刚体的动量矩及转动动能

§6、刚体的动量矩及转动动能
上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定
理:M dt
d dt J d M F r v m r F
r
e i
i i i i e i
c
=⨯∑=⨯∑=∑=)(,)( 应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。

虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出，这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。

下面我们先讨论：
一、 刚体定点转动的动量矩：
假设刚体在某一时刻以角速度ω转动。

取刚体上任一质点p i 的质量为m i 。

它相对固定点O 点的位矢量为i r。

那么根据质点组的动量矩定义式可得整个刚体对固定点0的动量矩是：)(v m r i i i i
J
⨯=∑
因为，
r w v i
i
⨯= 所以，它就等于)(r w m r i
i
i
i
⨯⨯∑ 根据矢量多重叉积的基本公
式：c b a b c a c b a
)()()(⋅-⋅=⨯⨯ 可得
[]][r r m w r m r w r w r r m r
w r m i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
I
i
w i J
)()()(2
)(⋅=-⋅=⨯=∑-∑⋅∑⨯∑由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度ω 共线，只有0≡⋅w r
时， j 与w 才是共线的。

由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。

如图所示，建立直角坐标系O —X 、Y 、Z(并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况下比较方便。

因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。

)则i r 和w
在三正交坐标轴的分量……则：
k
w j
w i w w
k z j
y i
x r
z y
x
i
i
i
i
++=
+
+
=
,于是可得动量矩在x 轴上的分量：
w
z x m w
y x m w
z
y m x
w z w
y w
x m w
z y
x m J
x
i
i
y
i
i
x
i
i i i
z
i
y
i
x
i
i x
i i
i i z
i i )()()()()(22
2
22
∑∑∑∑∑--⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+
+
-+
+=
同理
可得：
w
x y
m w z y m w
z x m J w z y m w
z y
m w y x m J z
i
i
i
y
i
i x
i
i
z z
i
i
y
i i
i
x
i
i y i i i i )()()()()()(2
2
2
2+
+--=-+
+-=∑∑∑∑∑∑ 在这儿我们
就令
：)))2
2
2
2
2
2
(((x y m I z x m I z y
m I i
i
i
zz
i
i
i
yy
i
i
i xx +∑+∑+∑=== ∑∑∑==
====
x z m I
I
y z m I I y x m I I
i
i i xz
zx
i
i i zy yz
i
i i yx
xy
则动量矩在直角坐标系中的分
量式就可简写为：
w
I w I w I J w I w I w I J w I w I w I J
z
zz
y
zy
x
zx
z
z
yz
y
yy
x
yx
y z
xz
y
xy
x
xx
x +---=-+=--=
：由这些分量式也可以看出刚体绕固定
点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量 w w w z
y x ,,都有关。

这也就说明了动量矩与角速
度是不共线的，一般来说J 与ω 的方向是不相同的。

因此一般来说w I J
≠，一般对定轴转动才有w I J
=。

要想计算刚体绕定点转动的角动量，就得计算I I zx xx ......这些量。

这些量
的物理意义等一下再讲，现在先讲定点转动刚体的动能表达式。

二、 定点转动刚体的动能：
1、 第一种表达式：
由动能的定义可得整个刚体的动能就等于组成刚体的所有质点的动能之和。

所以刚体绕
定点转动时的动能：)2
1)2
12
1
((2r w v m v v m v m i
i i i i i i i T ⨯=⋅==∑∑∑ 根据矢量混合积的运算公式：)()()(b a c c a b c b a
⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅
可得J 就等于：j
w
w v r m v r w m J i i i i i i 212
1)(21==⨯=⨯∑∑
⋅。

这就是刚体绕定点转动动能的基本表达式j w T
⋅=
2
1。

除此之外，我们还可以将它表达成另一种形式。

2、 第二种表达式： 角速度矢量和角动量矢量可以表达式为：
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=z
y x z
y x J k J j J i J w k w j w i w
而且我们在前面已经得出：
⎪
⎩⎪⎨⎧+--=-+-=--=z
zz y zy x zx z yz y yy x yx z
xz y xy x xx w I w I w I Jz w I w I w I Jy w I w I w I Jx 于是，我们由J w T ⋅=
21 可得：
()()[
]
)
()(2
121
z zz y zy x zx z z yz y yy x yx y z xz y xy x xx z z y y x x w I w I w I w w I w I w I w w I w I w I wx J w J w J w T +--+-+-+
--=++=
将它整理一下就可得到刚体定点转动动能的第二种表达式为：
[]
z y yz y x xy z zz y yy x xx w w I w w I w I w I w I T 222
12
22--++=
除了这两种表达形式之外，还有一种表达式形式。

3、 第三种表达式：2
21i i v m T ∑=
也
可
以
写
成
为
：
∑∑∑=
⨯⋅⨯=⋅=2)sin (2
1
)()(212
1i i i i i
i i i i wr m r w r w m v v m T θ
令i i i r ρθ=sin
2
222)(2
121w m w m i i i i ∑∑=∴=
ρρ 在力学中就定义 ∑2i i m ρ为刚体绕瞬时轴的转动
惯量I ，∑≡
i
i i m I 2
ρ 所以刚体绕定点转动的动能又可表示成为：2
2
1Iw T =
其中的I 是刚体绕瞬时轴的转动惯量。

三、 转动惯量
刚体的转动惯量是描写刚体转动惯性大小的物理量，刚体转动惯量的大小，我们可以直接按定义来计算。

1、直接计算：∑⎰==
dm I m I i i 22
,ρρ （对于质量连续分布的刚体来讲求和可以变成积
分）由直接积分计算得到，这种是计算转动惯量的最基本方法。

但是有时利用这种方法来计算比较麻烦，而且对一些几何形状不大的规则的物体的转动惯量是无法用积分所能计算的，即只能借助于实验测出。

另外，我们由转动惯量的定义式可以看出，刚体的转动惯量I 不仅与物体的总质量有关，而且还与质量的分布情况以及转轴的位置有关。

在普通力学中，已经介绍过的平行轴定理和正交轴定理是计算转动惯量时经常要用到两个基本定理。

2、平行轴定理与正交轴定理.
对这两个定理的内容忘了的话，课外抽时间复习一下（马上
就可记忆回来）。

⎩⎨⎧+=+=Y
X Z C I I I Md I I —正交轴定理—平行轴定理2
在计算中，有时也常常要用到回转半径
这个概念。

3、回转半径.假设已知刚体对某一轴的转动惯量为I ，则令：2
mk I ≡，m 为刚体的总质量，k 就是刚体对该轴线的回轴半径。

例如匀质圆球体绕通过质心的一直线轴的转动惯量
2
52mr I =
，则它对通过质心的这一直线轴的回转半径： r k 5
2
= 。

4、对过定点的任一轴的转动惯量：
刚才已经讲过刚体的转动惯量与转轴的位置有关，要随着转轴位置的变化而变化。

平行轴定理只是解决了在平行轴线之间转动惯量的变化规律。

而没有涉及到刚体对通过定点的任一转轴的转动惯量，也就是转动惯量随轴线取向的变化规律这个问题。

刚体对过定点的任一轴的转动惯量可以通过对x,y,z 轴的转动惯量和惯量积来计算。

我们推导刚体的动量矩时所定义的zz yy xx I I I 和,就叫做刚体绕x,y,z 轴的转动惯量，对质量连续分布的刚体我们可将求和号改写成积分形式。

即
轴的转动惯量。

他们为对轴的垂直距离，因此称到正好是质元）和（），
这里的（z y x z y x dm y x x z z y dm y x I dm x z I dm z y I zz yy xx ,,,,)()(;)(;)(222222222222++++=+=+=⎰⎰⎰ 还有I xy ,I yz …就叫做惯量积。

同样改写成积分形式的话则有：
⎰⎰⎰======zxdm I I yzdm I I xydm I I xz zx zy yz yx xy ,, 等一下我们由计算得的结果将
可以看出刚体对过定点的任意轴的转动惯量与这九个量有关，可由这九个量来计算得到。

求刚体对过定点任一轴的转动惯量的方法之一，就是书本上介绍的方法，我们书上的计算方法很好，很简单。

（1） 计算方法之一：
刚体绕定点转动时的动能：2
2
1Iw T =
，又因为刚体绕定点转动的动能可以表达成为：]222[2
12
22y x xy zx zx z y yz z zz y yy x xx w w I w I w w I w I w I w I T ---++= 。

然而，我们将这两
种表达式比较一下就可得。

最后还须指出：根据刚体转动惯量的定义和惯量椭球的概念可以推知：（1）各种形状的刚体，其上每一点都有一个与此对应的惯性椭球。

（2）而同一个刚体，不同点的惯性椭球的大小和形状是不同的。

（3）刚体的质心惯性椭球具有特别的意义。

因为
刚体的一般运动总可以将它分解为随质心的平动和绕质心转动的这两部分运动来研究。

所以说刚体的质心惯性椭球对研究刚体运动问题有其特别的重要意义。

到目前为止，我们已经讨论了刚体各类运动的运动学问题，和描写刚体动力学规律的运动微分方程并包括静力学问题都作了一些讨论，上次课我们又讨论了描写刚体动力学状态的两个物理量，即刚体的动量矩和刚体的转动动能。

现在只是剩下了刚体作各类运动时的动力学问题。

下面我们就先着手来讨论刚体定轴转动的动力学规律。

§7、刚体绕定轴转动
一、 定轴转动的动力学问题：
1、 动能：我们前面得出的刚体动能定理的普遍表达式：外
dw dT = 对定轴转动刚体同样是适用的，只是在定轴转动的情况下，它有具体的形式，刚体的动能T 应该是怎样的？在刚
体绕固定轴转动时，我们就取固定轴为Z 轴。

那 么刚体绕固定轴Z 转动的动能T 就等于：
∑∑∑===2
2222
1)(2121i i i i i i m w w m v m T ρρ
根据转动惯量定义可知
∑2
i i m ρ这就是刚体绕固
定轴Z 的转动惯量，我们就用符号I Z 表示刚体对Z 轴的转动惯量。

所以，刚体绕固定轴Z 转动的动能：
22
1
w I T z =
，在普通力学中已经证明过它。

在刚体作定轴转动的情况下，作用在刚体上的所有外力的元功之和等于所有力对Z 轴的力矩的代数和M Z =
∑iz
M
与刚体转动的角位移θd 的乘积，即dW 外
=M z d θ,于是就有刚体绕定轴转动时的
动能定理的具体表达式为：θd M w I d z z =)2
1
(2
同样我们很容易推出，刚体绕定轴转动的动力学方程，也就是定轴转动定理 2、定轴转动的动力学方程：
由dt
dJ M Z
Z =
这个定轴转动定理，根据定轴转动的特点马上可以推出其动力学方程为：θ
β z z z z I I w
I M z
=== , 关于刚体绕定轴转动的基本力学问题在普通力学中已经讲的、题目做了不少，因此对它的应用现在就没必要多讲了。

到此为止，我们对定轴转动问题的认识是否全面了呢？还没有。

我们由几何公理可以知道，通过两点必定一直线。

因此
刚体绕固定轴的转动可以看作刚体上两点A 、B 保持固定不动时的运动。

在实际问题中也正是如此的。

在实际应用中，机械上的转动部件 的转动轴的两端总是各装在一个轴承中的，刚体之所以作定轴转动，
就是由于轴承对轴的约束作用。

然而按牛顿第三定律知道，轴承对轴的约束反作用力与刚体的转轴对轴承的压力大小相等方向相反。

但约束反作用力对转轴并不产生力矩，所以它在转
动定理θ
Z Z I M = 中是不出现的，因此也就无法由这个定轴转动的动力学方程求出这个轴承对刚体转轴Z 的约束反作用力，这个约束反作用力也叫做轴上的压力。

二、轴上的压力：
轴上的压力虽然不可能有定轴转动定理：θ
Z Z I M = 求出，但我们可以由质点组 的动量定理和动量矩定理求出。

刚体绕定轴转动时轴上的压力问题是机械动力学的一个重要的课题，由于轴上压力的大小，它直接关系到轴承的强度问题，轴上的压力愈大，对轴承的强度要求就愈高，如果轴上的压力过大，还会引起机械的剧烈振动，并导致损坏，因此，研究轴上的压力问题是机械转动工程方面的一个至关重要的问题。

对于我们来说简单地了解一下轴上的压力的基本情况还是有必要的。

对于它的详细研究当然不属于我们的学习范围了，而是属于机械动力学的研究范围。

如左图所示，我们取一固定直角坐标系A-xyz ，并将转轴取作为z 轴，A 和B 两点为两个固定点。

此时作用在刚体上的外力有两部分，一部分是作用在刚体上的主动
力F
，另一部分是作用在A 、B 两点上的约束反作用力：
B A
、 这两个约束力分别在x 、y 、z 轴上的分量为 Z Y X Z Y X B B B A A A ,,,,和 。

那么，我们将质点组的动
量定理应用于这一定轴转动的刚体上来可得三个方程：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=∑∑∑∑∑∑外
外
外
iz z z i i iy y
y i i ix X X i
i F B A z m d
F B A y m dt d F B A x m dy d 再对固定点A 应用质点组的动力矩定理则又可得到三个标量方程为：
（取逆时针方向为正）
∑∑∑∑∑∑=-+⋅=-+⋅-=-iz i i i i i iy i i i i ix y i i i i i M x y y
x m d M Bx AB z x x z mi dt
d
M B AB y z z y m dt
d
)()()( 另外，从图上可以看出：nt z Ri y R x i i i i cos ,sin ,cos ===ϕϕ，i z 是不随时间改变的常数，这里的i R 也是不随时间改变的常数。

于是将它们对时间t 相继二次求导。

则得：
0,;,0,,sin 22=-=--===-=⋅-=i i i i i i i i i i i i i z w y w x y
w x w y x z w x y w y R x ϕϕ
把这些关系式代到前面的六个方程中去，然后再利用质心的坐标表达式和惯量积的定义式就可将它们改写成为如下的形式：
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎬⎫==+⋅=--+⋅-=-++=++=+-++=--∑∑∑∑∑∑z iz zz iy x yz zx ix y zx yz iz z z iy y y c c ix x x c c M M w I M B AB w I w I M B AB w
I w I F B A F B A w
mx w my F B A w
my w mx 2
2
2
20外外外 式中的c c c z y x ,,是刚体的质心位置坐标
1、讨论：（1）这六个方程不能解出约束力的六个分量：z y x z y x B B B A A A ,,,,, 第六个方程实际上就是刚体绕固定轴转动的动力学方程，它并不包含约束力。

实际上含约束力的只有前面的五个方程，五个方程六个未知量显然是无法解出的。

但是前面这五个方程有一个特点，即z z B A 和 只出现在第三个方程中，在其它四个方程中都没有出现。

如果我们把第三个方程中的（Az 和Bz ） 当作一个未知量，那么我们就可以联列上面五个方程解出
)(,,,,Bz Az By Bx Ay Ax + 也就是上面的五个方程只能解出)(,,,,Bz Az By Bx Ay Ax +
这五个未知量，其中Az 和 Bz 各自的大小要有A 和B 这两点的固定方式确定。

例如：刚体的转轴像课本P.189页上的图所示的那样装配在轴承上的话，Bz=0，因此Az 和Bz 的具体数值要由轴的装轴情况得到，其次我们从上面的方程组还可以看出： （2）要解约束力必须要知道 zx yz c c I I y x ,,,和主动力矩M 。

2、上面推出的方程是在静坐标系中得到的，因此刚体的质心坐标c c y x , 以及两个惯量积
yz xz I I 和都是时间的函数，这样计算起来显然是不方便的。

为了使这些量都能变为不随时间
改变的常量。

我们只要另外引入一个与刚体相固定的动坐标系Z Y X A '''-就可达到所需要的目的。

其中动坐标系的Z A '轴与原来的固定坐标系A-xyz 的AZ 轴是重合的。

即Z Z ='，在这里我们只要作坐标变换就可以从上面的方
程式得到相对于动坐标系的方程。

由高等数学中的坐标变换关系的知识很容易得到：
ϕϕϕϕcos sin sin cos y x y y x x +-='+=' 所以 ϕ
ϕϕ
ϕcos sin sin cos y x y y x x '+'='-'=
将这两个坐标变换关系和z z '=代入上面方程中的yz xz c c I I y x ,,,并将i i M F
和 也作坐标变
换，于是其计算结果就可得到在动坐标系中的一组相应方程。

在
动坐标系下六个方程在形式上同静坐标系下的六个方程完全相同，所不同的是这些分量都是相对于动坐标系的，为了与静坐标系下的方程加以区别的话，只要在原来的六个方程中含有或标有x,y,z 的这些坐标符号上加上一撇就行了。

∴='z z 动、静坐标系下的第三和第六个方程是完全相等的。