新教材人教版高中数学必修第一册 5.4.3 正切函数的图像与性质(2) 教学课件
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第二页，共二十页。
数学学科素养
1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像； 2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间； 3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性. 4.直观想象：正切函数的图像； 5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究
正切函数的性质.
第三页，共二十页。
自主预习，回答问题
第十三页，共二十页。
解题方法（求单调区间的步骤）
用“基本函数法”求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调 区间、定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数 y＝tan x 的相应单调区间、定义域及 对称中心；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不 等式表示)中的“x”；
解：由 y＝tanx 的图像可得函数 y＝|tanx|的图像． 如下图所示．
第十页，共二十页。
周期：π. 单增增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)， 单减减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)． 值域：[0，＋∞)．
第十一页，共二十页。
题型分析 举一反三
题型一 正切函数的性质
【例1】
求函数
f(x)＝tan
【例2】 比较下列正切函数值的大小
tan1670 与 tan1730
解析：
900 1670 1730 1800
又 y tan x, 在 (90 0 ,270 0上) 是增函数
tan1670 tan1730
第十七页，共二十页。
解题方法（比较两个三角函数值的大小）
比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个 角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
答案：A
第二十页，共二十页。
阅读课本209-212页，思考并完成以下问题
1. 正切函数图像是怎样的？ 2. 类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性 质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
第四页，共二十页。
1.正切函数的图象
o
2
知识清单
Y
2
3
8
4
8
0
3
84
8
X
第五页，共二十页。
正切曲线y3 Nhomakorabeao
2
2
3
x
2
第六页，共二十页。
二、观察正切函数的图象，获得其性质：
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
1、定义域
2、值域 3、单调性
4、奇偶性
x
x
|
x
R且x
k
2
，k
Z
yR
在x
k
2
, k
2
上是增函数；
f (x) tan(x) tan x f (x)奇函数
第三步：解关于 x 的不等式．
第十四页，共二十页。
[跟踪训练一]
1．下列命题中：
①函数 y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数 y
＝tan(x＋φ)的最小正周期为 π；③函数 y＝tanx＋4π的图像关于点
π4，0对称；④函数 y＝tanx＋π4的图像关于直线 x＝π4对称．
其中正确命题的个数是(
5、周期性
f (x ) tan( x ) tan x f ( x) 最小正周期是
第七页，共二十页。
小试牛刀
1．函数 f(x)＝tanωx(ω＞0)的周期为π4，则 fπ4的值是(
)
π A.4
B．0
C．1
D．－1
解析：由题意，T＝π4，∴ω＝4，
π ∴f(x)＝tan4x，从而 f 4 ＝tanπ＝0.
第十八页，共二十页。
[跟踪训练二]
1．若 f(x)＝tanx＋π4，则( )
A．f(0)＞f(－1)＞f(1)
B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(1)＞f(0)＞f(－1)
D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
第十九页，共二十页。
解析：f(x)＝tanx＋4π在－34π，π4内是增函数． 又 0，－1∈－34π，π4，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)． 又 f(x) ＝ tan x＋π4 在 π4，54π 上 也 是 增 函 数 ， f( － 1) ＝ tan－1＋π4＝tanπ＋π4－1＝tan54π－1. ∵54π－1,1∈π4，54π，且54π－1＞1， ∴f(－1)＞f(1)． 从而有 f(0)＞f(－1)＞f(1)．
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
第十五页，共二十页。
解析：①正确，函数 y＝tan(x＋φ)在定义域内只存在递增区 间．②正确．③正确，其对称中心为2kπ－4π，0(k∈Z)．④函数 y ＝tanx＋4π不存在对称轴．所以①②③正确，故选 D.
答案：D
第十六页，共二十页。
题型二 比较大小
2
x
3
的定义域、周期和单调递增区间．
第十二页，共二十页。
解：由π2x＋π3≠kπ＋π2，得 x≠2k＋13(k∈Z)． 所以函数 f(x)的定义域是{x|x≠2k＋31，k∈Z}； 由于ππ＝2，因此函数 f(x)的最小正周期为 2.
2 由－π2＋kπ＜π2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得－53＋2k＜x＜13＋2k， k∈Z. 因此，函数的单调递增区间是－53＋2k，31＋2k，k∈Z.
新教材人教版高中数学必修第一册 5.4.3 正切函数的图像与性质（2） 教 学课件
科 目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
第五章 三角函数
5.4.3 正切函数的性质与图像
第一页，共二十页。
课程目标
1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法; 2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.
答案：B
第八页，共二十页。
2．已知函数 y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为1π2，0，则 φ
可以是( )
A．－π6
π B.6
C．－1π2
π D.12
解析：由题意，tan
π6＋φ
＝0.∴φ＋π＝kπ，即φ＝kπ－π，
6
6
令 k＝0，得φ＝－π6.
答案：A
第九页，共二十页。
3．作出函数 y＝|tanx|的简图，并指出其周期，单调区间， 值域．
数学学科素养
1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像； 2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间； 3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性. 4.直观想象：正切函数的图像； 5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究
正切函数的性质.
第三页，共二十页。
自主预习，回答问题
第十三页，共二十页。
解题方法（求单调区间的步骤）
用“基本函数法”求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调 区间、定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数 y＝tan x 的相应单调区间、定义域及 对称中心；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不 等式表示)中的“x”；
解：由 y＝tanx 的图像可得函数 y＝|tanx|的图像． 如下图所示．
第十页，共二十页。
周期：π. 单增增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)， 单减减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)． 值域：[0，＋∞)．
第十一页，共二十页。
题型分析 举一反三
题型一 正切函数的性质
【例1】
求函数
f(x)＝tan
【例2】 比较下列正切函数值的大小
tan1670 与 tan1730
解析：
900 1670 1730 1800
又 y tan x, 在 (90 0 ,270 0上) 是增函数
tan1670 tan1730
第十七页，共二十页。
解题方法（比较两个三角函数值的大小）
比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个 角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
答案：A
第二十页，共二十页。
阅读课本209-212页，思考并完成以下问题
1. 正切函数图像是怎样的？ 2. 类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性 质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
第四页，共二十页。
1.正切函数的图象
o
2
知识清单
Y
2
3
8
4
8
0
3
84
8
X
第五页，共二十页。
正切曲线y3 Nhomakorabeao
2
2
3
x
2
第六页，共二十页。
二、观察正切函数的图象，获得其性质：
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
1、定义域
2、值域 3、单调性
4、奇偶性
x
x
|
x
R且x
k
2
，k
Z
yR
在x
k
2
, k
2
上是增函数；
f (x) tan(x) tan x f (x)奇函数
第三步：解关于 x 的不等式．
第十四页，共二十页。
[跟踪训练一]
1．下列命题中：
①函数 y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数 y
＝tan(x＋φ)的最小正周期为 π；③函数 y＝tanx＋4π的图像关于点
π4，0对称；④函数 y＝tanx＋π4的图像关于直线 x＝π4对称．
其中正确命题的个数是(
5、周期性
f (x ) tan( x ) tan x f ( x) 最小正周期是
第七页，共二十页。
小试牛刀
1．函数 f(x)＝tanωx(ω＞0)的周期为π4，则 fπ4的值是(
)
π A.4
B．0
C．1
D．－1
解析：由题意，T＝π4，∴ω＝4，
π ∴f(x)＝tan4x，从而 f 4 ＝tanπ＝0.
第十八页，共二十页。
[跟踪训练二]
1．若 f(x)＝tanx＋π4，则( )
A．f(0)＞f(－1)＞f(1)
B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(1)＞f(0)＞f(－1)
D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
第十九页，共二十页。
解析：f(x)＝tanx＋4π在－34π，π4内是增函数． 又 0，－1∈－34π，π4，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)． 又 f(x) ＝ tan x＋π4 在 π4，54π 上 也 是 增 函 数 ， f( － 1) ＝ tan－1＋π4＝tanπ＋π4－1＝tan54π－1. ∵54π－1,1∈π4，54π，且54π－1＞1， ∴f(－1)＞f(1)． 从而有 f(0)＞f(－1)＞f(1)．
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
第十五页，共二十页。
解析：①正确，函数 y＝tan(x＋φ)在定义域内只存在递增区 间．②正确．③正确，其对称中心为2kπ－4π，0(k∈Z)．④函数 y ＝tanx＋4π不存在对称轴．所以①②③正确，故选 D.
答案：D
第十六页，共二十页。
题型二 比较大小
2
x
3
的定义域、周期和单调递增区间．
第十二页，共二十页。
解：由π2x＋π3≠kπ＋π2，得 x≠2k＋13(k∈Z)． 所以函数 f(x)的定义域是{x|x≠2k＋31，k∈Z}； 由于ππ＝2，因此函数 f(x)的最小正周期为 2.
2 由－π2＋kπ＜π2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得－53＋2k＜x＜13＋2k， k∈Z. 因此，函数的单调递增区间是－53＋2k，31＋2k，k∈Z.
新教材人教版高中数学必修第一册 5.4.3 正切函数的图像与性质（2） 教 学课件
科 目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
第五章 三角函数
5.4.3 正切函数的性质与图像
第一页，共二十页。
课程目标
1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法; 2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.
答案：B
第八页，共二十页。
2．已知函数 y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为1π2，0，则 φ
可以是( )
A．－π6
π B.6
C．－1π2
π D.12
解析：由题意，tan
π6＋φ
＝0.∴φ＋π＝kπ，即φ＝kπ－π，
6
6
令 k＝0，得φ＝－π6.
答案：A
第九页，共二十页。
3．作出函数 y＝|tanx|的简图，并指出其周期，单调区间， 值域．