§21-3刚体定轴转动微分方程

解: macx mac mg sin a F

macy 0 mg cos FN
JC Fr
有:
r ac ,
Jc

1 2
r2m
mac

mg sin

1 2
rm
ac m
x aC
P
C
FN
y
F
得:
ac

2g sin
3
2g sin
3r
F P sin
f
2 s
)r0
2gfs (1 fs )
例6：齿轮传动装置，开始时角速度分别为01，02，重
分别为P1，P2，求耦合后的1值。
解:
左轮:
J1
dω dt

P1 2g
R12
dω dt

FR1
右轮:
J2
d
dt

P2 2g
R22
d
dt

FR2
方程右端化简相等:
R1
01
R2
02
1
值，求:鼓轮的转动惯量。
动量矩定理:
d dt
(J0ω

P g
vr)

Pr

J 0

P g
ar＝P
r
运动学关系： a
r
a

P J0g
r2g P r2
v
自由落体时有：
h 1 at2 2
则：
J0

P r2 g
(
gt2 2h
1)
a P h
§21-4 刚体平面运动的微分方程
z’


maC Fi
F F1 F2 r J0
R
例11：一根筷子在光滑地面上，开始时手拿着如图示位置， 然后松手,求：筷子此时的角加速度和地面的正压力。
解: 条件:1. aCx=0 2. t=0, 0。
[c]:
J c

F
l 2
s in
JC

m l2
12
[y]: maC mg F
aC A

l 2
aC A

FA
g P
33 2
FA

2
3 13
P

0.266
P

FA
A
aA
aCnA C
aA

n P aC A
B

例13：4kg的均质板静止悬挂。求： B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心 加速度各为多少。
解： 1.考虑第一种情况，作受力分析 和运动分析，如图所示。
应用刚体平面运动微分方程
P 3Q l
例9：均匀圆盘重量均为P，半径均为r。求：B物体滚下 时质心的加速度与绳子张力。
解: J A A Fr J BB Fr A B
A A
P
P g aB P F
Ar Br aB
F
2 B r
P g

P

1 2
P g
r
B
B

2g 5r
加速度:
aB
dLC dt
M ci
z
ma Cx Fxi
dLC dt
MC
ma Cy Fyi
LC J C
y’ S
x’
y
maCcx mxC Fxi
maCy myC Fyi
x
J C J C M Ci
aC

SC
刚体平面运动的微分方程
例7：均匀圆盘沿斜坡滚下，已知盘重P，半径 r, 求：下滚时盘质心的加速度与摩擦力。
3
例8：杆OA长l，重P。可绕过O点的水平轴转动，A端铰接一半 径为R、重为Q的均质圆盘，初瞬时OA杆处于水平位置，系统静
止。略去各处摩擦，求OA杆转到任意位置（用角表示）时的 角速度及角加速度。
解： 由圆轮受力图， JA＝0 因此＝0＝0，
圆盘在运动过程中作平移
FOy
FOx
P
整体对O点应用动量矩定理
4g 5
绳子张力: F 1 P 5
F B B
aB P
当瞬心离质心矩离是常数，或瞬心的加速度恒 指向质心时也可以选瞬心为动量矩的矩心。
dLI dt
MI
vC C
I
vA
0’
AB
vC vD D
vB
例10：均质鼓轮放置粗糙的地面上，在半径为r 的轴柱上绕着 绳索，索的拉力为F1，F2。求：轮的角加速度，摩擦力。
例4: 汽车传动装置如图示, 传动力偶为M,摩擦力偶为常数Mf,,
已知电机的角速度为0,传动装置对转轴的转动惯量为J，
求:传动系统的角速度。
解:
查汽车设计手册：
J
dω dt

M
0( 1
ω ω0
)
M
Mf

M
0
(1

0
)
M
令:
a

M0

M
f
,b

M0
0
J dω a bω dt
dω dt a bω J
解: 条件: vA=0 aCnA 0
运动学关系:
aC

aA
aC A
n : FA

P cos30

P g
aC A
cos 30

:
p g
(aA

aC A
cos 600
)

P
cos
60 0
C
FA A
C 600 B
aA
P

l2
12
P g

FA sin 60
l 2
§21-3 刚体定轴转动微分方程
z
Lz J z
dLz dt

M
e zi
d dt
(
J
z
)

M
e zi
J z

M
e zi
或
Jz
d2
dt2

M zi
Fi
刚体定轴转动微分方程 解决两类问题：
ri mi
vi
（1）已知刚体的转动规律，求作用在刚
体上的主动力矩；

F1 F2
（2）已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体的转动规律。
aC

aA
aC A
aCA l 2
y:
aC

aCy

l 2
sin
g sin
l (sin2 1)
2
3
F
1
P
3(sin2 1)
3
0，F P
45，F 2 P
5
y
ac aA
aCA
P
aA
x
AF
例12：均质杆重为P，被绳索如图约束，突然 剪断右侧绳索,求：此时左侧绳索张力。
dt
M z k
J k 0
k
J
T 2 J
k
已知：标准盘的J标，求测试盘的 J
。
T标 2
J标 k
k

2
( T标
)2
J标
k ( 2 )2 J
T
T2 J J标 T 2
标
z k
2.落体观测法
为测试不均质材料的鼓轮转动惯量，可以在一侧悬桂一
个重物，当t=0时系统静止不动，然后测试重物下落h高度的t

0
a
dω bω

t
0
dt J


a
bt
(1 e J )
b
t ,
bt
e J 1
最大转速:
c

a b

M0 M f M0
0
例5：均质圆柱半径为r，质量为m，置该
圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻
力，使转动减速，摩擦因数 fs
求：使圆柱停止转动所需的时间。
解： 应用刚体定轴转动的微分方程
(4) (5)
未知量 , FA, FB , FNA , FNB
解得
FA

mgfs2
1
f
2 s
,
FB

mg 1
f
2 s
f
2 s
代入（1）式
得
d 2gfs (1 fs )
dt
r (1
f
2 s
)
积分
0
0
d


2gfs (1 fs
r (1
f
2 s
)
)
t
dt
0
t

(1
FOy
dt P 3Q 2l
d d d P 2Q 3g cos d d t d P 3Q 2l
FOx

P

分离变量
d P 2Q 3g cosd
P 3Q 2l
Q
积分

d

P 2Q 3g cosd
0
0 P 3Q 2l
得
P 2Q g 3sin
T aA

aCnA
C aA
aC A
mg
ma ma
cx cy

0 mg
T
(1) (2)

J
c

T
0.25
(3)
初瞬时＝0 则有 acnA 0
又由(1)知acx＝0
所以
aC aCy aCA cos AC cos 0.25
(4)
联立解(2)(3)(4)式

g 2
4.9
m/s2
T
mg
d Lo
dt
M oi
L0

P 3g
l 2

Q g
l 2ห้องสมุดไป่ตู้

P 3Q 3g
l 2
Q
Fy
Fx Q
Moi

P
l 2
cos
Ql cos
P 3Q l2 P 2Q l cos
3g
2
由上式解出
P 2Q 3g cos
P 3Q 2l
求OA杆的角速度 d P 2Q 3g cos
解: [0]:
J0 F1r F2r FR
[x]
F2 F1 F ma
:
[或]: JI F1(r R) F2 (R r)
运动学关系: a αR
得:


F（1 r
R1) PR 2

F2 (R J0g
r)
1 g(s2
)

F1
R
F2
0a
I
F FN
01
P1 2g
R1dω


2 02
P2 2g
R2dω
R1P1 2g
(1
01)


R2 P2 2g
(2
02 )
1
F R1 FN
FN
F
R2
2
运动学关系: R11 R22
1

R1P101 R2P202
（P1 P2 )R1
实验法测试转动惯量
1.扭转振动法
J d k
FA
FNA
C
FB
FNB
JC MCi
1 2
mr 2
d
dt

FAr

FBr
考虑质心运动定理 mac F
(1)
mxc Fx

myc

Fy
0 FNA FB
(2)
0 FNB FA mg (3)
FFBA

FNA FNB

fs fs
12 g ,
17 0.25
ac
12 g 6.92 17
m/s2
2.考虑第二种情况，受力分析如下，
初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为 T 1 mg
2
根据平面运动微分方程
ma ma
c c
x y

0 mg
T
(1) (2)

J
c

T
0.25
(3)
由(2)式得
ac
acy