第1章 二维线性系统及其傅里叶分析2(1)

dx +
1
∫
∞ 0
e
⋅e
− j2 π f x
dx
1 1 j2π f − j 2π f + n n − 4 jπ f = = Gn( f ) 2 1 2 + ( 2π f ) n
+
根据广义积分的意义：可把
Gn ( f )
的极限（当
n → ∞时）定义为 Sgn(x) 的傅氏变换，即
1.7 傅里叶分析基础 恩格斯(Engels) 把傅里叶 傅里叶的数学成就 傅里叶 与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论. 他写道：傅里叶 傅里叶是一首数学的诗，黑 傅里叶 格尔是一首辩证法的诗.
1.7.1 二维傅里叶变换
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期τ,可以展为傅里叶级数:
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,பைடு நூலகம்y)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
F ( x) = ∫
+∞
−∞
f (α ) K (α , x)dα
变换核
傅里叶变换的核:
exp(-j2πfx)
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:
f ( x, y ) = ∫ ∫ F ( f x , f y ) exp[ j 2π ( f x x + f y y )df x df y
−∞
+∞
记作:
= ∫ G ( f )G * ( f )df
−∞
+∞
思考题:
sin 2 (π x) 利用Parseval定理求积分 : ∫ dx 2 − ∞ (π x )
+∞
5. 卷积定理 设 g(x,y)
F.T.
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
Parseval定理的证明
∫
+∞
−∞
g ( x) dx = ∫ g ( x) g * ( x)dx
2 −∞ +∞
+∞
+ ∞G ( f ) exp( j 2πfx )df ⋅ + ∞G * ( f ' ) exp(− j 2πf ' x)df ' dx = ∫ ∫ ∫−∞ −∞ −∞
故可用其来表示符号函数：
1 S g n ( x ) = li m g n ( x ) = n→ ∞ −1
x〉o x〈0
而序列函数 g n (x ) 的傅氏变换存在，为
F
[ g n ( x )] =
=
=
∞
−∞
∫
g n ( x) e − j 2 π
f x
dx
−x n
∫
−e −∞
1
0
x
n
⋅e
− j 2π f x
−∞
+∞
F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 x, y, fx , fy 均为实变量， F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jφ (fx,fy)
位相谱 振幅谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
1.7.2 广义傅里叶变换
一、定义
周期函数： 只有有限个极值点和间断点 可展成傅氏级。 只有有限个极值点和间断点， 周期函数：1.只有有限个极值点和间断点，可展成傅氏级。 2.绝对可积 绝对可积 才可展成傅氏级数。 非周期函数 → 延拓为周期函数 → 才可展成傅氏级数。
−∞
+∞
重要性质：
+∞
g ( x) = Cn = 1
n = −∞
∑C
+τ 2 − 2
n
exp( j 2π n ⋅ x)
1
τ
n级谐波频率:n/τ 相邻频率间隔: 1/τ
τ ∫τ
+∞
g ( x) exp(− j 2π n ⋅ x)dx
1
τ
1 1 1 +τ 2 g ( x) = ∑ ∫ τ g ( x) exp(− j 2π n ⋅ x) dx exp( j 2π n ⋅ x) − τ τ 2 n = −∞ τ
1 x
0
F.T.
1
f
0
{rect(x)} = sinc(fx)
1 x -1/2 1/2 1
F.T.
1 0
f
傅里叶变换和傅里叶逆变换
F ( f x , f y ) = ∫ ∫ f ( x, y ) exp[− j 2π ( f x x + f y y )]dxdy
−∞
+∞
f ( x, y ) = ∫ ∫ F ( f x , f y ) exp[ j 2π ( f x x + f y y )]df x df y
f(x,y)=
-1{F(f
x,fy)}. 显然
-1
{f(x,y)}= f(x,y)
综合可写:
f(x,y)
F.T. F.T.-1
F(fx,fy)
f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对 x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同 的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
f ( x, y ) = ∫ ∫ F ( f x , f y ) exp[ j 2π ( f x x + f y y )df x df y
+∞
+∞ g ( x) exp(− j 2π fx)dx exp( j 2π fx ) g ( x) = ∫ df ∫ −∞ −∞
展开系数,或频率 分量的权重 相当于分立情形的C 展开系数 或频率f分量的权重 G(f), 相当于分立情形的 n 或频率 分量的权重,
+∞
由于τ ∞ 分立的n级谐波频率 τ 分立的 级谐波频率 n/τ f, f: 连续的频率变量 : 写作df, 相邻频率间隔: τ 相邻频率间隔: 1/τ 0, 写作 求和 积分
1 rect(x)
1 −1
*
0
−1/2 0 1/2 x
x
tri(x)
1
F.T.
sinc2(x) 1 0 -1 1 x
F.T.
= sinc(f) • sinc(f) = sinc2(f)
sinc(f) 1
sinc(f) 1 f
0 -1 1
× × × ×
-1
f 0 1
提问： 提问：
{1} = δ (fx,fy)
展开系数Cn 频率为n/τ的分量
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数: 非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数
1 1 1 +τ 2 g ( x) = lim ∑ ∫ τ g ( x) exp(− j 2π n ⋅ x)dx exp( j 2π n ⋅ x) − τ →∞ τ τ 2 n = −∞ τ
卷积定理的证明
左 = ∫ exp(− j 2πfx)dx ⋅∫ g (τ )h( x − τ )dτ
−∞ −∞
+∞
+∞
交换积分顺序:
+∞ h( x − τ ) exp(− j 2πfx )dx dτ = ∫ g (τ ) ∫ −∞ −∞
+∞
= ∫ g (τ ) H ( f ) exp(− j 2πfτ )dτ
写成两部分对称的形式:
G ( f ) = ∫ g ( x) exp(− j 2π fx)dx
−∞
+∞
g ( x) = ∫ G ( f ) exp( j 2π fx)df
−∞
+∞
这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
定义及存在条件
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
交换积分顺序,先对x求积分:
=∫
=∫
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
∫
G ( f )G * ( f ' )dfdf ' ⋅ ∫ exp[ j 2π ( f − f ' ) x]dx
−∞
+∞
利用复指函数的F.T.
−∞ −∞
∫
G ( f )G * ( f ' )δ ( f − f ' )dfdf '
利用δ 函数的筛选性质
−∞
+∞
应用位移定理
= H ( f ) ∫ g (τ ) exp(− j 2πfτ )dτ
−∞
+∞
=右
应用F.T.定义
利用卷积定理的例子
{tri(x)} = {tri(x)} = = 2.{rect(x)*rect(x)} {rect(x)} • {rect(x)}
F.T.
sinc2(f
)
1 rect(x) −1/2 0 1/2 x
F ( f x , f y ) = ∫ ∫ f ( x, y ) exp[− j 2π ( f x x + f y y )dxdy
−∞
+∞
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy)
f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数 积分变换:
{g(x,y) exp[j2π(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= δ (fx,fy) {exp[j2π(fax+fby)]}= δ (fx- fa, fy- fb)
复指函数的F.T.是移位的δ 函数
4. 帕色伐 帕色伐(Parseval)定理 定理 设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
+∞
−∞
∫ ∫ g ( x, y )
2
dxdy = ∫ ∫ G ( f x , f y ) df x df y
−∞
+∞
2
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
F.T.
H(fx,fy),
{αg(x,y)+β h(x,y)}=α G(fx,fy) + β H(fx,fy)
F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理） 相似性定理） 相似性定理
1 fx fy {g ( ax , by )} = G , ab a b
3. 位移定理 Shifting 设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2π(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
但光学中不少有用的函数， 但光学中不少有用的函数，如：脉冲函数，阶跃函数，不 脉冲函数，阶跃函数， 能满足以上条件，因此必须把以上傅里叶变换定义推广， 能满足以上条件，因此必须把以上傅里叶变换定义推广，才 能求出其傅氏变换式。 能求出其傅氏变换式。
定义： 定义： 虽然函数 g ( x, y ) 不存在傅里叶变换，但是却存在一 个函数序列 g n ( x, y ) ，它存在傅里叶变换，对应的频 谱函数为函数序列Gn ( f x , f y )。而 g ( x, y ) 却是 g n ( x, y) 当 n → ∞ 的极限。则定义 Gn ( f x , f y ) 的极限为函数 g ( x, y ) 的广义傅里叶变换。
注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1),导致频域中坐标 (fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
g(x) g(ax) a=2
1 x −1/2 0 1/2
空域压缩
1 x −1/4 01/4
F.T.
G(f) -1 1
频域扩展
F.T.
1/2 0 1 f -2 0
1 fx G( ) a a
2 f
。
如：符号函数 Sgn ( x )
=1
因不能绝对可积，所以不存在普通的傅里叶变换。 但可表示为某一序列函数的极限，如指数函数
e−xn 即： g n ( x ) x −e n
x〉0 x〈0
n〉 0
1 e
x n n→∞
Q
e
−x
n
=
1 e
x n
lim →
求极限
1 = 0 =1 e
sinc(x)δ (x-1) = 0 sinc(x)*δ (x-1) = sinc(x-1) tri(x)δ (x + 0.5) = 0.5 δ (x + 0.5) tri(x) * δ (x + 0.5) = tri(x + 0.5)
1 2 1 0 1
0.5 -1 -0.5 0 1
x
x
1
x
-1.5 -0.5 0 0.5
F
1 + ( 2π f ) n − 4 jπ f −j 1 = = = 2 2 jπ f 4π f πf
[ Sgn( x )] = lim G
n →∞
n
( x ) = lim
−4 jπ f
2
n→∞
1.8 傅里叶变换的性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y) 1. 线性定理 Linearity