【全程复习方略】(陕西专用)2013版高考数学 阶段滚动检测(一) 理 北师大版

【全程复习方略】（某某专用）2013版高考数学 阶段滚动检测(一) 理 北师大
版（第一、二章）
（120分钟 150分）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2012·某某模拟)已知R 为实数集，M ＝{x|x 2
－2x<0}，N ＝{x|x ＋1x －1≥0}，则M∩(
R
N)＝( )
(A){x|0<x<1} (B){x|1≤x<2} (C){x|0<x≤1} (D){x|1<x<2}
2.设集合A ＝{x|－2<－a<x<a ，a>0}，命题p ：1∈A，命题q ：2∈A.若p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则a 的取值X 围是( )
(A)0<a<1或a>2 (B)0<a<1或a≥2 (C)1<a<2 (D)1≤a≤2
3.(2012•某某模拟)已知a ，b∈R，则“a＝b”是“a ＋b
2＝ab ”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4.(2012•某某模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈(-3
2
,0)时，f(x)=log 2(-3x+1),则f(2 011)=( ) (A)-2(B)2(C)4(D)log 27
5.(2012•某某模拟)函数y ＝lnx(x>0)的图像与直线y ＝
1
2
x ＋a 相切，则a 等于 ( )
(A)2ln2 (B)ln2＋1 (C)ln2 (D)ln2－1
6.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝2log (4x)x 0
f (x 1)f (x 2)x 0≤⎧⎨>⎩
－，，－－－，
则f(3)的值为( ) (A)－1(B)－2(C)1(D)2
7.如图是函数f(x)＝x 2
＋ax ＋b 的部分图像，则函数g(x)＝lnx ＋f′(x)的零点所在的区间是( )
(A)(14，12) (B)(1
2
，1)(C)(1,2) (D)(2,3)
8.(2012•某某模拟)设f(x)是定义在R 上的偶函数，当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，且f(1)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( ) (A)(－1,0)∪(1，＋∞) (B)(－1,0)∪(0,1) (C)(－∞，－1)∪(1，＋∞) (D)(－∞，－1)∪(0,1)[
9. (2012·长安模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图像恰好通过n(n∈N *)个整点，则称函数f(x)为n 阶整点函数.有下列函数①f(x)＝x ＋1x (x>0)；②g(x)＝x 3
；
③h(x)＝(13)x
；④φ(x)＝lnx.
其中是一阶整点函数的是( )
(A)①②③④ (B)①③④(C)④ (D)①④
10.不等式e x
－x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值X 围是( ) (A)(－∞，e －1)(B)(e －1，＋∞) (C)(－∞，e ＋1)(D)(e ＋1，＋∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11.函数y ＝
ln(x ＋1)－x 2
－3x ＋4
的定义域为.
12. (2012·某某模拟)设a∈R，若函数y ＝e x
＋ax ，x∈R 有大于零的极值点，则a 的取值X 围为. 13.(2012·某某模拟)设集合A ＝{x|x 2
－[x]＝2}和B ＝{x||x|<2}，其中符号[x]表示不大于x 的最大整数，则A∩B＝.
14.已知函数f(x)＝lnx ＋2x ，g(x)＝a(x 2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a 的取值X 围是______.
15.下列几个命题：
①方程x 2
＋(a －3)x ＋a ＝0有一个正实根，一个负实根，则a ＜0； ②函数y ＝x 2
－1＋1－x 2
是偶函数，但不是奇函数；
③函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x ＋1)的值域为[－3,1]；
④设函数y ＝f(x)的定义域为R ，则函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图像关于y 轴对称； ⑤一条曲线y ＝|3－x 2
|和直线y ＝a(a∈R)的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. 其中正确的有.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知命题p ：函数y ＝log 2(x 2
－2ax ＋3a －2)的定义域为R ；命题q ：方程ax 2
＋2x ＋1＝0有两个不相等的负数根，若p∨q 是假命题，某某数a 的取值X 围.
17.(12分)如图,设点P 从原点沿曲线y=x 2
向点A(2,4)移动,记直线OP 、曲线y=x 2
及直线x=2所围成的面积分别为S 1,S 2,若S 1=S 2,求点P 的坐标.
18.(12分) (2012·某某模拟)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)的最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称； (1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，某某数λ的取值X 围. 19.(12分)(2012·某某模拟)已知函数f(x)＝－x 3
－ax 2
＋b 2
x ＋1(a ，b∈R). (1)若a ＝1，b ＝1，求f(x)的极值和单调区间；
(2)已知x 1，x 2为f(x)的极值点，且|f(x 1)－f(x 2)|＝2
9|x 1－x 2|，若当x∈[－1,1]时，函数y ＝f(x)的图像
上任意一点的切线斜率恒小于m ，求m 的取值X 围.
20.(13分)(2012·某某模拟)某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数，2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为x 元(35≤x≤41)，根据市场调
查，日销售量与e x
(e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件. (1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出其最大值.
21.(14分)已知函数f(x)=x 2
+bsinx-2(b ∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x ，恒有F(x)-F(-x)=0. (1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx 在区间(0,1)上单调递减，某某数a 的取值X 围； (3)函数h(x)=ln(1+x 2
)-1
2
f(x)-k 有几个零点？
答案解析
1.【解析】选C.∵M ＝{x|0<x<2}，N ＝{x|x>1或x ≤－1}， ∴
R
N ＝{x|－1<x ≤1}，
∴M ∩(R
N)＝{x|0<x ≤1}.
2.【解析】选C.p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则命题p ，q 一真一假.命题p 为真时，a>1，又－2<－a ，则a<2，
∴1<a<2.由a<2知命题q 为假，故选C.
3.【解析】选B.取a ＝b ＝－1，可知a ＋b
2≠ab.
又由a ＋b 2
＝ab ，可知a ＝b.
所以“a ＝b ”是“a ＋b
2
＝ab ”的必要不充分条件.
4.【解析】选A.f(2 011)=f(670×3+1)=f(1)=-f(-1)=-log 24=-2.
5.【解析】选D.∵y ′＝1
x ，
由y ′＝1x ＝1
2得x ＝2.
∴切点为(2，ln2). 又切点在直线y ＝1
2x ＋a 上，
∴a ＝ln2－1.
6.【解题指南】根据自变量的值，选择相应区间上的函数解析式代入求解. 【解析】选B.依题意得f(3)＝f(2)－f(1) ＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0) ＝－log 2(4－0)＝－2，故选B.
7.【解析】选B.由题图，知f(1)＝a ＋b ＋1＝0， f(0)＝b,0<b<1.
∴f ′(x)＝2x ＋a ，a ＝－b －1， ∴－2<a<－1. g(x)＝lnx ＋2x ＋a ，
g(14)＝－ln4＋12＋a<0，g(1
2
)＝－ln2＋1＋a<0， g(1)＝2＋a>0，g(2)＝ln2＋4＋a ＞0，g(3)＝ln3＋6＋a ＞0. 故选B.
8.【解题指南】构造函数，利用函数的奇偶性、单调性解题. 【解析】选A.令y ＝xf(x)，则y ′＝f(x)＋xf ′(x)， 由题意，y ＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数. ∵f(x)是定义在R 上的偶函数，
∴y ＝xf(x)是奇函数，且在(－∞，0)上也是增函数， (－1)f(－1)＝－f(1)＝0.
∴函数y ＝xf(x)的大致图像如图所示.
∴xf(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞).
9.【解析】选D.对于①，函数f(x)＝x ＋1x (x>0)的图像只过整点(1,2)；对于②，函数g(x)＝x 3
的图像过
无穷多个整点(只要x 是整数即可)；对于③，函数h(x)＝(13)x
的图像也过无穷多个整点(只要x 是0或负
整数)；对于④，∵e 是无理数，∴函数φ(x)＝lnx 只过整点(1,0)，故选D.
10.【解题指南】转化为恒成立问题，利用导数求解.
【解析】选A.因为e x
－x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，所以对任意x ∈[0,2]，e x
－x>ax 恒成立，当x ＝0
时，不等式恒成立，当0<x ≤2时，a<x
e x －1也应恒成立.
令g(x)＝x e x －1，则g ′(x)＝x
2
(x 1)e x －，
当1<x ≤2时，g ′(x)>0，当0<x<1时，g ′(x)<0. 所以当x ＝1时，g(x)取得最小值e －1， 所以a 的取值X 围是(－∞，e －1)，故选A.
11.【解析】由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1＞0
－x 2
－3x ＋4＞0，
解得－1＜x ＜1. 答案：(－1,1)
12.【解析】∵y ′＝e x
＋a ， 由y ′＝e x
＋a ＝0得e x ＝－a ， 由题意，得x ＝ln(－a)>0， ∴－a>e 0＝1，即a<－1. 答案：a<－1
13.【解析】∵|x|<2，[x]的值可取－1,0,1. 当[x]＝－1，则x 2
＝1，∴x ＝－1； 当[x]＝0，则x 2
＝2无解； 当[x]＝1，则x 2＝3，∴x ＝ 3. 所以x ＝－1或 3. 答案：{－1，3}[
14.【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x)＝1x ＋2－2ax －a ＝(2x 1)(ax 1)
x
－＋－，x ∈(0，＋∞).
当a ≤0时，F ′(x)>0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立， 当a>0时，令F ′(x)＝0，得x ＝
1a 或x ＝－1
2
(舍去).
当0<x<
1a 时，F ′(x)>0，当x>1a 时，F ′(x)<0，故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F(1a )，由题意F(1a
)≤0恒成立，即ln 1a ＋1a －1≤0，令φ(a)＝ln 1a ＋1
a
－1，则φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故
ln 1a ＋1
a
－1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案：[1，＋∞)
15.【解析】①考查一元二次方程的根与系数的关系，若方程有一个正实根和一个负实根，则两根之积a ＜0且Δ＝(a －3)2
－4a ＞0，即a ＜0；②考查求函数定义域以及函数化简的问题，因为y ＝x 2
－1＋1－x 2
有意义，须x 2
－1≥0,1－x 2
≥0得x ＝±1，此时y ＝0，此函数表示点(1,0)和点(－1,0)，故y ＝x 2
－1＋1－x 2
既是奇函数又是偶函数；
③考查函数图像的平移与函数值域的关系，左右平移不改变值域；
④考查函数y ＝f(a －x)与y ＝f(x －a)的图像的对称性，用特例y ＝3x ，f(x －1)＝3(x －1)，f(1－x)＝3(1－x)关于x ＝1对称；⑤考查函数y ＝|3－x 2
|的图像与y ＝a(a ∈R)的交点的个数的研究方法以及函数与方程、分类讨论、数形结合思想，画图观察可知m 的值不可能是1. 答案：①⑤
16.【解析】由题意得p 和q 均是假命题，
由p ：x 2
－2ax ＋3a －2＞0恒成立，Δ＝4a 2－4(3a －2)＜0得 1＜a ＜2，
⌝p 真：a ≥2或a ≤1，
由q ：当a ＝0时，不满足，
当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＞0
－2a
＜01a ＞0
，得0＜a ＜1，
q 真：a ≥1或a ≤0，
综上，由p 假和q 假得a ≤0或a ＝1或a ≥2.
17.【解析】设直线OP 的方程为y=kx,P 点的坐标为(x,y), 则∫x
0(kx-x 2
)dx=∫2
x (x 2
-kx)dx,
即(
12kx 2-13x 3)|x 0=(13x 3-12kx 2)|2
x ， 解得12kx 2-13x 3=83-2k-(13x 3-12kx 2
),
解得k=43,即直线OP 的方程为y=4
3
x,
所以点P 的坐标为(416
,39
).
18.【解析】(1)依题意设f(x)＝ax(x ＋2)＝ax 2
＋2ax(a>0)，f(x)图像的对称轴是x ＝－1， ∴f(－1)＝－1，即a －2a ＝－1得a ＝1. ∴f(x)＝x 2
＋2x ，
由函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称. ∴g(x)＝－f(－x)＝－x 2
＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x 2
＋2x －λ(－x 2
＋2x)＝(λ＋1)x 2
＋2(1－λ)x. ①当λ＝－1时，h(x)＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数. ②当λ<－1时，h(x)图像的对称轴是x ＝λ－1
λ＋1，
则
λ－1
λ＋1
≥1，又λ<－1，解得λ<－1. ③当λ>－1时，同理则需λ－1
λ＋1≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上满足条件的实数λ的取值X 围是(－∞，0]. 19.【解析】(1) 因为f(x)＝－x 3
－x 2
＋x ＋1， 所以f ′(x)＝－3x 2
－2x ＋1＝－(3x －1)(x ＋1)
由上表可知，函数f(x)的单调增区间是(－1，13)，单调减区间是(－∞，－1)和(1
3，＋∞).
当x ＝－1时有极小值f(－1)＝0，当x ＝13时有极大值f(13)＝32
27.
(2)∵f(x)＝－x 3
－ax 2
＋b 2
x ＋1， ∴f ′(x)＝－3x 2
－2ax ＋b 2
， 又x 1，x 2为f(x)的极值点.
∴x 1，x 2为方程－3x 2
－2ax ＋b 2
＝0的两根，即 x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－b
2
3.
∵|f(x 1)－f(x 2)|＝2
9
|x 1－x 2|，
∴|－x 13
－ax 12
＋b 2
x 1＋1＋x 23
＋ax 22
－b 2
x 2－1| ＝2
9
|x 1－x 2|， 整理得：|x 12＋x 1x 2＋x 22＋a(x 1＋x 2)－b 2
|＝29.
即|4a 2
9＋b 2
3－2a 2
3－b 2
|＝29，
∴a 2
＋3b 2
＝1，∴a 2
≤1.
函数y ＝f(x)的图像上任意一点的切线斜率 k ＝f ′(x)＝－3x 2
－2ax ＋b 2
＝－3x 2
－2ax ＋1－a 2
3
，
f ′(x)max ＝f ′(－a 3)＝13，∴m>1
3
.
20.【解析】(1)设日销售量为k e x ，则k e 40＝10，∴k ＝10e 40
，则日销售量为10e 40
e x 件.
则日利润L(x)＝(x －30－a)10e 40
e x ＝10e 40
·x －30－a e x
. (2)L ′(x)＝10e
40
31＋a －x e
x
①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35，当35≤x ≤41时， L ′(x)≤0，
∴当x ＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e 5
.
②当4＜a ≤5时，35＜a ＋31≤36，令L ′(x)＝0，得x ＝a ＋31， 易知当x ＝a ＋31时，L(x)取最大值为10e
9－a .
综合所述L(x)max ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
10(5－a)e 5
，(2≤a ≤4)
10e 9－a
，(4＜a ≤5).
21.【解析】(1)F(x)=f(x)+2=x 2
+bsinx-2+2=x 2
+bsinx ， 依题意，对任意实数x ，恒有F(x)-F(-x)=0. 即x 2
+bsinx-(-x)2
-bsin(-x)=0, 即2bsinx=0,所以b=0， 所以f(x)=x 2
-2.
(2)∵g(x)=x 2-2+2(x+1)+alnx, ∴g(x)=x 2
+2x+alnx, g ′(x)=2x+2+
a x
. ∵函数g(x)在(0，1)上单调递减，
∴在区间(0，1)上，g ′(x)=2a 2x 2x a
2x 2x x
++++=≤0恒成立，
∴a ≤-(2x 2
+2x)在(0，1)上恒成立, 而-(2x 2
+2x)在(0，1)上单调递减， ∴a ≤-4.
(3)∵h(x)=ln(1+x 2
)-1
2
f(x)-k =ln(1+x 2
)-12x 2
+1-k, ∴h ′(x)=2
2x
1x +-x. 令h ′(x)=2
2x
1x
+-x=0，解得x=0,-1,1, ∴当x<-1时，h ′(x)>0,当-1<x<0时，h ′(x)<0, 当0<x<1时，h ′(x)>0,当x>1时，h ′(x)<0, ∴h(x)极大值＝h(±1)=ln2+1
2
-k, ∴h(x)极小值＝h(0)=1-k, 所以①当k>ln2+1
2
时，函数没有零点； ②当1<k<ln2+
1
2
时，函数有四个零点；
word
- 11 - / 11 ③当k<1或k=ln2+12
时，函数有两个零点； ④当k=1时，函数有三个零点.。