河南省商丘市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学(理)试题(1)

【全国校级联考】河南省商丘市九校2020-2021学年高二下
学期期末联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对两个变量x 和y 进行回归分析,得到一组样本数据: ()()1122,,,x y x y ,…(),n n x y ,则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本中心(),x y
B ．残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
C ．若变量y 和x 之间的相关系数为0.9362r =-,则变量y 和x 之间具有线性相关关系
D ．用相关指数2R 来刻画回归效果, 2R 越小,说明模型的拟合效果越好
2．若复数z 满足()1z i i i +=+，则z 的虚部是（ ）
A ．
1
2
B ．12
-
C ．
32
D ．32
-
3．若2(,)X
N μσ,则(-+)=0.6826P X μσμσ<≤,
(-2+2)=0.9544P X μσμσ<≤,已知2(0,5)X N ~,则(510)P X <≤=( )
A ．0.4077
B ．0.2718
C ．0.1359
D ．0.0453
4．命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( ) A ．使用了“三段论”,但大前提错误 B ．使用了“三段论”,但小前提错误 C ．使用了归纳推理
D ．使用了类比推理
5．8386+被49除所得的余数是（ ） A ．14-
B ．0
C ．14
D ．35
6．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是
( )
A ．3
5C
B ．3
5A
C ．35
D ．53
7．设随机变量~(2,),~(4,)B p B p ξη，若5(1)9
P ξ≥=，则(2)P η≥的值为（ ）
A ．
1127
B ．
32
81
C ．
6581
D ．
1681
8．在区间[1,]e 上任取实数a ,在区间[0,1]上任取实数b ,使函数2
1()=++
4
f x ax x b 有
两个相异零点的概率是( ) A ．
11
e - B ．
1
2(1)
e -
C ．
1
4(1)
e -
D ．
1
8(1)
e -
9．为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（ ） A ．30
B ．90
C ．150
D ．210
10．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为( ) A ．
16
625
B ．
96625
C ．
624
625
D ．
4625
11．已知数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,…,则此数列的第60项是( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．已知函数2
()=ln ,()=
()2
a f x x x x g x x ax a R --∈,令()=()-()-h x f x g x ax ()a R ∈,若()h x 在定义域内有两个不同的极值点,则a 的取值范围为( ) A ．1(0,)e
B ．1(1)e
，
C ．(1,)e
D ．(,)e +∞
二、填空题
13．曲线2()=22f x x x +-在0P 处的切线平行于直线51y x =-,则点0P 坐标为_______. 14．已知34
4
2cos 4a x dx ππ
π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭⎰，则8
x ⎛
⎝
展开式中5x 的系数为__________． 15．甲射击命中目标的概率是
12
,乙射击命中目标的概率是1
3,丙射击命中目标的概率是
1
4
.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为____________. 16．袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E ηξη=-=,则()D η的值为_____.
三、解答题
17．已知2
()(1)1
x
x f x a a x -=+
>+，用反证法证明方程()0f x =没有负数根. 18．用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成多少个满足下列条件的整数？ (Ⅰ)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (Ⅱ)可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数？
19．某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4 万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(Ⅱ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:表中的数据显示x 与y 之间存在线性相关关系,求y 关于x 的回归方程；
(Ⅲ)若广告投入6万元时,实际销售收益为7.3万元,求残差ˆe
. a y b x ∧∧
=-()()()
1
1
2
22
1
1
,n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx ∧
====---=
=
--∑∑∑∑附:
20．社会公众人物的言行一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观.某媒体机构为了解大学生对影视、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称:“星闻”)的关注情况,随机调查了某大学的200位大学生,得到信息如下表:
(Ⅰ)从所抽取的200人内关注“星闻”的大学生中,再抽取三人做进一步调查,求这三人性别不全相同的概率；
(Ⅱ)是否有0095以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”,并说明理由； (Ⅲ)把以上的频率视为概率,若从该大学随机抽取4位男大学生,设这4人中关注“星闻”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
附:()
()()()()
2
2
,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++.
21．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的最小值；
（2）证明：对一切()0,x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成立. 22．选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线12cos :{
x C y θ
θ
==,曲线2:sin C ρθ=.
(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线:80l x y +-=,求曲线1C 上的点到直线l 的最短距离. 23．已知,,a b c ∈R ，2221a b c ++=. （1）求证：||a b c ++≤
（2）若不等式2
11()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立，求实数x 的取值范围.
参考答案
1．D 【解析】
逐一分析所给的各个选项：
A. 由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy
bx a =+必过样本中心(),x y B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
C. 若变量y 和x 之间的相关系数为0.9362r =-,则变量y 和x 之间具有线性相关关系
D. 用相关指数2R 来刻画回归效果,2R 越大,说明模型的拟合效果越好，该说法错误.
本题选择D 选项.
2．B 【解析】
由题意可得：()12z i i +=+ ， 则：()()()()21231
11122
i i i z i i i i +-+=
==-++- ， 即z 的虚部是1
2
-.
本题选择B 选项.
3．C 【解析】
正态分布()2
0,5X N ~关于y 轴对称，且5σ= ，则：
0.95440.6826
(510)0.13592
P X -<≤=
= .
本题选择C 选项.
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
4．A 【解析】
很明显有理数是整数、有限小数或无限循环小数，据此可得： 该推理使用了“三段论”,但大前提错误. 本题选择A 选项.
5．B 【解析】
由题可得，8383
86(71)6+=++=838222837837C 783716+⨯+
+⨯+⨯++=
278377(k k +⨯+是正整数）=49491249(k N N +⨯=是正整数）.
所以8386+被49整除，所以余数为0.故选B ． 6．D 【解析】
由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得： 不同的报名方法的种数是53. 本题选择D 选项.
7．A 【分析】
利用二项分布概率计算公式结合条件()5
19
P ξ≥=计算出p ，然后再利用二项分布概率公式计算出()2P η≥. 【详解】
由于()~2,B p ξ，则()()()2
5
110119P P p ξξ≥=-==--=
，13
p ∴=， 所以，1~4,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，()()()43
1421221011333P P P C ηηη⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 11
27
=，故选A. 【点睛】
本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题． 8．A 【解析】
满足题意时：0a ≠ ，且：11404a b -⨯> ，即1
1,ab b a
<< ，
如图所示，由几何概型可得满足题意的概率值为：
1
1
111
e
dx x p e e ==
--⎰ .
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )=
A 构成事件的区域的测度
实验的全部结果所组成的区域的测度
.
9．C 【分析】
先分组再排序，可得知这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目. 【详解】
由题意可知，这3人所包扶的户数分别为1、1、3或1、2、2，
利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为12
335453
22561061502C C C A A ⎛⎫⨯⎛⎫
+=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故选C. 【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10．B 【解析】 获奖的概率为2662C 5p =
= ，记获奖的人数为ξ ， 2~4,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以4人中恰好有3人获奖的概率为3
3
4
239655625
P C ⎛⎫==
⎪⎝⎭ ，故选B.
11．D 【解析】
1,……（1） 2,1,……（2） 3,2,1,……（3） 4,3,2,1,……（4） 5,4,3,2,1,……（5） 6,5,4,3,2,1,……（6） ……
n,n-1,……2,1,……（n ）
所以第60项应为[n+（n-1）+（n-2）+……+1]≥60 所以n≥11
所以当n=10时,一共有55个
所以接下去n=11时,是11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 所以第60项为7.
12．A 【解析】
由题意知,函数h (x )的定义域为(0,+∞)， 方程f ′(x )=0在(0,+∞)有两个不同根； 即方程lnx −ax =0在(0,+∞)有两个不同根；
转化为函数y =lnx 与函数y =ax 的图象在(0,+∞)上有两个不同交点， 如图。

可见，若令过原点且切于函数y =lnx 图象的直线斜率为k ，只须0<a <k . 令切点A (x 0,lnx 0)， 故001
|x x k y x =='=
,又00
ln x k x = ， 故
00
ln 1x x x =,解得,x 0=e ， 故1k e
=，
则a 的取值范围为 10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
本题选择A 选项.
13．(11)
， 【解析】
设切点横坐标为0x ，函数的导函数为：'41y x =+ ， 由切线与导函数的关系可得：00415,1x x +=∴= ， 而：()12121f =+-= ，
即点0P 坐标为()11
，. 14．448. 【解析】
由题意可得：334
444
2cos 2sin |444a x dx x π
π
ππππ--
⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ,
则88
x x ⎛
⎛= ⎝⎝
展开式的通项公式为：()3882
1884r
r r r r r r T C x C x
--+⎛==- ⎝
， 令
3
852
r -= 可得：2r ,
则5x 的系数为：()2
284448C -= .
15．
34
【解析】
由题意可得，目标不被击中的概率为：1231
2344
⨯⨯= ，
则目标被击中的概率为13
144
-= .
点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算． 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
16．11 【解析】
根据题意得出随机变量ξ的分布列：
()01234220102052
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，
∵2,()1a E ηξη=-= ，
∴3
122
a =⨯- ，
即a=2，
∴22,()1E ηξη=-= ，
2
2
2
2
2
131113331311
()234222021022020524
D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，
∵11
()4()4114
D D ηξ==⨯= . 故答案为11.
17．见解析 【解析】
试题分析：假设命题的结论不成立，即反面成立，即f(x)=0，有负实数根，再推出方程两边不可能相等，矛盾．所以假设不成立，原命题成立． 试题解析：证明：设存在000(1)x x <≠-，满足f(0x )＝0，
则0
x 00x 2
a x 1
-=-
+． 又0<0
x a <1，所以0<002
1
x x --
+<1，0 解之得：
01
x 22
<<， 与x0<0(x0≠－1)假设矛盾． 故f(x)＝0没有负实数根． 18．(Ⅰ) 300个；(Ⅱ) 600. 【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由乘法原理可得可以组成300个无重复数字的四位数
(Ⅱ)分类讨论，数字0重复和其他数字重复可得可以组成600个恰有两个相同数字的四位数. 试题解析：
(Ⅰ)首位不能为0,有5种选法；再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置,
有3
560A =种方法；
由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有560300⨯=个. (Ⅱ)分两种情况进行讨论；
第一种:数字0重复:22
3560C A =,
第二种:其它数字重复:
①有0时:2112
5235180C C A C =个,②无0时:31225324360C C A C =个,
所以,共有60180360600++=(个).
19．(Ⅰ) 2；(Ⅱ) 1.2.2ˆ0y
x =+；(Ⅲ) 0.1-. 【解析】
试题分析：
(Ⅰ)利用面积和为1可得宽度为2；
(Ⅱ)利用回归分析的方法可求得回归方程为 1.2.2ˆ0y
x =+； (Ⅲ)利用(II)中的结论求得y ，据此可得残差值为0.1- . 试题解析：
(Ⅰ)设各小长方形的宽度为a ,由频率直方图各小长方形的面积总和为1,可知
()0.080.10.140.120.040.020.51a a +++++⋅==,
故2a =. (Ⅱ)由题意,可知1234523257
3, 3.855
x y ++++++++=
===,
5
5
2222221
1
122332455769,1234555i i
i i i x y
x ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++=∑∑,
根据公式,可求得2
6953 3.812
1.2, 3.8 1.230.255531ˆˆ0
b
a -⨯⨯====-⨯=-⨯, 所以y 关于x 的回归方程为 1.2.2ˆ0y
x =+. (Ⅲ)当6x =时,销售收益预测值 1.260.=4ˆ27.y
=⨯+(万元),又实际销售收益为7.3万元, 所以残差7.37.4.ˆ01e
=-=- . 点睛：解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、
频率
组距
，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×
频率
组距
＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．
20．(Ⅰ) 60
79
；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析 . 【解析】
试题分析：
(Ⅰ)利用对立事件可得这三人性别不全相同的概率为
60
79
； (Ⅱ)利用公式求得2 5.556 3.841k ≈> ，则有95% 以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”.
(Ⅲ)利用题意结合二项分布的公式求得分布列，然后计算可得数学期望为4
3
. 试题解析：
(Ⅰ)由已知,知所求概率340380260
179
C P C =-=．
(Ⅱ)由于()2
22008040404050
5.556 3.8411208012080
9
k ⨯⨯-⨯=
=
≈>⨯⨯⨯ ． 故有0950
以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”.
(Ⅲ)由题意,可得任意一名男大学生关注“星闻”的概率为401
1203
=,不关注“星闻”的概率为
2
3
. ξ所有可能取值为0,1,2,3,4.
()4
2160381
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()3
1
4123213381P C ξ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭；()2
2
24122482=338127P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3
3412833381P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
()4
114381
P ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭.
ξ的分布列为
因为14,3
B ξ⎛⎫~ ⎪⎝
⎭,所以()43
E ξ=
.
21．(I) 11
()f e e
=-. （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】
（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出
最小值．（2）对一切(0,)x ∈+∞，都有12x lnx e ex >-成立，即2·x x lnx x e e >-，结合（1）中结论可知1
·
lnx x e -，构造新函数2()x x m x e e
=-，分析其最大值，可得答案． 【详解】
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x 的导数()1f x lnx =+'． 令()0f x '>，解得1
x e
>
； 令()0f x '<，解得10x e
<<
． 从而()f x 在1(0,)e
单调递减，在1(e
，)+∞单调递增．
所以，当1
x e =
时，()f x 取得最小值1e -． （2）若12
x lnx e ex >-
则2·
x x lnx x e e
>-， 由（1）得：1
·
lnx x e -，当且仅当1x e
=时，取最小值； 设2()x x m x e e
=-，则1()x x
m x e -'=，
(0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增， (1,)x ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，
故当1x =时，()m x 取最大值1e
-
故对一切(0,)x ∈+∞，都有12
x
lnx e ex
>-成立． 【点睛】
本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．
22．(Ⅰ) 221:143
x y C +=,22
2:0C x y y +-=；
.
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由题意可得曲线1C 的普通方程为22
143x y +=，曲线2C 的直角坐标方程
220x y y +-=；
(Ⅱ)
利用点到直线距离公式结合三角函数的性质可得最短距离为2
. 试题解析：
(Ⅰ)曲线2212:143x cos x y C y θ
θ
=⎧⎪⇒+=⎨
=⎪⎩, 曲线222
2:sin sin 0C x y y ρθρρθ=⇒=⇒+-=.
(Ⅱ)设曲线1C 上任意一点P
的坐标为()
2cos θθ,则点P 到直线l
的距离为
d =
≥
=
其中sin ϕϕ=
=
,当且仅当()sin 1ϕθ+=时等号成立. 即曲线1C 上的点到直线l
.
23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3
3(,][,)22
-∞-⋃+∞． 【解析】 试题分析：
(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；
(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数x 的取值范围为][33
,,22⎛⎫-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 试题解析：
(Ⅰ)证明:由柯西不等式得()(
)()
2
2
2
2
2
22111
3a b c a
b c ++≤++++=,
a b c ≤++≤,a b c ∴++的取值范围是⎡⎣.
(Ⅱ)由柯西不等式得()()()
2222222
1113a b c a b c ⎡⎤-+≤+-+++=⎣
⎦
.
若不等式()2
11x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立,
则113x x -++≥,其解集为][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
,
即实数x 的取值范围为][33
,,22⎛
⎫-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
.。