电容与部分电容

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例2.8.1 试求球形电容器的电容。
? 解：设内导体的电荷为 q ,则 D ?dS ? q , S
q D ? 4πr 2 er ,
同心导体间的电压
q
E ? 4π?0r 2 er
r
图2.8.1 球形电容器
?b
U ? E ?d r ?
q
(1 ? 1) ?
q
?b ? a
a
4π? 0 a b 4π? 0 ab
3. ? i j ? ? ji
? 的值可以通过给定各导体电荷 q ,计算各导体的电位 ? 而得。 ? 1 ? ? 11q1 ? ? 12q2 ? ? ? ? ? 1i qi ? ? ? ? ? 1N qN
????????????????????
? i ? ? i1q1 ? ? i2q2 ? ? ? ? ? ii qi ? ? ? ? ? iNqN
? 的性质；
1. ? ii ? 0 ;
3. ? ij ? ? ji ;
2. ? ij ? 0;
4. ? i j ? ? i i ? ? j i
通常， ? 的值可以通过给定各导体的电位 ? ，测量各导体的电荷
q 而得。
q1 ? ? 11? 1 ? ? 12? 2 ? ? ? ? ? 1i? i ? ? ? ? 1N? N
球形电容器的电容
C ? q ? 4π?0ab
U b? a
当 b ? ? 时 C ? 4 π ? 0 a （孤立导体球的电容）
2.8.2 多导体系统、部分电容 1 多导体系统
? 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；
? 静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该
系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即
????????????????????
qN ? ? ? N1 1 ? ? ? N2 2 ? ? ? ? ? Ni? i ? ? ? ? NN? N
? （单位：库/伏）：静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；
? ii : 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献； ? i,j : 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献。
?i
?1?? 2 ??
? ? i?1 ? ? i?1 ? ?
?? N ?0
? ij
? qi
?j
?1 ?? 百度文库 ??
??
j?1 ? ? j?1 ??
?? N ?0
Ⅲ 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容
q1 ? ? 11? 1 ? ? 12? 2 ? ? ? ? ? 1i? i ? ? ? ? 1N? N
????????????????????
qi ? ? i1? 1 ? ? i2? 2 ? ? ? ? ? ii? i ? ? ? ? iN? N
????????????????????
qN ? ? N1? 1 ? ? N 2? 2 ? ? ? ? ? Ni? i ? ? ? ? NN? N
? ii
? qi
写成矩阵形式为 ?? ?? ?? ? ?q ?
? —— 电位系数，表明导体电荷对导体电位的贡献；
? i,i ——自有电位系数，表明导体 i 上电荷对导体 i 电位的贡献；
? i , j——互有电位系数，表明导体 j上的电荷对导体 i 电位的贡献 ；
? 的性质；
1. ? ? 0 ; 2. ? ij ? ? ii ? ? ji ;
如果将电荷与电位的关系表示成电荷与电压的关系，有
2 部分电容概念
n
? qk ? 0 .
k? 0
图2.8.2 三导体静电独立系统
Ⅰ.已知导体的电荷，求电位和电位系数 以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷
的关系为
? 10 ? a 0 q 0 ? a 1 q1 ? a 2 q 2 ? 20 ? b0 q 0 ? b1 q1 ? b2 q 2
C? Q U
? b.设 U 解边值问题 ? E ? ?? ? E 边界条件?
? ds
S
Q ? Q(U )
C
一般导体不同， C就不同。 如同容器装水：
例：一个带电导体球的电容，设球带电 q。
?U
?
q 4?? oR
?
C?
q U
?
4?? oR
地球半径： R=6.4? 106m
C ? 700? 10? 6F ? 700 ? F
????????????????????
? i ? ? i1q1 ? ? i2q2 ? ? ? ? ? ii qi ? ? ? ? ? iNqN
????????????????????
? N ? ? N1q1 ? ? N2q2 ? ? ? ? ? Ni qi ? ? ? ? ? NNqN
q0 ? ? (q1 ? q2 ? ? ? ? qi ? ? ? qN ) （非独立方程）
????????????????????
? N ? ? N1q1 ? ? N2q2 ? ? ? ? ? Niqi ? ? ? ? ? NNqN
?i ? ? ii
qi q1 ? q2 ? ? ? qi?1 ? qi?1 ? ? ? qN ? 0 , qi ? ? q0
?i ? ? ij
q j q1 ? q2 ?? ? q j?1 ? q j?1 ?? ? qN ? 0 ,q j ? ? q0
2.8.1 电容
§ 2.8 电容与部分电容
定义： C ? Q 单位： ( F 法拉)，μF , pF U
电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。
工程上的实际电容： 电力电容器，电子线路用的各种小电容器。
电容的计算思路：
a.设
? Q(?Q) 高斯定律
E
E ?d l
U ? U (Q)
? q0 ? ? (q1 ? q2 )
? ? 10 ? ? 11 q1 ? ? 12 q 2
? 20 ? ? 21 q1 ? ? 22 q2
以此类推（n+1)个多导体系统只有 n 个电位线性独立方程，即
? 1 ? ? 11q1 ? ? 12q2 ? ? ? ? ? 1iqi ? ? ? ? ? 1N qN
Ⅱ 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数
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?? ?? ?? ??1
q1 ? ?11? 1 ? ?12? 2 ? ? ? ? ? 1i? i ? ? ? ?1N? N
????????????????????
qi ? ? i1? 1 ? ? i2? 2 ? ? ? ? ? ii? i ? ? ? ? iN? N