高中数学 3.1.2两角和与差的正弦练习(含解析)苏教版必

3．1.2 两角和与差的正弦
上一节我们研究了两角和与差的余弦，一个自然的想法是两角和与差的正弦等于什么？即sin(α±β)＝？本节我们就探索这样的问题，并加以应用．
1．两角差的正弦公式____________________________________， 这个公式对任意α、β都成立．
答案：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
2．两角和的正弦公式____________________________________， 这个公式对任意α、β都成立．
答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
3．化简求值：cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°＝________________________________________________________.
解析：方法一 原式＝sin 14°cos 44°－cos 14°sin 44°＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－12
.
方法二 原式＝－(sin 44°cos 14°－cos 44°sin 14°)＝－sin(44°－14°)＝－sin 30°＝－1
2
.
答案：－1
2
4．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3
5，则sin β＝________．
解析：由0＜α＜π2＜β＜π，π2＜α＋β＜32π，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4
5，
sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×
3
5＝2425
.
答案：2425
5．已知cos α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝__________________________________________________________.
解析：由α∈⎝
⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos α＝1213，得sin α＝－513，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝sin αcos π
4＋cos αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×22＋1213×22＝72
26
.
答案：72
26
6．化简：sin(α＋β)cos α－
1
2
[sin(2α＋β)－sin β]＝__________________________________________________________.
解析：原式＝sin(α＋β)cos α－12sin(α＋β)cos α－12cos(α＋β)sin α＋1
2
sin
β＝1
2sin(α＋β)cos α－12cos(α＋β)sin α＋12sin β＝12sin(α＋β－α)＋12
sin β
＝sin β.
答案：sin β
两角和与差的正弦
两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下： (1)配角的方法．通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α＝(α＋β)－β，α＝12(α＋β)＋1
2
(α－β)等．
(2)公式的逆用与变形公式的活用．既要会将公式从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形．
(3)“1”的妙用．在三角函数式中有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin 2α＋cos
2
α，也有1＝sin 90°，1＝tan 45°等．
形如y ＝a sin α＋b cos α的三角函数式化成一个角的一个三角函数
关于形如a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为零)的式子引入辅助角变形为A sin(x ＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成A sin(x ＋φ)的形式．一般情况下，如果a ＝A cos φ，b ＝A sin φ，那么a sin x ＋b cos x ＝A (sin x ·cos φ＋cos x sin
φ)＝A sin(x ＋φ)．由sin 2
φ＋cos 2
φ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a A 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b A 2
＝1，∴A 2＝a 2＋b 2，A ＝±a 2＋b 2，
不妨取A ＝a 2＋b 2
，于是得到cos φ＝
a
a 2＋b
2
，sin φ＝b a 2＋b
2
，从而得到tan φ＝a
b
，因此a sin x ＋b cos x ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)(其中，φ角所在的象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝a
b
确定)．通过引入辅助角φ，可以将a sin x ＋b cos x 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式，化为这种形式可解决a sin x ＋b cos x 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．这种引入辅助角的变换在历年高考试题中出现的频率非常高，在解答高考物理试题时也常常被使用．
基础巩固
1．s in 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝________． 答案: 1
2．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，那么这个三角形一定是________三角形． 答案: 等腰
3．sin(54°－x )·cos(36°＋x )＋cos(54°－x )·sin(36°＋x )＝________．
答案: 1
4．sin 75°＝________，sin 15°＝________． 答案: 6＋2
4
6－2
4
能力升级
5．当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中tan φ＝2，∴θ＝2k π＋π
2
＋φ，
k ∈Z.
∴cos θ＝－sin φ＝－25
5.
答案：－25
5
6．sin 7π18cos 2π9－sin π9s in 2π
9
＝________．
解析：原式＝sin 7π18cos 2π9－cos 7π18sin 2π9＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π18－2π9＝sin π6＝12.
答案：1
2
7．已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4＋β＝513
，求sin(α＋
β)的值．
解析：∵π4＜α＜3π4，∴－π2＜π
4
－α＜0.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352
＝－45.
又∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π
4
＋β＜π.
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫5132
＝－1213.
sin(α＋β)
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＋β ＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α
＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－α
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝56
65
.
8．已知0＜β＜π2＜α＜π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝2
3
，求cos α＋β2.
解析：由已知得π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π
2
，
于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－β2＝459.
∴cos
α＋β
2
＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α
2－β
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527.
9．(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于
直线x ＝π
3
对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解析：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称，
所以2×π3＋φ＝k π＋π
2，k ＝0，±1，±2，….
由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π
6
.
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.
由π6<α<2π3，得0<α－π6<π
2，所以 cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝154.
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6
＝14×32＋154×1
2 ＝3＋15
8
.
10．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R，θ∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π
4
，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解析：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2
＝2
2
(sin x ＋cos x )－2sin x ＝
22cos x －2
2
sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.
故f (x )在[0，π]上的最大值为
2
2
，最小值为－1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1
得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2
θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.
11．设函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x ，1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫π4，2.
(1)求实数m 的值； (2)求函数f (x )的最小值．
解析：(1)∵a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x ，1)， ∴f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin 2x )＋cos 2x .
又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，2，∴2m ＝2，即m ＝1.
(2)由(1)得f (x )＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴当2x ＋π4＝2k π＋3π2，
k ∈Z ，
即x ＝k π＋5π
8
，k ∈Z 时，f (x )min ＝1－ 2.。