A ØB 2． 【答案】D
【解析】解：∵（3﹣i ）•z=a+i ，∴
，
又z 为纯虚数，∴，解得：a=．
故选：D ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．　
3． 【答案】D
【解析】解：函数f （x ）=lg （1﹣x ）在（﹣∞，1）上递减，由于函数的值域为（﹣∞，1]，则lg （1﹣x ）≤1，则有0＜1﹣x ≤10，解得，﹣9≤x ＜1．则定义域为[﹣9，1），故选D ．
【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．　
4． 【答案】A 【解析】解：时，sinx 0=1；
∴∃x 0∈R ，sinx 0=1；∴命题p 是真命题；
由x 2+1＜0得x 2＜﹣1，显然不成立；∴命题q 是假命题；
∴￢p 为假命题，￢q 为真命题，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题；∴A 正确．
故选A．
【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x2≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和命题p，q真假的关系．
5．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°，
故选：D．
6．【答案】B
【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）| }
将x2﹣y=0代入x2+y2=1，
得y2+y﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M∩N中元素的个数为2个，
故选B．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
7．【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，
∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，
∵A1D=A1B=BD，
∴∠DA1B=60°．
∴CD1与EF所成角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8．【答案】A
【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）
即
解得：x=3，y=1
即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）
∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，
∴3≤3（a﹣b）≤6
∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10
故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．
9．【答案】D
【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．【答案】A 【解析】解：∵sinC=2sinB ，∴c=2
b ，
∵a 2﹣b 2=
bc ，∴cosA=
=
=
∵A 是三角形的内角∴A=30°故选A ．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．　
11．【答案】
【解析】解析：选D.法一：由＝i z 得
2＋2z
1－i
2＋2z ＝i z ＋z ，
即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝＝＝－1－i.
－21－i
－2（1＋i ）2法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ），即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴，{2＋2a ＝a －b 2b ＝a ＋b
)
∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i.12．【答案】B 【解析】解：∵，
∴
，
∴（﹣1，2）=m （1，1）+n （1，﹣1）=（m+n ，m ﹣n ）∴m+n=﹣1，m ﹣n=2，∴m=，n=﹣，∴故选B ．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．　
二、填空题
13．【答案】　2　．
【解析】解：整理函数解析式得f （x ）﹣1=log a （x ﹣1），故可知函数f （x ）的图象恒过（2，1）即A （2，1），故2m+n=1．
∴4m +2n ≥2=2=2．
当且仅当4m =2n ，即2m=n ，
即n=，m=时取等号．
∴4m +2n 的最小值为2
．
故答案为：2
14．【答案】1231n --A 【解析】考
点：1、利用导数求函数极值；2、根据数列的递推公式求通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，形如的递推数列求通项往往用1(0,1)n n a qa p p q -=+≠≠构造法，利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得1()n n a m q a m -+=+{}n a m +出的通项公式.
{}n a 15．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1）
＝2×1＋（－2＋t ）·（－1）
＝4－t ＝2，∴t ＝2.
答案：2
16．【答案】63
【解析】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．
因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，
所以a 1=1，a 3=4．
设等比数列{a n }的公比为q ，则
，所以q=2．则
．
故答案为63．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．
17．【答案】①②
【解析】
试题分析：子集的个数是，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③为偶函数，故错误.2n ()2
41f x x =-对于④没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误.
0x =考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是个；对于2n
奇函数来说，如果在处有定义，那么一定有，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要0x =()00f =根据定义，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合中任意一个
()()()(),f x f x f x f x -=-=-A 元素在集合中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1B 18．【答案】　2n ﹣1　．
【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n +2n ，
∴a 2﹣a 1=2，
a 3﹣a 2=22，
…
a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，
相加得：a n ﹣a 1=2+22+23+2…+2n ﹣1，
a n =2n ﹣1，
故答案为：2n ﹣1，
　三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f （﹣x ）=﹣f （x ）得 kx 2﹣2x=﹣kx 2﹣2x ，
∴k=0．
（Ⅱ）∵g （x ）=a f （x ）﹣1=a 2x ﹣1=（a 2）x ﹣1
①当a 2＞1，即a ＞1时，g （x ）=（a 2）x ﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g （x ）最大值为g （2）=a 4﹣1．
②当a 2＜1，即0＜a ＜1时，∴g （x ）=（a 2）x 在[﹣1，2]上为减函数，
∴g （x ）最大值为．∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g （x ）在x ∈[﹣1，1]上的最大值为
，
∴1≤t 2﹣2mt+1即t 2﹣2mt ≥0在[﹣1，1]上恒成立
令h （m ）=﹣2mt+t 2，∴即
所以t ∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）， （1分）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-①当时，解得或，解得，0a >()0f x '>2x a >
0x <()0f x '<20x a
<<∴的递增区间为和，的递减区间为． （4分）()f x (,0)-∞2(,)a +∞()f x 2(0,a
②当时，的递增区间为，递减区间为． （5分）
0a =()f x (,0)-∞(0,)+∞③当时，解得，解得或0a <()0f x '>20x a <<()0f x '<0x >2x a
<∴的递增区间为，的递减区间为和． （7分）()f x 2(,0)a ()f x 2(,)a
-∞(0,)+∞（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知上递减，在上递增，在上递减．2a <-2(,a -∞2(,0)a
(0,)+∞∵，∴在没有零点． （9分）22240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
()f x (,0)-∞∵，，在上递减，()010f =>11(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞∴在上，存在唯一的，使得．且 （12分）(0,)+∞0x ()00f x =01(0,2
x ∈综上所述，当时，有唯一的零点，且． （13分）2a <-()f x 0x 01(0,)2x ∈
21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
22．【答案】
【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5，②中的值为=0.40，③中的值为50×0.2=10，
④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为=0.30；
（2）不低于85的概率P=×0.20+0.30=0.40，
∴获奖的人数大约为800×0.40=320；
（3）该程序的功能是求平均数，
S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，
∴800名学生的平均分为82分
23．【答案】
【解析】解：（1）∵a＞0，是R上的偶函数．
∴f（﹣x）=f（x），即+=，
∴+a•2x=+，
2x（a﹣）﹣（a﹣）=0，
∴（a﹣）（2x+）=0，∵2x+＞0，a＞0，
∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知，
∴
∵x＞0，
∴22x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．　。