江西省南昌市第二中学2020届高三数学5月模拟考试试题文含解析

江西省南昌市第二中学2020届高三数学5月模拟考试试题 文（含解
析）
一､单选题(每小题5分，共12小题，共60分)
1.设集合A={2，1-a ，a 2
-a +2}，若4∈A，则a =（ ） A. -3或-1或2 B. -3或-1 C. -3或2 D. -1或2
【答案】C 【解析】
若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：
a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)，
本题选择C 选项. 2.若复数2i
2
a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）
A. 2
C. 1
D. 【答案】B 【解析】
分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22
a a
z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 由复数2i
2
a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得
10212
a
a z i -=⇒==-，,
z ==,故选B.
3.若双曲线2
2
3mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是
A. -1
B. 1
C.
【答案】A 【解析】
双曲线22
3mx my -=3的标准方程为22
113
x y m m
-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m
+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．
4.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a
【详解】由2416a a =得244
5516116,16
02232.a q q q q a a q ==>∴=∴===选B.
【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
5.在ABC 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A. 1
3
- B.
13
C. 12
-
D.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-，进而得出
()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.
【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-，
2AB AD DB BD PD =+=-+，
2AC AD DC BD PD =+=+，
又
()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++，
则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩
，
则
1
2
λμ+=-. 故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的
加减法运算以及向量的基本定理的应用.
6.如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,
])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部
分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()
112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D.
【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 7.若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4
y
x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A. (1,2)-
B. (,2)
(1,)-∞-+∞
C. ()2,1-
D.
(,1)(2,)-∞-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +
<-有解，即2()4
min y
m m x ->+即可， 142x y +=，12
12x y
∴+=， 则
12122211121212112442248842
y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+⋅=+⨯=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当
28x y
y x
=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y
x +
=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
8.已知实数[]
1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ）
A.
49
B.
13
C.
25
D.
310
【答案】B 【解析】
试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环
()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，
由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071
103
-=，故选B.
考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 9.已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()x
f x xe =，0x >时，
()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数
k 的取值范围是（ ）
A. 1
1,2e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
B. 11,2e e ⎛⎤
--
⎥⎝⎦
C. 1,e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
D.
1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝
⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】
求出0x ≤时()x
f x xe =的导数，可得单调区间和极值，可将()y f x =在(]10-，的图象每向
右平移一个单位可得0x >时()f x 的图象，由题意可得()y f x =和()y g x =的图象有两个
交点．将直线()y g x =绕着()10
-，旋转考虑经过点10e ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，，11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，，可得此时的斜率k ，结合图象可得所求范围．
【详解】当0x ≤时，()x
f x xe =的导数为()()1x f x x e '=+，
当10x -<<时，()0f x >′，()f x 递增； 当1x <-时，()0f x <′，()f x 递减，
则1x =-处()f x 取得极小值()
11f e
-=-
， 由0x >时，()()1f x f x =-，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位，可得()f x 在0x >时的图象，如图：
由方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．
又()()1y g x k x ==+的图象为恒过定点()10
-，的直线，当该直线经过点10e ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，时， 1k e
=-；
当该直线经过点11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
时，k 12e
=-． 由图象可得当11
2k e e
-<<-时，()y f x =和()y g x =的图象有两个交点． 故选：A ．
【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题． 10.已知函数()()2
31
cos 0,R 2
2
x
f x x x ωωω=->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ） A .
50,
12⎛⎤
⎥⎝⎦ B. 55110,
,12612⎛⎤⎡⎫
⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. 50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. 55110,
,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
【答案】D 【解析】
1cos 11
()cos 222
x f x x x x ωωωω+=
-=+sin()6x πω=+ ，
2,2,26
6
6
x x x π
π
π
ππωπωωπωπωωπ<<∴<<+
<+
<+
, 函数 ()f x 在区间
(),2ππ内没有零点
(1) (,2)(2,2),66
k k k Z π
πωπωππππ+
+⊆+∈，则26
{226
x k k π
ωπ
πωπππ
+
≥+≤+ ，则
1
26
{512
k k ωω≥-
≤+
，取0k = ，0,ω> 5012
k ∴<≤ ；
（2）(,2)(2,22),6
6
k k k Z π
π
ωπωπππππ+
+⊆++∈，则26
{2226
k k π
ωπππ
πωπππ
+
≥++≤+ ，解得：
5
26
{1112
k k ωω≥+
≤+
，取0k = ，511612
k ∴≤≤ ；
综上可知：k 的取值范围是5511
(0,
][,]12612
，选D . 【点睛】有关函数sin()y A x ωϕ=+求ωϕ、的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，
应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准sin()y A x ωϕ=+型，函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点，根据x 的范围求出3
x π
ω+
的范
围，使其在(2,2)k k πππ+或在(2,22)k k ππππ++内，恰好函数无零点，求出ω的范围. 11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱
11C D 上任意一点，则2
PM MN +
的最小值为（ ）
A.
2
B.
2 C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
首先连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面11CC D D ，即//MH AD .再根据相似三角形得到
11C H
MH AD C D
=，1111HH C H DD C D =，即1MH HH =.再将22
PM MN +转化为PM MH +，求其最小值即可. 【详解】连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.
因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥ 所以MH ⊥平面11CC D D .
因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .
所以11C H
MH AD C D
=. 又因为11//HH DD ，所以
1111HH C H
DD C D
=. 即1
1
HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN 中，222MN MH HN =+.
因为1HN HH ≥，所以22222
12MH HN MH HH MH +≥+=.
即222MN MH ≥
，MN ≥.
所以1PM PM MH ≥+≥.
即PM 的最小值为1 故选：C
【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.
12.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线
C 的右支上一点，且12AF c =，1AF 与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲
线C 的离心率e =( )
1
【答案】C 【解析】 【分析】
先利用角平分线及12AF c =得到三角形相似，
进而得到AB ，再根据角平分线定理也可得到AB ，列方程即可求出离心率．
【详解】如图：
由题意得：112AF F F =，所以1212F AF F F A ∠=∠， 又12F B F B =，所以
1221BF F BF F ∠=∠， 又2F B 是21AF F ∠的平分线，所以122BF F AF B ∠=∠， 所以221~BAF AF F ，所以2
2
12||AF AB F F =⋅，
即2
(22)||2c a AB c -=⋅，所以2
2()||c a AB c
-=，
由角平分线定理知，2
112||AF AB BF F F =，则1122
11||BF F F AB AF +=+， 所以21122||AF AB AF F F AF =+，所以2222()2()||22222c a c c a c a AB c c a c c a c
---=⋅==
-+-， 故22235
30310c ac a e e e +-+=⇒-+=⇒=． 故选：C ．
【点睛】本题关键是利用角平分线定理得到2
112
||AF AB BF F F =，考查了学生计算能力，分析能力，是中档题．
二､填空题(每小题5分，共4小题，共20分)
13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n }的前9项之和等于_____ 【答案】90 【解析】 【分析】
先利用等差数列的性质列方程组求出2a 和5a 的值，并求出1a 和公差d 的值，再利用等差数列前n 项和公式可求出数列{}n a 的前9项之和．
【详解】
等差数列{}n a 的公差0d >，则25a a <，由等差数列的性质可得
251614a a a a +=+=，
由25252
514
40a a a a a a
+=⎧⎪
=⎨⎪<⎩，可得25410a a =⎧⎨=⎩，114410a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a d ==，
因此，等差数列{}n a 的前9项和为1
98
99298902
a d ⨯+
=⨯+⨯=，故答案为90． 【点睛】本题考查等差数列的求和问题，求解等差数列问题时，一般常用以下两种方法： （1）性质法：序数之和相等，项的和相等；
（2）基本量法：将已知条件转化为与首项、公差的方程组，求出这两个基本量，利用这两个基本量计算．
灵活使用这两种方法求解等差数列的问题，能起到简化计算的作用．
14.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．
【答案】2400 【解析】 【分析】 确定中位数在2000
2500之间，设为t ，则
2000
0.250.2500
t -⨯=，计算得到答案. 【详解】根据频率分布直方图知：
10.00025000.1p =⨯=，20.00045000.2p =⨯=，30.00055000.25p =⨯=.
故中位数在20002500之间，设为t ，则
2000
0.250.50.10.20.2500
t -⨯=--=， 解得2400t =.
故答案为：2400.
【点睛】本题考查了频率分布直方图求中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，
1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =
__________.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据正弦定理得到cos 2sin AB AM θθ⋅=
，计算tan 2cos cos AC AB θ
θθ
==，化简得到答案.
【详解】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，
180BMA θ︒∠=-，
由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒
=--，即cos 2sin AB AM θθ
⋅=， 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan 2AC θ=， 在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θ
θθ
=
=， ∴tan 2cos 2cos 2
sin AM θ
θ
θθ
⋅==. 故答案为：2.
【点睛】本题考查了正弦定理和三角函数定义解三角形，意在考查学生的数形结合能力和计算能力.
16.设M ，N 分别是曲线32) ()(f x x x x e =-+<
与()ln (g x a x x e =≥上一点，MON
△是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a
的取值范围是________.
【答案】20,
1e ⎛⎤
⎥ -⎝⎦
【解析】 【分析】
设32(,)M t t t -+，则(, ln )N t a t ，根据0OM ON ⋅=，得到1
(1)ln ,(t t t a
=+≥，构造
新函数()(1)ln ,(h x x x x =+≥
，求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解.
【详解】由MON ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点恰好在y 轴上，
可得M ，N 两点的横坐标互为相反数，设32(,)M t t t -+，则(, ln )(N t a t t ≥
，
由题意知0OM ON ⋅=，即2
23()ln 0t t t a t -++⋅=，
整理得
1
(1)ln ,(t t t a
=+≥，
令()(1)ln ,(h x x x x =+≥
，则1
()ln 10h x x x
'
=++
>，
可得函数()h x 在)+∞上是增函数，所以1
()2
h t h ≥=
，
所以
1a ≥
0a <≤
即实数a 的取值范围是⎛
⎝
⎦
.
故答案为：20,1e ⎛⎤
⎥ -⎝⎦
.
【点睛】本题主要考查了向量的垂直的坐标运算，利用导数求解函数的单调性与最值，以及利用导数研究方程的有解问题的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 三､解答题(共60分)
17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且
sin a b C +=
． （1）求角A 的大小；
（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n S ． 【答案】（1）6π
；（2）1
n n + 【解析】 【分析】 （1）由
3sin a b b c
C +-=
根据正弦定理可得2223b c a bc +-=，由余弦定理可得3
cos 2
A =
，从而可得结果；（2）由（1）可得112sin a A =
=，再由2a 、4a 、8a 成等比数列，列方程求得公差2d =，从而得2n a n =，则14n n a a +()11111
n n n n ==-++，利用裂项相
消法可得结果. 【详解】（1）由
得
，所以
又
（2）设的公差为
，由（1）得
，且，
∴
．又
，∴
，∴
．
∴
∴
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破
这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭；
（2） n k n ++1
n k n k
=
+； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（4）
()()11
122
n n n =
++()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易
出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示：
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y (单位：百万元)与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年4月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料的使用寿命不同，现对A ，B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
经甲公司测算平均每件新型材料每月可以带来6万元收人入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A 型号材料每件的采购成本为10万元，B 型号材料每件的采购成本为12万元.假设每件新型材料的使用寿命都是整月数，且以频率作为每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的平均值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：
6
1
96i
i y
==∑，6
1
371i i i x y ==∑.
参考公式：回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中()()()
1
1
2
22
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx
====---==
--∑∑∑∑.
【答案】（1）线性回归方程为ˆ29y x =+，利润为33百万元；（2）应该采购A 型新材料.
【解析】 【分析】
（1）根据题设的折线图中的统计数据，求得其平均数，以及回归系数ˆb
和ˆa ，求得回归直线的方程，代入12x =时，即可作出预测；
（2）由频率估计概率，求得每件A ，B 型新材料可产生的利润的平均值，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据题设的折线图可知，统计数据(),x y 共有6组， 即()1,11，()2,13，()3,16，()4,15，()5,20，()6,21，
计算可得123456
3.56
x +++++=
=，6
111961666i i y y ===⋅=∑， 所以()()()
1
1
2
22
1
1
3716 3.516
ˆ217.5
n n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====----⨯⨯==
=
=--∑∑∑∑，
ˆˆˆ1623.59a
y bx =-=-⋅=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y
x =+. 当12x =时，可得ˆ212933y
=⨯+=. 故预计甲公司2020年4月份的利润为33百万元.
（2）由频率估计概率，每件A 型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月的概率， 分别为0.2，0.35，0.35和0.1，
所以每件A 型新材料可产生的利润的平均值为
()()()()16100.212100.3518100.3524100.1 4.1x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(万元).
由频率估计概率，每件B 型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月概率， 分别为0.15，0.2，0.4和0.25，
所以每件B 型新材料可产生的利润的平均值为
()()()()26120.1512120.218120.424120.254x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(万元).
因为12x x >，所以应该采购A 型新材料.
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，以及数学知识在实际生活中的应用，其中解答中认真审题，结合公式准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
19.已知三棱锥A BCD -中，ABC 与BCD 均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=，
6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD .
（1）求证：AB CD ⊥；
（2）过E 作一平面分别交AC ， BC ， BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积.
【答案】（1）证明见解析.（2）75352+ 【解析】 【分析】
（1）由线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面ACD ，再利用性质定理，即可证得AB CD ⊥， （2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到CD AC ⊥，在Rt ACD 中，求得36AD =，
进而得到6AE =
1
3
AE AD =
，再利用线面平行的性质定理得到//EF CD ，进而得到四边形EFGH 为矩形，同理求得22FG =，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）由90BAC ∠=，所以AB AC ⊥， 由CE ⊥平面ABD ，AB 平面ABD ，可得CE AB ⊥，
又由AC
CE C =，且AC ⊂平面ACD ，CE ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，
又因为CD ⊂平面ACD ,所以AB CD ⊥.
（2）在等腰直角BCD ∆中，6BC CD ==，所以BC CD ⊥， 又因为AB CD ⊥，可得CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥. 等腰Rt ABC 中，由6BC =，可得32AC =， 又Rt ACD 中，6CD =，CE AD ⊥，所以2236AD AC CD =+=，
而2AC AE AD =⋅，可得6AE =
，故1
3
AE AD =
， 因为四边形EFGH 为平行四边形，所以//EF GH ，可得//EF 平面BCD ， 又EF ⊂平面ACD ，且平面ACD 平面BCD CD =，所以//EF CD ，
由1
3
AE AD =
，可得123EF CD ==，且有13AF AC =，
由CD ⊥平面ABC ，可得CD FG ⊥，
进而得到EF FG ⊥，所以四边形EFGH 为矩形， 同理可得//FG AB ，且2
223
FG AB ==， 可得1122222AEF E S F AF =
⨯⨯=⨯⨯=△，11
2222
2BGH GF B S G =⨯=⨯⨯=△， 22242EFGH
EF F S
G ⨯=⨯==，5ABGF S =53AEHB S =△.
所以所求表面积为75352S =++.
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
20.已知直线AB 与抛物线2
2x y =交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于(0,2)N ，
M 为线段AB 的中点.
（1）求点M 的纵坐标；
（2）求ABN 面积的最大值及此时对应的直线AB 的方程.
【答案】（1）纵坐标为1；（2）面积的最大值为2，直线AB 的方程为y x =±. 【解析】 【分析】
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，得到2112x y =，2
222x y =，结合斜率公式得到0AB k x =，再
根据1AB MN k k ⋅=-，即可求解；
（2）设AB 的方程为y kx m =+，求得21k m =-，联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点()00,M x y ，
由2112x y =，2
222x y =，可得()22
12122x x y y -=-，()()()1212122x x x x y y -+=-，
所以1212
0122
AB y y x x k x x x -+=
==-，
又由0020
MN y k x -=
-，则00
02
1AB MN y k k x x -⋅=⋅=-，解得01y =， 即点点M 的纵坐标1.
（2）设AB 的方程为y kx m =+，其中与y 轴交点为()0,P m ，AB 中点()0,1M x ， 所以00
1PM AB m k k x x -=
==-，即2
201m x k -=-=-，21k m =-， 由22y kx m x y =+⎧⎨=⎩消去y ，得到2220x kx m --=，则21212
480
22k m x x k x x m
⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，
所以12AB x =-=， 又设()0,2N 到直线AB 的距离为d
，则d =
所以11
22
S AB d m m =
⋅⋅=-=-因为210k m =->，
所以
2S ==≤=，
当且仅当222m m -=+，即0m =时取等号，此时210k m =-=，即1k =±， 进而可求得直线AB 的方程为y x =±.
【点睛】本题主要考查抛物线标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数()2ln 1
a
x bx x f x =+
++(a R ∈，b R ∈). （1）当0a =时，若函数()f x 在()0,∞+上有两个零点，求b 的取值范围； （2）当0b =时，是否存在a R ∈，使得不等式()()12
a
f x x ≤+恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）1
0b e
-<<.（2）存在，a 的取值集合为{}1. 【解析】 【分析】
（1）将0a =代入，求得函数的导数，当0b ≥时显然不成立，当0b <时，利用零点的存在定理，即可求解的结论； （2）当0b =时，设()()2ln 112
a a
x x x g x =+
-++，由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，得到()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，
故()10g '=，当1a =时，利用导数得到不等式()()12
a
f x x ≤
+恒成立，即可求解.
【详解】（1）当0a =时，()ln b f x x x =+，()11bx
b x x
f x +=
='+(0x >)， 当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不合题意，舍去； 当0b <时，()0f x '=，1
x b
=-
， 进而()f x 在10,b ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，在1,b ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， 依题意有10f b ⎛⎫
-
> ⎪
⎝⎭
，1ln 10b ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，1e b ->，解得10b e -<<， 又()10f b =<，且11e b -
>>，()f x 在10,b ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递增，
进而由零点存在定理可知，函数()f x 在10,b ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
上存在唯一零点； 下面先证1ln x x e <
(0x >)恒成立，令()1ln x x x e ϕ=-，则()11x e x e x ex
ϕ-'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增，
进而()()0x e ϕϕ≥=，∴1ln x x e ≥，∴111
2222
ln 2ln x x x x e
=≤<，
可得()12
ln x bx f x x bx =+<+， 若1
20x bx +=，得21
x b
=， 因为1e b ->，则2
21e b >，即当1,x b ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，取021x b =，有1
2222110b f b b b
⎛⎫⎛⎫<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即存在021
x b
=使得()00f x <，
进而由零点存在定理可知()f x 在10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上存在唯一零点； （2）当0b =时，存在1a =，使得不等式()()12
a
f x x ≤+恒成立. 证明如下：
当0b =时，设()()2ln 112
a a x x x g x =+-++，则()()21221a x x g a x =--+'， 依题意，函数()0g x ≤恒成立，
又由()10g =，进而条件转化为不等式()()1g x g ≤对0x >恒成立，
所以()1g 是函数()g x 的最大值，也是函数()g x 的极大值，故()10g '=，解得1a =.
当1a =时，()()()()()
2322
1222121x x x x x
x x x x g x -++--==-+'+(0x >)， 令()0g x '>可得01x <<，令()0g x '<可得1x >. 故()g x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减. 因此()()10g x g ≤=，即不等式()()12
a
f x x ≤+恒成立. 综上，存在且a 的取值集合为{}1.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为,
4x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），圆C 的方
程为2
2
(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求l 和C 的极坐标方程；
（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612
π
π
α≤≤，求
||||OB OA 的取值范围.
【答案】（1
cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；
（2）利用极坐标方程将||
||
OB OA 转化为三角函数求解即可.
【详解】（1
）因为,
4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l
40y +-=，
又cos x ρθ=，sin y ρθ=，2
2
2
x y ρ+=，
l
cos sin 40θρθ+-=，
C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.
（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα
，则1ρ=
，22sin ρα=，
所以，
)
21||12sin sin ||4
OB OA ραααρ==⨯
+12cos 214
αα⎤=
-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛
⎫=
-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 又
56
12π
πα≤≤
，22663
πππ
α≤-≤， 当26
6
π
π
α-
=
，即6
π
α=
时，
||||OB OA 取得最小值1
2
； 当262ππα-=，即3π
α=时，||||OB OA 取得最大值3
4
.
所以，
||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()|21|2|1|f x x x =-++.
()I 若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；
()Ⅱ若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.
【答案】（1）12m -≤≤；（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）求得函数()3f x ≥，因为存在0x R ∈，使得()2
05f x m m +≤+，可得235m m +≤+．进
而求得m 的取值范围．
（2）由（1）知2m =，则332a b +=；利用公式分解
()()()2
3
3
2
2
23024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤
⎛⎫+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，可得0a b <+；而
()()
()2
234a b a b a b ⎡⎤++-
+⎢⎥⎣
⎦
()3
14a b =+ ，因而可得2a b +≤，得证． 【详解】（1）
()()212121213f x x x x x =-++≥--+=
存在0x R ∈，使得()2
05f x m m +≤+
235m m ∴+≤+
220,m m ∴--≤
12m ∴-≤≤
（2）由（1）知:max |2m =
332a b ∴+=
()()()2
3
3
2
2
232024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤
⎛⎫∴=+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
而2
23024b a b ⎡⎤
⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
0a b
∴<+①
332a b ∴=+
()()
22a b a ab b =+-+
()()()()()222334a b a b ab a b a b a b ⎡
⎤⎡⎤=++-≥++-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()3
14
a b =
+
()38
∴+≤
a b
a b
∴+≤②
2
由①②
∴<+≤
02
a b
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式证明的综合应用，属于中档题．。