高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 指点迷津(五)

6
3
2
2
π
2π
π
π
[2φ-6 ,2φ+ 3 ]⊆[2kπ-2 ,2kπ+2 ](k∈Z).
要使 φ 最小,则 k 取 0,
故有
结合
π
2- 6
2 +
≥
2π
3
π
,
2
≤
3π 或
2
π
2- 6
2 +
π
5π
φ>0,解得3 ≤φ≤12 ,
综上,φ
π
的最小值为 .故选
3
C.
≥
2π
3
π
-2
,
π
2
≤ ,
π
π
2π
例 6.已知函数 f(x)=2sin(ωx+6)-1(ω>0)的图象向右平移 3 个单位长度后与原
图象重合,则 ω 的最小值是(
A.3
3
B.2
)
4
C.3
2
D.3
答案 A
π
2π
解析 函数 f(x)=2sin(ωx+6)-1(ω>0)的图象向右平移 3 个单位长度后得到的
2π π
π 2π
函数图象的解析式为 y=2sin[ω(x- 3 )+6]-1=2sin(ωx+6 − 3 )-1,由于平移后
故 ω 的最大值为 9,故选 B.
对点训练 3 已知函数
的一条对称轴,且
π
f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<2 ),直线
π 1
f(4 )=2,若
π π
f(x)在区间(-4 ,-8 )内单调,则
4
A.3
8
B.3
16
C.
3
8
4
D. 或
3
3
π
x=2 为函数
ω 的取值是(
f(x)图象
)
答案 D
f(x)的极小值点,所以
π
π π
ω·
− 4=-2+2kπ,k∈Z,解得
8
因为 ω>0,所以当 k=1 时 ωmin=14.
ω=-2+16k,k∈Z,
四、根据函数的零点求ω
研究函数的零点个数等问题时,往往都是采取整体换元的思想,即通过
ωx+φ的取值情况确定函数零点的情况,因此可根据函数零点情况来确定ω
2π
所得图象与原图象重合,可得- 3 =2kπ(k∈Z),解得 ω=-3k(ω>0,k∈Z),所以 ω
的最小值为 3.故选 A.
对点训练 6 将函数 y=sin
π
6
π
(ω>0)的图象分别向左、向右各平移 个单
6
位长度后,所得的两个函数图象的对称轴重合,则 ω 的最小值
为
.
答案 3
解析将函数 y=sin
4 10
C.( , ]
3 3
4 10
D.[ , )
3 3
2 个零点,则 ω 的取值π
f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数
6
π
y=sin(2x- ),再将所
6
1
得图象上所有点的横坐标变为原来的 (ω>0),纵坐标不变,得

π
g(x)=sin(2ωx- ),当
6
π
π
π
点,
5π
π
所以 <πω+
2
3
≤
7π
13
19
,解得 <ω≤ .
2
6
6
13
8
综上可得 <ω≤ .故选
6
3
C.
π
3
,π +
π
3
内有三个零
五、根据函数的图象求ω
三角函数的图象变换,不论是平移变换还是伸缩变换都与ω有关,因此可根
据函数图象变换后的特征以及满足的条件来确定原函数解析式中ω的值
或取值范围.
π
,
6 3
)
B.
5 19
,
3 6
D.
13 19
,
6 6
π
3
在区间(0,π)内恰有三个极值点、两个零
答案 C
解析设
π
ωx+ =t,由
3
x∈(0,π),得 t∈
π
,π
3
+
π
3
.因为有两个零点,可得
π
5
8
2π<πω+ 3 ≤3π,即3<ω≤3.
又因为有三个极值点,(sin t)'=cos t,即 y=cos t 在区间
6
所以 ω=3k,k∈Z.
因为 ω>0,所以当 k=1 时,ω 取得最小值为 3.
−
π
)的图
6
本 课 结 束
的值或取值范围.
π
π
例 5.(2023 甘肃武威一模)将函数 f(x)=sin(2x+6 )的图象向右平移6 个单位长度,
1
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 (ω>0),纵坐标不变,得到函数
g(x)的图象,若
π
g(x)在[0, ]上恰有
4
7 13
A.(3 , 3 ]
7 13
B.[3 , 3 )
8 4
8
所以
π
π
f(x)图象的一条对称轴,所以 2 +φ=2 +kπ(k∈Z).
≤
π
,可得

4
8
ω=3 或 3,故选
D.
0<ω≤8,
三、根据函数的最值(极值)求ω
2 π
例 4.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),f(0)= ,f( )=0,f(x) 的图象在区间
2 4
π
即
π 5π
f(x)在区间(18 , 36 )内不单调,不满足题意;
当 ω=9
9π
时,- 4 +φ=kπ(k∈Z),
π
因为|φ|≤ ,
2
所以
当
π
φ=4 ,此时
π
f(x)=sin(9x+4 ).
π 5π
π
3π 3π
x∈(18 , 36 )时,(9x+4 )∈( 4 , 2 ),
此时
π 5π
f(x)在区间(18 , 36 )内单调递减,符合题意.
T=
≥
π
,解得
6
ω≤12.
π
因为|φ|≤2 ,
所以
当
π
φ=- ,此时
4
π
f(x)=sin(11x- ).
4
π 5π
π
13π 46π
x∈(18 , 36 )时,(11x-4 )∈( 36 , 36 ),
所以当
π 3π
x∈(18 , 44 )时,f(x)单调递增;
当
3π 5π
x∈(44 , 36 )时,f(x)单调递减,
答案 A
解析 由题意知函数的周期为
π
2× =π,所以
2
2π
T= =π,可得
2
ω=1,故选 A.
二、根据函数的单调性求ω
函数y=Asin(ωx+φ)的单调性一方面与ω的正负及ω的值有关,另一方面,单
调区间的长度也与周期有关,而周期的大小由ω决定,因此函数的单调性、
单调区间与ω的值密切相关,根据函数在相应区间上的单调性可以确定ω
对点训练 2 已知 ω>0,函数 f(x)=cos(ωx-6)在区间(2,π)上单调递减,则 ω 的取
值范围是(
1 5
A.[ , ]
2 4
)
1 7
B.[ , ]
3 6
1
C.(0, ]
6
1 13
D.[ , ]
6 6
答案 B
解析 令
π
2π+6
π
2kπ≤ωx-6≤2kπ+π(k∈Z),得

π
在区间
π
,π
π
2x=2sin(2x+3 ),
∴函数 f(x)的图象向左平移 φ 个单位长度后得到
π
π
g(x)=2sin[2(x+φ)+ ]=2sin(2x+2φ+ ),
3
3
π
π
π
π
2π
当-4 ≤x≤6 时,2φ-6 ≤2x+2φ+3 ≤2φ+ 3 ,又
π π
g(x)在[-4 , 6 ]上单调,
π
2π
π
3π
由正弦函数的单调性可知,[2φ- ,2φ+ ]⊆[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z),或
0≤x≤ 时,- ≤2ωx4
6
6
π
∵g(x)在[0,4 ]上恰有
π
∴π≤
2
即ω
−
2 个零点,
π
7
13
<2π,解得 ≤ω< .
6
3
3
7 13
的取值范围为[3 , 3 ).故选
B.
≤
π
2
−
π
.
6
对点训练 5 设函数 f(x)=sin +
点,则 ω 的取值范围是(
A.
5 13
,
3 6
C.
13 8
第五章
指点迷津(五)
三角函数解析式中“ω”的求法
在三角函数的图象与性质中,求ω的值或取值范围是高考命题中的一个热
点,与其有关的问题灵活多样,涉及的知识点多,历来是学习的难点,以下举
例说明在不同条件下ω的求法.
一、根据函数的周期性求ω
在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期与ω的值密切相关,所以根据函数的周期,可以
2
2π+6
内单调递减,所以

7π
2π+ 6

1
7
4k+3≤ω≤2k+6(k∈Z).又因为函数
即 ω≤2.又 ω>0,所以当
≤
7π
2π+ 6
≤x≤
π
,
2

(k∈Z).因为函数 f(x)
其中 k∈Z,解得
≥ π,
f(x)在区间
1
7
k=0 时,3≤ω≤6,故选
π
,
π
2
B.
内单调递减,所以 T≥π,
例 3.已知函数
π
π
f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),|φ|≤2 ,x=-4 为
y=f(x)图象的一条对称轴,且
A.11
B.9
C.7
D.1
f(x)的零点,直线
π 5π
f(x)在区间( , )内单调,则
18 36
π
x=4 为
ω 的最大值为(
)
答案 B
解析 因为
π
x=- 为
4
2+1
π
·T= (T 为
4
2
f(x)的零点,直线
2
2
8
π
f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小
2
f(x)的极小值点,则 ω 的最小值为
.
答案 14
解析因为 f(x)的最小正周期
π
φ=- ,即
4
又
2π
π
T= ,f(2)=sin(ω·
+φ)=-sin

φ=
2
π
,又|φ|<2,所以
2
π
f(x)=sin(ωx- );
4
π
x=8为
解析因为
因为
则
π
x=2 是函数
π
π
1
π
π
π
5π
f( )=sin( +φ)= ,所以 +φ= +2nπ(n∈Z)或 +φ= +2nπ(n∈Z),
4
4
2
4
6
4
6
4
ω=3+(4k-8n)或
因为函数
4
ω=-3+(4k-8n)(k∈Z,n∈Z).
π π
f(x)在区间(-4 ,-8 )内单调,
π π π
所以- -(- )=
的值或取值范围.
例 2.(2023 山西晋中统考二模)已知函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x 的图象向左平
π π
移 φ(φ>0)个单位长度后对应的函数为 g(x),若 g(x)在[- 4 , 6 ]上单调,则 φ 的最小
值为(
π
A.12
答案C
)
π
B. 6
π
C. 3
5π
D. 12
解析∵函数 f(x)=sin 2x+ 3cos
π
- 6
π
(ω>0)的图象分别向左、向右各平移 6 个单位长度后,
π π
π
得到 y1=sin[ω(x+ )- ]=sin(ωx+
6 6
6
−
π
π π
π
),y2=sin[ω(x- )- ]=2sin(ωx6
6 6
6
象.
因为两个函数图象的对称轴重合,
π
所以( 6
−
π
π
)-(- 6
6
−
π π
)= 3 =kπ,k∈Z,
π
x= 为
4
2+1
f(x)的最小正周期),即
4
y=f(x)图象的一条对称轴,所以
2π
·

=
π
(n∈N),
2
所以 ω=2n+1(n∈N),即 ω 为正奇数.
因为
当
π 5π
5π
f(x)在区间(18 , 36 )内单调,所以36
11π
ω=11 时,- +φ=kπ(k∈Z),
4
−
π
18
=
π
12
≤

,即
2
2π
2π
由公式T=
来确定ω的值或取值范围.
||
例 1.如图,A,B 是函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0)图象上的两个最高点,点 C 是
f(x)图象上的一个对称中心,若△ABC 为直角三角形,则 ω=(
π
A.
3
π
B.
4
π
C.
2
π
D.
6
)
答案 C
解析 设函数f(x)的最小正周期为T,
由题图可得|AC|= 3 +
(0,4)内有相邻两个最值点,且最小值点距离 y 轴近,则 ω 的最小正整数值为
(
A.5
)
B.7
C.9
D.10
答案 C
解析 因为 f(0)=sin
2
φ= 2 ,结合已知得
又因为 0<φ<π,所以
3π
φ= 4 +2kπ(k∈Z).
3π
φ= ,