湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

为假命题，求实数 的取值范围．
【答案】 (1)
； (2)
．
【解析】
试题分析：（ 1）利用双曲线标准方程的特点进行求解； （ 2）先利用真值表判定两个简单命题的真假，再利用数集间
的运算进行求解 .
试题解析：（ 1）若 为真命题时：
，∴
，∴
；
（ 2）若 为真命题时：
，∴ ，
为真命题，
为假命题，则
一真一假，即
，所以
，
当 时，由
,得
，
则
，
即
，
所以
又
，
故
就是首项为 ，公比为 3 的等比数列，
则
即
.
（ 2）将
代入
得
,
所以
=
.
【点睛】分组求和与并项求和法： 把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等
差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为
,构造
是本题的关键 ,学生在学习中要多积累这样的方法 .
二、填空题： ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
13.某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况， 用系统抽样法（按等距的规则） 抽取 40 名同学进行检查， 将学生
从 1～ 1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 _________
【分析】
运用基本不等式
即可得到答案。
【详解】因为
，所以
故答案为 D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
，（当且仅当
时取“ =”）。
①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件。
8.设 是双曲线
的两个焦点， 是双曲线上的一点，且
A.
B.
【答案】 C
【解析】
C.【分析】Βιβλιοθήκη 由复数 在复平面内对应的点为
，得到
，从而求出 即可。
【详解】由题意知，
，则
.
故答案为 B.
【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的几何意义，属于基础题。
2.某商品的销售量 y(件 )与销售价格 x(元 /件 )存在线性相关关系，根据一组样本数据 二乘法建立的回归方程为 ＝ －5x＋ 150，则下列结论正确的是 ( )
，且 0 < C < π，
解得
，
.
, 展开化简即可得到 的值，代入面积公式
，
，从而可以求出 即可得到答案。
（ 2）由（ 1）得
所以
，
由
，设
，
由余弦定理得：
，
所以
，
所以
的面积
.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积求法，考查了计算能力，属于 中档题。
19.已知数列 ， 是其前 项的和，且满足
D.
双曲线焦点
,
,又
,
，则
的面积等于 （ ）
,
,
, 由勾股定理
逆定理得
为直角三角形 ,面积为
9.直线
分别与 轴, 轴交于 两点 , 点 在圆
上. 则
面积的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
【分析】
先求出 ，然后求出圆心到直线
的距离为 ，进而可以得出 到直线
的距离，从而求出
面积的范围。
频数
6
10
13
11
8
2
不赞成户数
5
9
12
9
4
1
若将小区人均月收入不低于 7.5 千元的住户称为“高收入户” , 人均月收入低于 7.5 千元的住户称为“非高收入 户” , 有 列联表 :
非高收入户
高收入户
总计
不赞成
【答案】 18
【解析】
【分析】
由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为
x，则第 18 组抽取的号码为
，即可解
得.
【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为
x，则第 18 组抽取的号码为
，解得
.
【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题
.
14.已知点 P（ x， y）的坐标满足条件
对选项逐个分析， A 是负相关， B 中
，C 和 D 中销售量为 100 件左右。
【详解】 由回归方程 ＝ － 5x＋ 150 可知 y 与 x 具有负的线性相关关系， 故 A 错误； y 与 x 之间的线性相关系数
，
故 B 错误；当销售价格为 10 元时，销售量为
件左右，故 C 错误， D 正确。
然后通过求导可得到函数在闭区间
上的单调性，进而可求出函数在区间
上的最大值。
【详解】由函数
的图象关于点
对称，
则
，即
，
且
，即
，
的表达式，
解得
，，
所以
，则
，
令
，解得
或
，
故当
或
时，
，函数 为单调递增函数；
当
时，
，函数 为单调递减函数，
所以函数 在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故函数 在闭区间
上的最大值为
【详解】由题意得
，
，则
，设点 到直线
的距离为 ，则
的面积
为.
圆心为
，半径为 ，则圆心到直线
的距离为
，所以
，即
，
故
的面积的取值范围是
.
【点睛】本题考查了圆的性质，考查了三角形面积的求法，考查了点到直线
的距离公式，考查了数形结合的数学思想，属于中档题。 10.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到
【详解】当
时，函数值为 0，
对函数
求导得
，则函数在
处的切线斜率为 ，
故函数在
处的切线方程为
，
故答案为 D.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了函数的导数，考查了直线方程的求法，属于基础题。
5.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，点 A（ 5， 3）， F 为该抛物线的焦点，则 △PAF 周长的最小值为（
时，“勾股树”所有正方形的面积的和为
2，当 时，“勾股树”所有正方形的面积
的和为 3，以此类推，可得所以正方形面积的和为
；也可以通过排除法，当
时，“勾股树”所有正方形的
面积的和为 2，选项 A 、 B、 D 都不满足题意，从而选出答案。
故选 C.
【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题。
【点睛】本题考查了线性回归方程知识，考查了线性相关系数，属于基础题。
3.已知等差数列
的前 项和为 ，若
，
，则
（）
A. 16 B. 18 C. 22 D. 25
【答案】 B 【解析】 【分析】
由 是等差数列，可以得到
，从而求出 和 ，进而可以求出 的值。
【详解】设等差数列
的公差为 ，
由题意得，
，解得
，则点 P 到直线 4x+3y+1= 0 的距离的最大值是 ________。
【答案】 3 【解析】 【分析】 画出 P（ x， y）满足的可行域，作 4x+3y+1= 0 的平行线可求出满足题意的 P 点，进而求出答案 。
【详解】画出 P（x， y） 满足的可行域（见下图） ，由
解得点
,过 点作 4x+3y+1= 0 的平行线 ，可知
湖南省醴陵市第一中学 2018-2019 学年高二上学期期末考试
数学（文）试题
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求 . ）
1.设 为虚数单位，若复数
在复平面内对应的点为
，则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
（ 1）求证：数列
为等比数列；
（ 2）记
，求 的表达式。
【答案】（ 1）见解析； （ 2）
.
【解析】
【分析】
（ 1 ） 时，由
,得
，然后利用
，可得到
，进而得到
从而可以证明数列
为等比数列； （ 2）由（ 1）可以得到 的通项公式， 代入
可
得到 的表达式，进而利用分组求和即可求出
的表达式。
【详解】（ 1） 时，
.
【点睛】本题考查了函数图象的对称性，考查了函数的单调性与最值，考查了学生分析问题与解决问题的能力，考 查了计算能力，属于难题。
三．解答题： ( 本大题共 6 小题，共 70 分) ．
17.已知
，命题
，命题 已知方程
表示双曲线．
（ 1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（ 2）若命题
为真命题，命题
， ，则
.
故答案为 B.
【点睛】 本题考查了等差数列求和公式的运用， 及等差数列通项公式的运用， 考查了学生的计算能力， 属于基础题。
4.曲线 A.
在 处的切线方程是（
）
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
先求出
时的函数值，然后对函数求导可以求出
时的导数值，从而得到函数在
处的切线斜率，即可得到
切线方程。
的数列求和。
20.房产税改革向前推进之路， 虽历经坎坷 , 但步伐从未停歇， 作为未来的新增税种 , 十二届全国人大常委会已将房产 税立法正式列入五年立法规划。某市税务机关为了进一步了解民众对政府择机出台房产税的认同情况，随机抽取了 一小区住户进行调查 , 各户人均月收入 ( 单位：千元 ) 的频数分布及赞成出台房产税的户数如下表： 人均月收入
）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】 C
【解析】
【分析】
，结合图象 △PAF 周长
，当
三点共线时， △ PAF 周长最小，求出即可。
【详解】由题意，画出图象（见下图） ，
，
，过 点作准线 的垂线 交直线 于 ，设 到
准线的距离为 ，则 值， △ PAF 周长最小为 故答案为 C.
时， 6
，则 ， ，此时该小组的人数最小为 12.
【点睛】本题考查了推理的知识，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题。
16.已知函数 ____________.
的图象关于点
对称，则 在闭区间
上的最大值为
【答案】
【解析】
【分析】
由函数 的图象关于点
对称， 可以得到
和
，即可求出 ， 的值， 进而得到函数
【详解】由 p 命题
解得
，由 q 命题
，解得
或
，故 p 是 q 的充分不必要条件。
故选 A.
【点睛】本题考查了不等式的解法，考查了充分性与必要性的知识，考查了学生的计算能力，属于基础题。
7.已知点（ x， y）在直线 x+2 y=4 上移动，则
的最小值是（
）
A.
B.
C. 6 D. 8
【答案】 D
【解析】
. 图二是第 1 代“勾股
树”，重复图二的作法， 得到图三为第 2 代“勾股树”， 以此类推， 已知最大的正方形面积为 1，则第 代“勾股树”
所有正方形的面积的和为（
）
A. B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
【分析】
由图二，可以求出当
时，所有正方形的面积，结合选项即可排除
A 、 B 、D 选项。
【详解】由题意知，当
(xi ， yi)(i ＝ 1,2， … ， n) ，用最小
A. y 与 x 具有正的线性相关关系
B. 若 r 表示 y 与 x 之间的线性相关系数，则 r＝－ 5
C. 当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件
D. 当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件左右
【答案】 D
【解析】
【分析】
，则 △PAF 周长 .
，当
三点共线时，
取得最小
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了抛物线焦半径的运用，属于中
档题。
6.已知条件 ：
，条件 ：
，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 【分析】 分别解出两个命题所对应的不等式，结合它们的包含关系，即可选出答案。
或
，
解得
或
， ∴ 的范围为
．
18.在
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
（ 1）求 ；
（ 2）若
，
，求
的面积 .
【答案】（ 1） ； （ 2） 1.
【解析】 【分析】 （ 1）由正弦定理可得
，而
；（ 2）先求出
的值，然后通过余弦定理即可求出
【详解】（ 1）因为
，所以
故
，
所以
，
因为
，所以
，
又
11.在
中，
， 边上的高等于
,则
（
）
A.
B.
【答案】 A 【解析】 【分析】
画出图形，可知
C.
D.
，设
，分别求出
和
，利用两角和的正弦公式即可求解。
【详解】由题意画出图形，
是等腰直角三角形， 为 边上的高，
且
，设
，
则
，
，则
，
设
，则
，
，则
.
故答案为 A.
【点睛】本题考查了解三角形知识，构造直角三角形是解决本题的一个方法，
__________．
【答案】 12
【解析】
【分析】
设男学生人生为 ，女学生人数为 ，教师人数为 ，且
，可以得到
，由 与 之间至少有 2 个
正整数，从而讨论出 的最小值，进而可以判断出该小组人数的最小值。
【详解】 设男学生人生为 ，女学生人数为 ，教师人数为 ，且
，则
，当 时，
不成立；当
时，
不成立；当
点到直线 4x+3y+1= 0 的距离最大为
.
故答案为 3.
【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了平行线的性质，
考查了点到直线的距离公式，属于中档题。
15.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学
生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为
也可以通过正、余弦定理解决本题。
12.函数 的导函数为 ，对任意的
，都有
A.
B.
C.
D.
与 大小关系不确定
【答案】 B
【解析】
【分析】
通过构造函数
, 由导函数
,即可得到答案 .
【详解】构造函数
，则
成立，则（ ）
, 结合
,可知函数
是 上的增函数，得到
，故函数
是 上的增函数，所以
，即
，则