(浙江通用)高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算-人教版高三全册数学

【步步高】（某某通用）2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量
4.1 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
名称 定义
备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a 的单位向量为
±
a
|a |
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量 运算
定义
法则 (或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a ＋
b ＝b ＋a ；
(2)结合律： (a ＋b )＋c
＝a ＋(b ＋c )
减法
求a 与b 的相反向量－
b 的和的运算叫做a 与
a －
b ＝a ＋(－b )
b 的差 三角形法则
数乘
某某数λ与向量a 的积的运算
(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的
方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0
(1)λ(μa )＝(λμ)a ；
(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；
(3)λ(a ＋b )＝
λa ＋λb
3.共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】
1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12
(OA →＋OB →
)．
2．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →
＝0⇔P 为△ABC 的重心． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )
(4)向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12
(AC →＋AB →
)．( √ )
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →
相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B．③ C ．①③ D．①② 答案 A
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →
互为相反向量，故③错误．
2．如图所示，向量a －b 等于( )
A ．－4e 1－2e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2 答案 C
解析 由题图可得a －b ＝BA →
＝e 1－3e 2.
3．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，则( ) A.AD →
＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →
C.AD →＝43AB →＋13AC →
D.AD →＝43AB →－13AC →
答案 A
解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →
＝－13AB →＋43
AC →.
4．已知A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若pOA →＋qOB →＋rOC →
＝0，p ，q ，
r ∈R ，则p ＋q ＋r 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．3 答案 B
解析 ∵A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，∴存在实数λ使AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →
)， 即(λ－1)OA →＋OB →－λOC →
＝0.
∵pOA →＋qOB →＋rOC →
＝0，∴p ＝λ－1，q ＝1，r ＝－λ， ∴p ＋q ＋r ＝0.
5．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →
＝________，BC →
＝________(用a ，b 表示)．
答案 b －a －a －b
解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →
＝b －a ，
BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b .
题型一 平面向量的概念
例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →
共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ④
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a
|a |是与a 同方向的单
位向量．
设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，
则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算
例2 (1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
等于( ) A.BC →B.12AD →
C.AD →
D.12
BC →
(2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 (1)C (2)A
解析 (1)EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →
)＋12(AC →＋BC →)
＝12(AB →＋AC →)＝AD →
. (2)∵BD →＝2DC →，
∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝2
3b ＋13
c .
命题点2 根据向量线性运算求参数
例3 (1)在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )
A.23
B.13 C ．－13D ．－23
(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值X 围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0 答案 (1)A (2)D
解析 (1)∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →
)，
∴CD →＝13CA →＋23CB →，
∴λ＝23.
(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →
＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.
∵BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，
∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交
对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12
AD →，AK →＝λAC →
，则λ的值为( )
A.29
B.2
7 C.25D.23 答案 A
解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →
，
∴AB →＝52
AE →，AD →＝2AF →
.
由向量加法的平行四边形法则可知，
AC →＝AB →＋AD →，
∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)
＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52
λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝2
9，故选A.
题型三 共线定理的应用
例3 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
. ∴AB →、BD →
共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．
(2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量，
∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2
－1＝0.∴k ＝±1.
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．
(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →
＝－3a ＋3b ，则( )
A ．A ，
B ，
C 三点共线 B ．A ，B ，
D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线
(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 (1)B (2)1
2
解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →
， ∴BD →、AB →
共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B. (2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →
＝12AB →＋23(AC →－AB →
) ＝－16AB →＋23AC →，
∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，
∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝1
2.
10．方程思想在平面向量线性运算中的应用
典例 (14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →
＝a ，
OB →
＝b .试用a 和b 表示向量OM →
.
思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．
(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →
＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规X 解答
解 设OM →
＝m a ＋n b ，
则AM →＝OM →－OA →
＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →
＝－a ＋12
b .[3分]
又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →
共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →
， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋1
2
t b .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －1＝－t ，n ＝t 2
，消去t 得，m －1＝－2n ，
即m ＋2n ＝1.① [7分]
又∵CM →＝OM →－OC →
＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，
CB →＝OB →－OC →
＝b －14a ＝－14
a ＋
b .
又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →
共线．[10分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →
，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －14
＝－14t 1，
n ＝t 1.
消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②
由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋3
7
b .[14分]
温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．
[方法与技巧]
1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三
角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →
(x ，
y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.
[失误与防X]
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)
1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →
是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 答案 D
解析 这四个向量的模相等．
2．设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0B ．a 0·b 0＝1
C ．|a 0|＋|b 0|＝2
D ．|a 0＋b 0|＝2 答案 C
解析 因为是单位向量，所以|a 0|＝1，|b 0|＝1.
3．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →
等于( )
A.23AB →＋12AD →
B.12AB →＋23AD →
C.56AB →＋13AD →
D.13AB →＋56AD → 答案 A
解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23
AB →＋AD →， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝
⎛⎭⎪⎫AD →－23AB → ＝23AB →＋12
AD →. 4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )
A ．点P 在线段A
B 上 B ．点P 在线段B
C 上
C ．点P 在线段AC 上
D ．点P 在△ABC 外部
答案 C
解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．
5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30° B．60° C．90° D．120°
答案 B
解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，
又∵O 为△ABC 外接圆的圆心，
∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.
6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，
则四边形ABCD 的形状为________．
答案 平行四边形
解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，
所以BA →＝CD →.所以四边形ABCD 为平行四边形．
7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝
________.
答案 2
解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，
AB →⊥AC →，则AM 为Rt△ABC 斜边BC 上的中线，
因此，|AM →|＝12
|BC →|＝2. 8．(2015·)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；
y ＝________.
答案 12 －16
解析 MN →＝MC →＋→
＝13AC →＋12
CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16
AC →， ∴x ＝12，y ＝－16
. 9.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC
→＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.
解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12
b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13
(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13
(AC →－AB →) ＝13AB →＋13
AC → ＝13a ＋13
b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；
(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．
(1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，
CD →＝－8e 1－2e 2，
∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2
＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12
CD →， ∴AC →与CD →共线．
又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．
(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，
∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，
即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43
. B 组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p
的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 B
解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .
又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．
设AB →＝λBD →，
∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，
∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.
12．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD
→等于( )
A ．a －12b B.12
a －b
C ．a ＋12b D.12
a ＋
b 答案 D
解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，
得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12
a ， 所以AD →＝AC →＋CD →＝
b ＋12
a . 13．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( )
A ．45°
B ．60°
C ．30° D．15°
答案 B
解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin
B ·GB →＋sin
C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，
则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，
∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.
14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b
表示)
答案 －14a ＋14
b 解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34
(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →
＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 15．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1
m 的值为________．
答案 3
解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13
(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13
b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋1
3λb ，
从而⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝1
3λ，消去λ得1n ＋1
m ＝3.。