苏教版数学高二-【新学案】 选修2-1学案 四种命题

1.1.1四种命题
教学过程
一、问题情境
在我们日常生活中,经常涉及逻辑上的问题.无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要用逻辑用语表达自己的思想,需要用逻辑关系进行判断和推理.
在初中我们已经学过命题的有关概念,下面我们来复习一下.
问题1下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?
①若xy=1,则x,y互为倒数;②相似三角形的周长相等;③2+4=5;④如果b≤-1,那么方程
x2-2bx+b2+b=0有实数根;⑤3不能被2整除.
二、数学建构
(一)生成概念
问题2判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系?
①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;
②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等;
③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;
④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.
解①④为真命题,②③为假命题;①与②、③与④的条件和结论互逆,①与③、②与④的条件和结论互否.
(二) 理解概念
1.原命题与逆命题
在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.
2.原命题与否命题
在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题就叫做互否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的否命题.
3.原命题与逆否命题
在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这
样的两个命题就叫做互为逆否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命
题的逆否命题.
(三) 巩固概念
关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以这样表述(原命题为“若p则q”):
(1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的逆命题(逆命题为“若q则p”);
(2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的否命题(否命题为“若非p则非q”);
(3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是原命题的逆否命题(逆否命题
为“若非q则非p”).
三、数学运用
【例1】(根据教材第6页例1改编)写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆
否命题,并判断它们的真假. (见学生用书P1) 论,再对照定义进行解答.
=0(真命题);
逆命题:若ab=0,则a=0(假命题);
否命题:若a≠0,则ab≠0(假命题);
逆否命题:若ab≠0,则a≠0(真命题).
否命题不一定为真命题,但它的逆否命题一定为真命题.
【例2】(根据教材第6页例2改编)把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们
的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假. (见学生用书P2)
(1)两个全等的三角形的三边对应相等;
(2)四边相等的四边形是正方形;
(3)负数的平方是正数.
结论q,然后写出逆命题、否命题、逆否命题,对(3)中的条件和结论引导学生得到不同的
写法.
角形全等,则这两个三角形的三边对应相等(真命题);
逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等(真命题);
否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形的三边不对应相等(真命题);
逆否命题:若两个三角形的三边不对应相等,则这两个三角形不全等(真命题).
(2)原命题:若一个四边形的四边相等,则它是正方形(假命题);
逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等(真命题);
否命题:若一个四边形的四边不相等,则它不是正方形(真命题);
逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等(假命题).
(3)原命题:若一个数是负数,则它的平方是正数(真命题);
逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数(假命题);
否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数(假命题);
逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数(真命题).
问题3第(3)问还有其他写法吗?
解原命题:若一个数是负数的平方,则这个数是正数(真命题);
逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方(假命题);
否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数(假命题);
逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的平方(真命题).
(如:原命题和逆否命题,逆命题和否命题),其余情况则不一定同真或同假(如:原命题和逆命题,否命题和逆否命题等).
问题4逆命题与否命题,逆命题与逆否命题,否命题与逆否命题之间又有什么关系呢?
结论:四种命题之间的关系如下图所示.
【例3】已知原命题是“当c>0时,若a>b,则ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.
他命题时应该保留,原命题的条件是“a>b”,结论是“ac>bc”.
c>bc,则a>b(真命题);
否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc(真命题);
逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b(真命题).
四、课堂练习
1.将命题“平行四边形的对角相等”写成“若p则q”的形式为若一个四边形是平行四边形,则它的对角相等.
2.写出“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题:若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0.
提示“且”与“或”的否定分别为“或”与“且”.
3.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是若a≤b,则2a≤2b-1.
4.写出命题“若a和b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.
解逆命题:若a+b是偶数,则a和b都是偶数(假命题);
否命题:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数(假命题);
逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数(真命题).
五、课堂小结
1.四种命题的准确表达及其相互关系.
2.等价转化的思想:互为逆否命题的两个命题同真同假的应用.。