第三讲：排列及n级行列式
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a1 al a b1 bm b c1 cn m 次相邻对换
a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
例1（P57）
11 00 000 0
000 00
202 00
03000 034
00=(1)
(1234)
a11a22a33a44
1
23Fra bibliotek4=
24
0004
上三角形行列式
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
a11 a12 a13 a14
a a a a 0 a22 a23 a24
0 0 a33 a34
称为这个排列的逆序数，排列 j1 j 2 L j n
的逆序数通常记为 ( j1 j 2 L j n )
例如：计算下面排列的逆序数.
大小
(2 3 1) 2
(3 1 4 2) 3 (1 2 3 4 5) 0
练习： (45321) 9 (54321) 10
n 级排列 i1i2 L in 的逆序数的计算:
anjn .行下标取自然顺序
j1 j2L jn
列下标取自然顺序
行列下
标任意 排列
三阶行列式的项按行下标排列
(1) (231) a12a23a31 a12a23a31
乘积项按列下标排
(1)
a a a (312) 31 12 23
a12a23a31
乘积项任意排列
a a a (1) (231) (312) 23 31 12
1
a a a a (1234) 11 22 33 44
x3,
1
a a a a 1243 11 22 34 43
2 x 3
故 x3 的系数为 1.
23
(1) (l1l2L ln ) a a 1l1 2l2 L anln P59
重
要
(1) (12...n) (l1l2L ln ) a a 1l1 2l2 L anln
11 22 33 44
0 0 0 a44
下三角形行列式
a11 0 0 0
a a a a a21 a22 0 0
11 22 33 44
a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
特别
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
a22
例 6 2 6(3) 2(5) 8
5 3
cos sin cos2 (sin2 ) 1
sin cos
三阶行列式 n阶行列式
排列的逆序数
定义1(P52) 由n 个自然数1,2,3, …，n,构成的一个有 序数组称为这一个n 阶排列.
例如：1, 2, 3构成的三阶排列有： 123， 231, 132等等
(i1 i2 L
in-1 in ) 第1数 i1 后面比 i1 小的数的个数
第2个数 i2 后面比 i2 小的数的个数
第n-1个数 in1 后面比 in1 小的数的个数
定义3（P53）
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的
排列称为奇排列。
定义（P53）
把一个排列中的某两个数交换位置，其余数字 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换(动词)。
a11a22a33a44
对角形行列式
例1（P57）
1
2 3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
5 6
6! 720
x1 1 2
例2
f x 1
3
x 2
1 x
1 求 x3 的系数. 1
1 1 2x 1
解 含 x3 的项有两项,即 x1 1 2
不同列的n个元素的乘积 的代数和
a2n
( j1 j2L jn )
(1) a a L a . 1j1 2 j2
njn
M j1 j2L jn
ann
其中 j1 j2L jn 为自然数 1，2，L ，n 的一个排列，
为这个排列的逆序数．
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
a11
a12
a11a22 a12a21.
a21
a22
观察上述三阶行列式, 寻找 规律：
1. 三阶行列式是 3！ 项的代数和。
2. 每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积。
a a a 其任一项可写成： 1 j1
2 j2
3 j3其中 j1 j2 j3是123的一个排列
3.（每项的符号规律）
定理2 （P54）
若干L次L对换 j1 j 2 L j n
若干次对换
定理2 （P54） 若干L次L对换 j1 j 2 L j n
若干次对换
证明：对排列的级数n作归纳，证明该结论成立。
1级排列只有1 个，结论自然成立。 假设结论对n1 级排列成立，
j1 j 2 L j n1 若干次L对换
现证n级排列情形： 设 j1 j2L jn 是一n级排列，若 jn n ,由归纳,
则n1级排列 j1 j2 L jn1可经一系列对换变成排列
12L n 1 ，则此对换将 j1 j2L jn 变成 12L n 若 jn n ，先对 j1 j2 L jn 作 jn , n 的对换，它就 变成 j1' j2' L jn' 1n，则归结成前一情形，因此总成立.
(2) 自然排列12…n可经一系列的对换变到任意一个n元
排列： j1 j2 L jn 。
本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列).
(偶排列) 奇数次对换 j1 j 2 L j n (奇排列)
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线 法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
例如：1 2 3 4 5 1 3 2 4 5
定理1 (P53)
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
奇排列 一次对换 偶排列 一次对换 奇排列
证明 设对换为交换a,b元
1) 特殊情形：ab相邻
设排列为
a1 al ab b1 bm 对换a与b a1 al ba b1 bm
则a1 L al 与 b1 L bm， a与a1 L al，b1 L bm， b与a1 L al，b1 L bm，
逆序不变
除a ,b 外，其它元素所成逆序不改变.
因此对换相邻的两个元素，排列改变奇偶性.
2) 一般情形 ab不相邻,则交换a,b可通过以下步骤完成
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1n a2n L ann
如 a b a c
cd bd
6， 8， 预习第四节，第六节
a12a23a31
该项都是相等的！
●行列式的性质
表明行与列是 性质1（P60） 行列式转置后，其值不变， 对等的，行具
即
有的性质，列
也具有
a11 a12 L a1n
a21 M
a22 M
L a2n MM
a11 a21 L an1 a12 a22 L an 2 M MMM
记为D DT
an1 an 2 L ann
a1n a2n
的值等于所有取自不同行 不同列的n个元素的乘积
的代数和
ann
(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
anjn .
j1 j2L jn
结论：1、共有n！项；2、每项又n个元素； 3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中；
4、每项符号与逆序数的奇偶有关，偶排列取 正，奇排列取负。
性 质
(1) a a L a (i1i2 ...in ) ( j1 j2L jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
a11 a12 L a1n
行列式的三个等价定义 P62
a21
a22
L
a2n
M MO M
an1 an2 L ann
(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
定理1 (P53)
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
奇排列 一次对换 偶排列 一次对换 奇排列
作奇数次对换，改变排列奇偶性 作偶数次对换，不改变排列奇偶性
推论： n 时2 ，n 个数的所有排列中，奇偶 排列各占一半，各为 个n. !2
a a a 当 j1 j2 j3 是偶排列时，项
取正号
1 j1 2 j2 3 j3
a a a 当 j1 j2 j3 是奇排列时，项
取负号
1 j1 2 j2 3 j3
定义4 n阶行列式（P56）
n 级行列式
a11 a12 L a21 a22 L M MO an1 an2 L
的值等于所有取自不同行
a1n
二阶行列式的定义 主对角线 a11 副对角线 a21
一种运算表达式！
a12 a11a22 a12a21.
a22
它是二阶矩阵吗？
a11 a12
a21
a22
二阶矩阵和二阶行列式 是不同对象
二阶行列式的计算
主对角线 a11 副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
22
解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
对应于
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
1 a a a a 1 a a a a (1234) 11 22 33 44
1243
11 22 34 43
例如：1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 都是数1，2，3，4，5的一个5阶排列.
53214
注：n个数的不同n阶排列有n !个. 1,2,3, …，n,按照由小到大的顺序排成的 排列称为n阶标准排列或自然顺序排列.
定义2（P52）在一个排列中，若某个较大的数排在某 个较小的数前面，就称这个排列含有一 个逆序. 一个排列中出现的逆序的总数
a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
例1（P57）
11 00 000 0
000 00
202 00
03000 034
00=(1)
(1234)
a11a22a33a44
1
23Fra bibliotek4=
24
0004
上三角形行列式
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
a11 a12 a13 a14
a a a a 0 a22 a23 a24
0 0 a33 a34
称为这个排列的逆序数，排列 j1 j 2 L j n
的逆序数通常记为 ( j1 j 2 L j n )
例如：计算下面排列的逆序数.
大小
(2 3 1) 2
(3 1 4 2) 3 (1 2 3 4 5) 0
练习： (45321) 9 (54321) 10
n 级排列 i1i2 L in 的逆序数的计算:
anjn .行下标取自然顺序
j1 j2L jn
列下标取自然顺序
行列下
标任意 排列
三阶行列式的项按行下标排列
(1) (231) a12a23a31 a12a23a31
乘积项按列下标排
(1)
a a a (312) 31 12 23
a12a23a31
乘积项任意排列
a a a (1) (231) (312) 23 31 12
1
a a a a (1234) 11 22 33 44
x3,
1
a a a a 1243 11 22 34 43
2 x 3
故 x3 的系数为 1.
23
(1) (l1l2L ln ) a a 1l1 2l2 L anln P59
重
要
(1) (12...n) (l1l2L ln ) a a 1l1 2l2 L anln
11 22 33 44
0 0 0 a44
下三角形行列式
a11 0 0 0
a a a a a21 a22 0 0
11 22 33 44
a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
特别
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
a22
例 6 2 6(3) 2(5) 8
5 3
cos sin cos2 (sin2 ) 1
sin cos
三阶行列式 n阶行列式
排列的逆序数
定义1(P52) 由n 个自然数1,2,3, …，n,构成的一个有 序数组称为这一个n 阶排列.
例如：1, 2, 3构成的三阶排列有： 123， 231, 132等等
(i1 i2 L
in-1 in ) 第1数 i1 后面比 i1 小的数的个数
第2个数 i2 后面比 i2 小的数的个数
第n-1个数 in1 后面比 in1 小的数的个数
定义3（P53）
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的
排列称为奇排列。
定义（P53）
把一个排列中的某两个数交换位置，其余数字 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换(动词)。
a11a22a33a44
对角形行列式
例1（P57）
1
2 3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
5 6
6! 720
x1 1 2
例2
f x 1
3
x 2
1 x
1 求 x3 的系数. 1
1 1 2x 1
解 含 x3 的项有两项,即 x1 1 2
不同列的n个元素的乘积 的代数和
a2n
( j1 j2L jn )
(1) a a L a . 1j1 2 j2
njn
M j1 j2L jn
ann
其中 j1 j2L jn 为自然数 1，2，L ，n 的一个排列，
为这个排列的逆序数．
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
a11
a12
a11a22 a12a21.
a21
a22
观察上述三阶行列式, 寻找 规律：
1. 三阶行列式是 3！ 项的代数和。
2. 每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积。
a a a 其任一项可写成： 1 j1
2 j2
3 j3其中 j1 j2 j3是123的一个排列
3.（每项的符号规律）
定理2 （P54）
若干L次L对换 j1 j 2 L j n
若干次对换
定理2 （P54） 若干L次L对换 j1 j 2 L j n
若干次对换
证明：对排列的级数n作归纳，证明该结论成立。
1级排列只有1 个，结论自然成立。 假设结论对n1 级排列成立，
j1 j 2 L j n1 若干次L对换
现证n级排列情形： 设 j1 j2L jn 是一n级排列，若 jn n ,由归纳,
则n1级排列 j1 j2 L jn1可经一系列对换变成排列
12L n 1 ，则此对换将 j1 j2L jn 变成 12L n 若 jn n ，先对 j1 j2 L jn 作 jn , n 的对换，它就 变成 j1' j2' L jn' 1n，则归结成前一情形，因此总成立.
(2) 自然排列12…n可经一系列的对换变到任意一个n元
排列： j1 j2 L jn 。
本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列).
(偶排列) 奇数次对换 j1 j 2 L j n (奇排列)
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线 法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
例如：1 2 3 4 5 1 3 2 4 5
定理1 (P53)
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
奇排列 一次对换 偶排列 一次对换 奇排列
证明 设对换为交换a,b元
1) 特殊情形：ab相邻
设排列为
a1 al ab b1 bm 对换a与b a1 al ba b1 bm
则a1 L al 与 b1 L bm， a与a1 L al，b1 L bm， b与a1 L al，b1 L bm，
逆序不变
除a ,b 外，其它元素所成逆序不改变.
因此对换相邻的两个元素，排列改变奇偶性.
2) 一般情形 ab不相邻,则交换a,b可通过以下步骤完成
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1n a2n L ann
如 a b a c
cd bd
6， 8， 预习第四节，第六节
a12a23a31
该项都是相等的！
●行列式的性质
表明行与列是 性质1（P60） 行列式转置后，其值不变， 对等的，行具
即
有的性质，列
也具有
a11 a12 L a1n
a21 M
a22 M
L a2n MM
a11 a21 L an1 a12 a22 L an 2 M MMM
记为D DT
an1 an 2 L ann
a1n a2n
的值等于所有取自不同行 不同列的n个元素的乘积
的代数和
ann
(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
anjn .
j1 j2L jn
结论：1、共有n！项；2、每项又n个元素； 3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中；
4、每项符号与逆序数的奇偶有关，偶排列取 正，奇排列取负。
性 质
(1) a a L a (i1i2 ...in ) ( j1 j2L jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
a11 a12 L a1n
行列式的三个等价定义 P62
a21
a22
L
a2n
M MO M
an1 an2 L ann
(1) ( j1 j2L
a a L jn ) 1 j1 2 j2
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
定理1 (P53)
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
奇排列 一次对换 偶排列 一次对换 奇排列
作奇数次对换，改变排列奇偶性 作偶数次对换，不改变排列奇偶性
推论： n 时2 ，n 个数的所有排列中，奇偶 排列各占一半，各为 个n. !2
a a a 当 j1 j2 j3 是偶排列时，项
取正号
1 j1 2 j2 3 j3
a a a 当 j1 j2 j3 是奇排列时，项
取负号
1 j1 2 j2 3 j3
定义4 n阶行列式（P56）
n 级行列式
a11 a12 L a21 a22 L M MO an1 an2 L
的值等于所有取自不同行
a1n
二阶行列式的定义 主对角线 a11 副对角线 a21
一种运算表达式！
a12 a11a22 a12a21.
a22
它是二阶矩阵吗？
a11 a12
a21
a22
二阶矩阵和二阶行列式 是不同对象
二阶行列式的计算
主对角线 a11 副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
22
解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
对应于
f x 1 x 1 1
32 x 1 1 1 2x 1
1 a a a a 1 a a a a (1234) 11 22 33 44
1243
11 22 34 43
例如：1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 都是数1，2，3，4，5的一个5阶排列.
53214
注：n个数的不同n阶排列有n !个. 1,2,3, …，n,按照由小到大的顺序排成的 排列称为n阶标准排列或自然顺序排列.
定义2（P52）在一个排列中，若某个较大的数排在某 个较小的数前面，就称这个排列含有一 个逆序. 一个排列中出现的逆序的总数