最新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试(含答案解析)(1)

一、选择题
1．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解
集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x <<
D ．{|4x x >或0}x <
2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．1y x
=
B ．y =
C ．2x y =
D ．||y x x =-
3．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．
5
2
B ．1
C ．0
D ．-1
4．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)
B ．(3,+)∞
C ．(,9)-∞
D ．(0,9)
5．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与
2(22)f a a ++的大小关系是（ ）
A ． 2(1)(22)f f a a ->++
B ．2(1)(22)f f a a -<++
C ．2(1)(22)f f a a -≥++
D ． 2(1)(22)f f a a -≤++
6．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]
4,-+∞
B ．9,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．9,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,4
7．已知定义在R 上的函数()2||
·
x f x x e =， (a f log =， 312b f log ⎛
=⎫ ⎪⎝⎭
，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且
()1
12
f =
，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）
A ．(]
[),12,-∞+∞ B ．[]1,2
C ．()1,2
D ．(],1-∞
9．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-
B ．7-
C ．5
D ．7
10．若函数2
()2(2)1
f x mx m x =+-+的值域为0,，则实数m 的取值范围是
（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞
C ．(]
[)0,14,+∞
D ．[][)0,14,+∞
11．函数sin sin 122x
x
y =+
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()2
8,
,63⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
h x max x x x ，则()h x 的最小值为（ ） A ．
18
11
B ．3
C ．
4811
D ．4
二、填空题
13．已知函数2212,1()4
,1
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是________.
14．若函数2(21)1,0
()(2),0
b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有
1212
()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．
15．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 16．已知函数()2
25f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，且对任意的1x 、
[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则实数a 的取值范围是________.
17．已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =+，当[)2,0x ∈-时，
()(2)f x f x =-+，求()f x =___________
18．已知函数()(12)3,1ln ,1a x a x f x x x -+<⎧⎨⎩
＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是
________．
19．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，
()
f x x =，则()57f =______．
20．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25
[,4]4
--，则m 的取值范围______.
三、解答题
21．定义在R 上的函数()f x 是单调函数，满足()36f =，且
()()()f x y f x f y +=+，（x ，y R ∈）．
（1）求()0f ，()1f ； （2）判断()f x 的奇偶性；
（3）若对于任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()
()2
210+-<f kx f x 成立，求实数k 的取值范围．
22．已知函数()22m
f x x x
=
-． （1）当1m =时，判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义法加以证明． （2）已知二次函数()g x 满足()()2446g x g x x =++，()13g =-．若不等式
()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围．
23．定义在11,22⎛⎫-
⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
都有()()()
1()()f x f y f x y f x f y ，且当1
02
x <<时，()0f x >．
（1）判断()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上的单调性并证明； （2）求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式1()02f t x f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
上恒成立．
24．已知函数()2
1ax b
f x x +=
+是()1,1-上的奇函数，且12.25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）求()f x 的解析式；
（2）判断()f x 的单调性，并加以证明；
（3）若实数t 满足()()10f t f t ++>，求t 的取值范围．
25．已知函数2()3f x x ax =+-．
（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 26．若函数f (x )()()2
211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪
=⎨
-+-≤⎪⎩
，满足对于任意的12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.
（1）求b 的取值范围；
（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】
2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，
则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，
则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，
故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >． 故选：B 【点睛】
思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.
2．D
解析：D 【分析】
利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】 选项A 中，函数1y x =
，由幂函数性质知1
y x
=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；
选项B 中，函数y =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内
是增函数，故错误；
选项C 中，指数函数2x
y =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；
选项D 中，函数22,0
,0
x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，
当0x >时，0x -<，故22(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-， 当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，
当0x <时，0x ->，故22
(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，
综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2
()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减
函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确. 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.
3．B
解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】 设[)1,2x ∈
，[)21,0x -∈-，
()()()2
22222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2
211122311444
f x f x x x x ∴=
-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.
故选：B 【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数
()f x 的解析式.
4．D
解析：D 【分析】
根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】
当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，
0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，1
3
x =-时不成立，
若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得：
若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，
则必须有
302m
m
->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】
本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.
5．C
解析：C 【分析】
由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2
(22)f a a ++的大小即可，而22
22(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与
2(22)f a a ++大小关系.
【详解】
因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，
又22
22(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，
所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2
(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．
6．B
解析：B 【分析】
结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】
因为函数()()()
2
1f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1
x =对称，
所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以
()()()22223f x x x x x =---，令()2
22111t x x x =-=--≥-，则
()()2
2
39
33124
y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为
9,4∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
. 故选：B 【点睛】
关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：
（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.
7．A
解析：A 【分析】
可看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，且得出3(log 2)b f =，并且可得出
33ln 3log log 2>，根据增函数的定义即可得出a ，b ，c 的大小关系．
【详解】
0x >时，2()x f x x e =是增函数，且()()f x f x -=，
33(log 2)(log 2)b f f ∴=-=，
33330log 1log 2log log 31=<<<=，ln3ln 1e >=，
∴
33ln 3log log 2>>， ∴
33(ln 3)(log (log 2)f f f >>，
c a b ∴>>． 故选：A ． 【点睛】
解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也
可以两种方法综合应用.
8．B
解析：B 【分析】
计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得出()()2
32f x
x f -≥-，再由函数()y f x =在R 上
的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】
由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=
，
()()
1
121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.
设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得
()()232f x x f -≥-.
所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()2
34f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.
故选B. 【点睛】
本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．A
解析：A 【解析】
()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，
()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 10．D
解析：D 【分析】
令t =
()0,t ∈+∞
()0,+∞，记
函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】
令t =
1y t
=的值域为0,
，
根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞
()0,+∞， 记函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，
若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；
若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()2
4240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩
，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.
故选：D.
11．D
解析：D 【解析】 因为()sin()
sin sin()
sin 11()2222x x x x
f x y f x ---=+
==
+=，
所以函数sin sin 122x
x
y =+
是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；
又sin
2
sin
2
1
15
()2
22
22
2
f π
π
π
=+=+=，排除C ， 综上，函数sin sin 12
2x
x
y =+大致的图象应为D 项，故选D.
12．C
解析：C
【分析】
首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值. 【详解】 分别画出2y
x ，8
3
y x =
，6y x =-的图象， 则函数()h x 的图象为图中实线部分.
由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
，解得1848,1111⎛⎫
⎪⎝⎭A .
所以()h x 的最小值为48
11
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去 解析：[3,)+∞
【分析】
分别讨论1x >和1x ≤时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得()f x 的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】
函数2212,1()4
,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪
⎩，可得1x >时，(
)44f x x a a a x =+
+≥=+，当且仅当2x =时，()f x 取得最小值4a +， 由1x ≤时，()()2
212f x x a a =-+-，
若1a ≥时，()f x 在(]
1-∞，
递减，可得()()1132f x f a ≥=-， 由于()f x 的最小值为()1f ，所以1324a a -≤+，解得3a ≥； 若1a <时，()f x 在x a =处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a 的取值范围是[
)3,+∞， 故答案为：[
)3,+∞. 【点睛】
本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.
14．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函 解析：[1,2]
【分析】
由已知
1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02
b b -->≥及10b -≥可得结论． 【详解】
因为对任意12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，
因此21020210
b b b ->⎧⎪-⎪
≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤． 故答案为：[1,2]．. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．
15．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力
解析：18
【分析】
根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】
因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】
本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.
16．【分析】根据二次函数的单调性求得求得函数在区间上的最大值和最小值由题意可得出可得出关于实数的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】二次函数的图象开口向上对称轴为直线由于函数在上是减函数则则所以函数在 解析：[]2,3
【分析】
根据二次函数()y f x =的单调性求得2a ≥，求得函数()y f x =在区间[]1,1a +上的最大值和最小值，由题意可得出()()max min 4f x f x -≤，可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】
二次函数()2
25f x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线x a =，
由于函数()2
25f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，则2a ≥，则()1,1a a ∈+，
所以，函数()y f x =在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],1a a +上单调递增， 所以，()()2
min 5f x f a a ==-，
又()162f a =-，()2
16f a a +=-，则()()()2
11220f f a a a a a -+=-=-≥，
()()max 162f x f a ∴==-，
对任意的1x 、[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则
()()()()22max min 625214f x f x a a a a -=---=-+≤，
即2230a a --≤，解得13a -≤≤， 又
2a ≥，则23a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]2,3.
故答案为：[]2,3. 【点睛】
本题考查利用不等式恒成立求参数值，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
17．【分析】当时可得可求出结合可求出时的表达式进而可得出答案【详解】当时；当时所以则所以故答案为：【点睛】本题考查分段函数解析式的求法考查学生的推理能力属于中档题
解析：1,02
3,20x x x x +≤≤⎧⎨
---≤<⎩
【分析】
当[)2,0x ∈-时，可得[)20,2x +∈，可求出(2)3f x x +=+，结合
()(2)f x f x =-+，可求出[)2,0x ∈-时，()f x 的表达式，进而可得出答案.
【详解】
当[]0,2x ∈时，()1f x x =+；
当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，所以(2)3f x x +=+， 则()(2)3f x f x x =-+=--. 所以1,02
()3,20
x x f x x x +≤≤⎧=⎨
---≤<⎩.
故答案为：1,02
3,20x x x x +≤≤⎧⎨
---≤<⎩
. 【点睛】
本题考查分段函数解析式的求法，考查学生的推理能力，属于中档题.
18．【分析】先求出当时函数的值域根据函数的值域为R 可以确定函数在时的单调性以及左侧函数的值域的区间的右端点的值与右侧函数的值域的区间的左端点的值的大小关系这样可求出实数a 的取值范围是【详解】由题意知的值
解析：11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
【分析】
先求出当1x 时，函数的值域，根据函数的值域为R ，可以确定函数在1x <时的单调性，以及左侧函数的值域的区间的右端点的值与右侧函数的值域的区间的左端点的值的大小关系，这样可求出实数a 的取值范围是 【详解】
由题意知() 1y ln x x ≥＝的值域为[0，＋∞)，故要使()f x 的值域为R ，则必有
23(1)y a x a ＝-+为增函数，且1230a a ≥-+，所以120a -＞且1a ≥-，解得1
12a ≤－＜，
实数a 的取值范围是11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
本题考查了已知分段函数的值域求参问题，考查了逻辑推理能力、数形结合能力.
19．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数
解析：2 【分析】
根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】
根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩
， 进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+， 于是()()3+=-f x f x ，
显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣， 则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时()
f x x =，则()()()57693332f f f =⨯+===．
故答案为：2. 【点睛】
本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.
20．；【分析】根据函数的函数值结合函数的图象即可求解【详解】又故由二次函数图象可知：要使函数的定义域为值域为的值最小为；最大为3的取值范围是：故【点睛】本题考查了二次函数的定义域值域特别是利用抛物线的对
解析：
3
32m ≤≤； 【分析】
根据函数的函数值325
()24f =-，()(0)34f f ==-，结合函数的图象即可求解.
【详解】
22325
()34()24f x x x x =--=--，
325
()24f ∴=-，又()(0)34f f ==-，
故由二次函数图象可知：
要使函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25
[,4]4
-
- m 的值最小为3
2
；
最大为3．
m 的取值范围是：
3
32
m ． 故
3
32
m
【点睛】
本题考查了二次函数的定义域、值域，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，考查了数形结合思想，属于基础题．
三、解答题
21．（1）0，2（2）奇函数（3）(,1)-∞- 【分析】
（1）令0x =可求得(0)f ，根据抽象函数的性质得(3)3(1)f f =，然后即可求出(1)f ； （2）以x -取代y ，代入函数满足的等式，可得()()0f x f x +-=，由此可得()f x 是奇函数；
（2）根据奇偶性得()2
(12)f kx
f x <-，再根据(0)f 和(1)f 判断出函数的单调性，化简
去掉f 得212kx x <-，得2
112k x x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，再根据二次函数的性质进行研究． 【详解】
（1）取0x =，得(0)(0)()f y f f y +=+， 即()(0)()f y f f y =+，
(0)0f ∴=，
()()()()()()()3(12)1211131f f f f f f f f =+=+=++= 又()36f =，得()316f =，可得()12f =；
（2）取y x =-，得(0)[()]()()0f f x x f x f x =+-=+-= 移项得()()f x f x -=-
∴函数()f x 是奇函数；
（3）
()f x 是奇函数，且()
2(21)0f kx f x +-<在1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，
()2(12)f kx f x ∴<-在1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，且(0)0(1)2f f =<=；
()f x ∴在R 上是增函数，
212kx x ∴<-在1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，
2
112k x x ⎛⎫⎛⎫
∴<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，
令211()2g x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2
111x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
.
由于
1
32
x ≤≤， 11
23x
∴≤≤. min ()(1)1g x g ∴==-，
1k ∴<-，
即实数k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】
关键点点睛：赋值法是解决抽象函数求函数值的常用方法，不等式恒成立可利用奇函数及函数的单调性转化为脱去“f ”的不等式，利用分离参数法求解，属于中档题． 22．（1）减函数，证明见解析；（2）1m <-． 【分析】
（1）()2
1
2f x x x
=
-在区间()0+∞，上为减函数，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（2）设()()2
0g x ax bx c a =++≠，由题意可得关于,,a b c 的方程，解得,,a b c 的值，可得
22
2m
x x ->
，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围. 【详解】 （1）当1m =时，()2
1
2f x x x
=-，函数()f x 是区间()0+∞，上的减函数， 证明如下：
设1x ，2x 是区间()0+∞，
上的任意两个实数，且12x x <， 则()()12122212
1122f x f x x x x x -=
--+
()()2
2
212121212222121222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+=+-=-+ ⎪⎝⎭． ∵120x x <<，∴210x x ->，210x x +>，22
120x x >，
∴()()120f x f x ->，()()12f x f x >， ∴函数()f x 是区间()0,∞+上的减函数．
（2）设()()2
0g x ax bx c a =++≠，
则()2
242g x ax bx c =++，
()()244644446g x x ax b x c ++=++++．
又∵()()2446g x g x x =++， ∴442,
46,b b c c +=⎧⎨
+=⎩
∴2b =-，2c =-，
又∵()13g a b c =++=-，∴1a =，∴()2
22g x x x =--．
∵()()g x f x >，∴2
2
2m x x
->
，∴()42
20m x x x <-≠， 又∵()
2
422211x x x -=--，∴1m <-．
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：
（1）先判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，再用定义证明，在证明的过程中，注意其步骤要求；
（2）先用待定系数法求得函数()g x 的解析式，将恒成立问题转化为最值来处理，求得结果.
23．（1）单调递增；证明见解析；（2）14⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【分析】
（1）首先判断()00f =，再令y x =-，判断函数的奇偶性，再设任意
1210,2x x ⎛⎫
>∈ ⎪⎝⎭
，利用已知条件列式
()()()()()()()
()()
121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---==-⋅-+⋅，判断符号，证明函数的单调性；
（2）不等式转化为1()()2f t x f x f x ⎛⎫
->-=- ⎪⎝⎭
，再利用函数的单调性，去掉“f ”后，求t 的取值范围. 【详解】
解：（1）令0x y ==，则22(0)
(0)1(0)
f f f =-，得(0)0f =，
再令y x =-，则()()
(0)01()()
f x f x f f x f x +-=
=-⋅-，
∴()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数， 对任意1210,
2x x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭
， 令1x x =，2y x =-， 则()()()()()()()
()()
121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---==-⋅-+⋅，
∵当1
02
x <<
时，()0f x >， ∴()120f x x ->，()()1210f x f x +>， 从而()()120f x f x ->， ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的单调递增. （2）∵()f x 为奇函数，∴1()()2f t x f x f x ⎛⎫
-
>-=- ⎪⎝⎭
， ∵()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的单调递增，且(0)0f =， ∴()f x 在11,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，由题意得： 111222t x -<-<及12t x x ->-在11,22x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
上恒成立， ∴max min
11112222x t x ⎛⎫⎛⎫-≤≤+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11
44t -≤≤①； max 12t x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，11,22x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，得14t ≥②，
由①②可知，t 的取值集合是14⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查抽象函数证明单调性和奇偶性，以及不等式恒成立求参数的取值范围，一般抽象函数证明单调性和奇偶性时，采用赋值法，利用定义证明，本题不等式恒成立求参数，采用参变分离的方法，转化为求函数的最值. 24．（1）()2
x
f x x x
=
+，()1,1x ∈-；（2）()f x 在()1,1-上递增，证明见解析；
（3）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【分析】
（1）由奇偶性知()00f =，进而结合12
25
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭待定系数求解即可得函数解析式； （2）()f x 在()1,1-上递增，利用函数单调性的定义证明即可；
（3）由奇偶性将问题转化为()()1f t f t ->-，再根据单调性解不等式111
111t t t t -<-<⎧⎪
-<<⎨⎪->-⎩
即
可. 【详解】
解：（1）因为函数()2
1ax b
f x x +=
+是()1,1-上的奇函数，12.25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以()0,00
12122
15251
4
b f a b
f =⎧⎪⎧=⎪⎪+⇒⎨
⎨⎛⎫== ⎪⎪⎪⎝⎭⎩
+⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩， ∴ ()2
x
f x x x
=
+，()1,1x ∈-． （2）()f x 在()1,1-上递增，证明如下： 任取()12,1,1x x ∈-，且12x x >，则
()()()()()()
22122112
1222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++
()()()()()()
2212121212122222
121211111x x x x x x x x x x x x x x ---+-==++++， ∵()12,1,1x x ∈-，∴1210x x ->， 又12x x >，∴ 120x x ->， ∴()()120f x f x ->，
∴ ()()12f x f x >，即()f x 在()1,1-上递增． （3）()()10f t f t -+>可化为()()1f t f t ->-，
∴11102
111111211
2
t t t t t t t t ⎧
⎪-<-<<<⎧⎪⎪
-<<⇒-<<⇒<<⎨⎨⎪⎪->-⎩⎪>
⎩．
∴t 的取值范围1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
（1）本题是函数性质的综合运用，在解题中要熟练掌握函数奇偶性、单调性的的判定及性质，对于单调性的证明要掌握规范的解题步骤．
（2）在解含“f ”号得不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为
()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式
(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内． 25．（1）(2,2)-；（2
）(
,-∞． 【分析】
（1）由已知得210x ax ++>的解集为R ，只需∆<0可得答案；
（2）由已知得230x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，可分别讨论对称轴的位置，然后利用单调性和二次函数的性质可得答案. 【详解】
（1）()4f x >-即234x ax +->-， 即210x ax ++>，
由不等式()4f x >-的解集为R ， 可得∆<0，即240a -<， 解得22a -<<， 故a 的取值范围是(2,2)-．
（2）()26f x ax ≥-即2326x ax ax +-≥-， 即230x ax -+≥，
由不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立， 可得当12
a
≤，即2a ≤时，10f ≥（）
，即40a -≥，得4a ≤，从而2a ≤； 当132
a
<
<，即26a <<时，0∆≤，即2120a -≤，
得a -≤≤
2a <≤ 当
32
a
≥，即6a ≥时，(3)0f ≥，即1230a -≥，得4a ≤，此时无解．
综上，a
的取值范围是(
,-∞．
【点睛】
对于一元二次不等式的恒成立的问题，可结合二次函数图象，利用函数的单调性和二次函数的性质处理，也可以利用参数分离求最值． 26．（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩
；[]265,0()23,0
x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】
（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果； （2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.
【详解】
解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()
12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有
()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，
故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >
； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202
b x -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ .
综上，b 的取值范围是12b ≤≤；
（2）当b =2时，231,0(),0
x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32
x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32
x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩
； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+，
当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22
()()23g f x g x x =-=-+，
故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩
. 【点睛】
关键点点睛：
本题解题关键在于：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.。