2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含详细答案

2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含详细答案
一、二次函数
1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．
①求线段PM 的最大值；
②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=9
4
；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】
（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，
得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
，解得123a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，
这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得
303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得1
3k b =⎧⎨
=-⎩
， BC 的解析式为y=x ﹣3，
设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），
PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94
， 当n=
32时，PM 最大=9
4
； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；
当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，
解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；
综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
2．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．
【答案】（1）21248355y x x =
--，顶点D （2，63
5
-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（
9710，0）；（3）75
2
【解析】 【分析】
（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b
a
=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；
（3）由S △PAB 1
2
=•PH •x B ，即可求解． 【详解】
（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b
a
=-
=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=
，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=
x 248
5
-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-
，即顶点D 的坐标为（2，63
5
-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：
①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：
（，0）或（﹣，0）；
②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为
（5+，0）或（5﹣0）；
③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =97
10
，则点C 坐标为（
97
10
，0）．
综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（
97
10
，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=
，故函数的表达式为：y 12
5
=
x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 5
2
=（125-
m 2+12m ）=－6m 2+30m =2575
6()22m --+，当m =52
时，S △PAB 取得最大值为：752
． 答：△PAB 的面积最大值为
752
．
【点睛】
本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线PC的解析式为y=-
1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC 的解析式为y=3x+3， ∴直线PC 的解析式可设为y=﹣1
3
x+b ， 把C （0，3）代入得b=3， ∴直线PC 的解析式为y=﹣
1
3
x+3， 解方程组2231
33y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪
⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73
209x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得
13+b=0，解得b=﹣1
3
， ∴直线PC 的解析式为y=﹣
13x ﹣1
3
， 解方程组22311
33y x x y x ⎧-++⎪⎨--
⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103
139x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣13
9
）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（
73，209）或（103，﹣139
）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、
()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有
P 点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当2
3
x =-时，ADE ∆的面积取得最大值50
3
；（3）P 点的坐标为()1,1-，(
1,11-，(1,219--. 【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），
∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
， 解得：34326a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
，
所以二次函数的解析式为：y =233
642
x x -
-+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =1
22
x -
-， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，
设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，1
22
m --）， ∴DF =233642m m -
-+﹣（122m --）=23
84
m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +1
2
DF ×EH =
12×DF ×AG +1
2×DF ×EH =1
2
×4×DF =2×（2
384
m m --+）
=2
325023
3
m -++（）， ∴当m =23-
时，△ADE 的面积取得最大值为503
． （3）y =233
642
x x -
-+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）
AE 16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 29n +212n ++（）
n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 29n +16425+=n =11，此时点P 坐标为（﹣1，
11）；
当PE =AE 212n ++（）
16425+=n =﹣219P 坐标为：（﹣1，﹣219）．
综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，111，﹣219）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
5．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）
（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．
【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；②m的值
317
±
或117
2±
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，tan∠BDE=
BE
DE
=
1
2
，由∠MBA=∠BDE，
构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-
m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
【详解】
（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到
930
{
3
b c
c
-++=
=
，解得
2
{
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），
∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，
∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），
∴BE=2，
∴tan∠BDE=BE
DE =
1
2
，
∵∠MBA=∠BDE，
∴
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
当点M在x轴上方时，
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
解得m=﹣1
2
或3（舍弃），
∴M（﹣1
2，
7
4
），
当点M在x轴下方时，
223
3
m m
m
--
-
=
1
2
，
解得m=﹣3
2
或m=3（舍弃），
∴点M（﹣3
2，﹣
9
4
），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；
②如图中，∵MN∥x轴，
∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称， ∵四边形MPNQ 是正方形，
∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1， 易证GM=GP ，即|﹣m 2+2m+3|=|1﹣m|， 当﹣m 2+2m+3=1﹣m 时，解得m=317
±， 当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得m=117
2
±， ∴满足条件的m 的值为317±或
117
±. 【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；
（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐
标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=
-+-，
()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分
AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】
解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2
y x bx c =-++中，
得：{
10
3b c c --+==，解得：{
2
3b c ==，
∴抛物线的解析式为223y x x =-++．
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．
当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点B 的坐标为()3,0．
Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．
设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{
30
3k d d +==，解得：{
1
3k d =-=，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，
∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．
()3设点M 的坐标为()1,m ，
则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，
()22[11](0)AM m =--+-．
分三种情况考虑：
①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，
解得：11m =，22m =，
∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；
②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，
解得：83
m =
， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫
⎪⎝⎭
；
③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，
解得：23
m =-
， ∴点M 的坐标为21,.3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫
⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．
8．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （2≤x ≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）
（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深
加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝1
2
x+3
（2≤x≤10）．
①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？
②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？
【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．
【解析】
【分析】
（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣1
2
x+13﹣4）x＝﹣
1
2
x2+9x，根据二次函数的性质
即可得到结论；
（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】
（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．
∴设其解析式为y＝kx+b，
∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，
∴
212 89
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得k＝﹣1
2
，b＝13，
∴一次函数的解析式为y＝﹣1
2
x+13，当x＝6时，y＝10，
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣1
2
x+13﹣4）
x＝﹣
1
2
x2+9x，
当x＝﹣
2
b
a
＝9时，x＝9不在取值范围内，
∴当x＝8时，此时W最大值＝﹣1
2
x2+9x＝40万元；
（3）①由题意得：﹣
1
2
x2+9x＝9x﹣（
1
2
x+3）
解得x＝﹣2（舍去），x＝3，
答该公司买入杨梅3吨；
②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．
故答案为：3＜x≤8．
【点睛】
本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线
1
2
2
y x
=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2
1
2
y x bx c
=++经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为
S2．求：1
2
S
S的最大值；
②如图2，是否存在点D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）2
13
2
22
y x x
=--+；（2）①当2
a=-时，1
2
S
S的最大值是
4
5
；②点D 的坐标是(2,3)
-
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-
12
x 2
+bx+c ，于是得到结论； （2
）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，
求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=5
2
，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），
∵抛物线y=-
12
x 2
+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c ⎧
-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2
⎧⎪⎨⎪⎩， 抛物线解析式为：213
222
y x x =--+ ; （2）①令0y =， ∴213
2022
x x -
-+= 解得：14x =- ,21x = ∴B （1，0）
过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，
∴DM ∥BN ∴DME BNE ∆∆∽
∴
12S DE DM S BE BN
== 设：213222
D a a a ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭
，
∴122M a a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
， ∵()10
B ， ∴51,
2N ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴()22
121
214225552a a
S DM a S BN --=
==-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是4
5
;
②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2）， ∴AC=25，BC=5，AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形， 取AB 的中点P ， ∴P （-
3
2
，0）， ∴PA=PC=PB=
52
， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=
43
， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，
∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ， ∴∠CDG=∠BAC ，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=1
2
，
即RC：DR=1
2
，
令D（a，-1
2
a2-
3
2
a+2），
∴DR=-a，RC=-1
2a2-
3
2
a，
∴（-1
2a2-
3
2
a）：（-a）=1：2，
∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，
∴-1
2a2-
3
2
a+2=3,
∴点D的坐标是()2,3
-
【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．
10．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=5
2
时，四边形AOPE面积最大，最大值为
75
8
.（3）P
点的坐标为：P1（3+5，15
-
），P2（
35
-
，
1+5
），P3（
5+5
，
1+5
），
P4（55
2
-
，
15
2
-
）.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=1
2
×3×3+
1
2
PG•AE，
=9
2
+
1
2
×3×（-m2+5m-3），
=-3
2
m2+
15
2
m，
=3
2
（m-
5
2
）2+
75
8
，
∵-3
2
＜0，
∴当m=5
2
时，S有最大值是
75
8
；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：5+555
-
∴P的坐标为（5
2，
1+5
2
）或（
55
2
-15
2
）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：3+535
-
P3+515
-35
-1+5
综上所述，点P的坐标是：（
5
2
，
1+5
2
）或（
55
2
-
，
15
2
3+5
15
-35
-1+5
）．
点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
11．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=1
3
x﹣
4
3
与x轴交于点A，经过点A的抛物线
y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=3
2
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且
PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当
PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3
2
列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y
Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 （1）当y=0时，
14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=3
2
，得16120
3322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩
，
解得1
4
a c =⎧⎨
=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；
（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=
13
x ． ∵点P 是直线1上任意一点，
∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ． 又∵PE=3PF ，
∴
PC PB
PF PE
=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ， ∴OF=20﹣3a ． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
【答案】（1）y=38
x 2﹣
3
4
x ﹣3 （2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
（3）K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）
【解析】 【详解】
试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910
（t ﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答； （
3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K 的坐标为（m ，3
8m 2﹣34
m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =
9
4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12
•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣
34m 2+3m=9
4．易求得K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）．
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得
4230
16430a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得3834a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=3
8x 2﹣34
x ﹣3；
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴
HB OC BG
BC
=，即
Hb 35
t
=，
∴HQ=3
5
t．
∴S△PBQ=1 2
PB•HQ=
1
2
（6﹣3t）•
3
5
t=﹣
9
10
t2+
9
5
t=﹣
9
10
（t﹣1）2+
9
10
．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=
9
10
．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9
10
；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
40
3
k c
c
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
3
k
4
c3
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=
3
4
x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，
3
4
m﹣3）．∴EK=
3
4
m﹣3﹣（
3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）=﹣
3
8
m2+
3
2
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
9
10
．
∴S△CBK=9
4
．
S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+1
2
•EK•（4﹣m ） =
1
2
×4•EK =2（﹣3
8m 2+32
m ）
=﹣34m 2
+3m ． 即：﹣34
m 2+3m=94．
解得 m 1=1，m 2=3．
∴K 1（1，﹣
278
），K 2（3，﹣158）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
13．已知函数()
()22,1,2
22x nx n x n y n n
x x x n ⎧-++≥⎪
=⎨-++<⎪⎩（n 为常数） （1）当5n =，
①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．
（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段
AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．
【答案】（1）①92b =
②458；（2）
1845n <≤，8
23
n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或31
42
n ≤<． 【解析】 【分析】
（1）①将()4,P b 代入2155
222
y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =
时有最大值为458；故函数的最大值为45
8
； （2）将点()4,2代入2
y x nx n =-++中，得到185n =
，所以
18
45
n <≤时，图象与线段
AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2y x nx n =-++和21222
n n y x x =-++中，得到82,3
n n ==， 所以823n ≤<
时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x n =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n +≤，得到312n ≥，当x n
=时，22y n n n n =-++=，4n <．
【详解】
解：（1）当5n =时，
()()2255515552
22x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将()4,P b 代入2155222y x x =-
++， ∴92
b =； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458
； ∴函数的最大值为
458； （2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中， ∴185n =
， ∴1845
n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点()2,2代入2y x nx n =-++中，
∴2n =，
将点()2,2代入21222n n y x x =-
++中， ∴83
n =， ∴823
n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：
1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；
（3）当x n =时，22112222n n y n n =-++=， 42
n >，∴8n >； 当2n x =时，182
n y =+， 1482n +≤，∴312
n ≥， 当x n =时，22y n n n n =-++=，
4n <； ∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤
<． 【点睛】
考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.
14．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+
53x+c 的图象经过点C （0，2）和点D （4，﹣2）．点E 是直线y=﹣13
x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E 的坐标．
（2）如图①，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连接MC ，OE ，ME ．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标．
（3）如图②，经过A 、B 、C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F 的坐标．
【答案】（1）E （3，1）；（2）S 最大=214，M 坐标为（32
，3）；（3）F 坐标为（0，﹣32
）． 【解析】
【分析】
1）把C 与D 坐标代入二次函数解析式求出a 与c 的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E 坐标即可；
（2）过M 作MH 垂直于x 轴，与直线CE 交于点H ，四边形COEM 面积最大即为三角形CME 面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M 坐标即可；
（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
【详解】
（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
20
162
3
2
a c
c
⎧
++=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
2
a
3
2
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，即二次函数解析式为y=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
联立一次函数解析式得：
2
2
25
2
33
y x
y x x
﹣
﹣
=+
⎧
⎪
⎨
=++
⎪⎩
，
消去y得：﹣
1
3
x+2=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
解得：x=0或x=3，
则E（3，1）；
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，
设M（m，﹣
2
3
m2+
5
3
m+2），则H（m，﹣
1
3
m+2），
∴MH=（﹣2
3
m2+
5
3
m+2）﹣（﹣
1
3
m+2）=﹣
2
3
m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=
1
2
×2×3+
1
2
MH•3=﹣m2+3m+3，
当m=﹣
a
b
=
3
2
时，S最大=
21
4
，此时M坐标为（
3
2
，3）；（3）连接BF，如图②所示，
当﹣
2
3
x2+
5
3
x+20=0时，x1
5+73
，x2
5-73。