高中数学竞赛加答案解析

绝密★启用前
2021年9月23日高中数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷II （非选择题）
一、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）
1. 已知集合A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}．若B ⊆A ，求实数m 的取值范围是_______．
2. 从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是________．
3. 平行四边形ABCD 中，AB →
⋅AD →
=5，点P 满足PB →
⋅PD →
=8，则PA →
⋅PC →
=
4. 空间四面体ABCD 中，AB =CD =2,AD =BC =2√3,AC =4，直线BD 与AC 所成的角为45∘，则该四面体的体积为________.
5. 已知偶函数f (x )，对任意的x 都有2f (x )+xf ′(x )>6，且f (1)=2，则不等式x 2f (x )>3x 2−1的解集为________.
6. 已知函数f(x)=log 2(√x 2+1−x)，若对任意的正数a ，b ，满足f(a)+f(3b −1)=0，则3
a +1
b 的最小值为( )
7. 在△ABC 中，ccosB +bcosC =2acosA ，AM →
=23
AB →
+13
AC →
，|AM →
|=1，其中a ，b ，
c 为角A ，B ，C 的对边，则b +2c 的最大值为( )
8. 执行如图所示的程序框图，输出n 为________.
试卷第2页，总17页
…
…
外
…
…
装
…
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
不
※
※
要
※
※
在
※
※
装
※
※
…
…
内
…
…
装
…
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
9. 已知关于x，y的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为ŷ=0.28x+0.16，则n−0.28m的值
为________.
10. 如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD=________．
11. 过p(1, 2)且A(2, 3)与和B(4, −5)的距离相等的直线方程是（）
12. 若圆C:x2+y2+6x−2y+n=0截直线l:(2+m)x+(2m−1)y−5m=0所得的
最短弦长为4√2，则实数n=________．
二、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分，）
13. 设函数f(x)=的定义域为A，集合B={x|2x>1}．
（1）求A∪B；
（2）若集合{x|a<x<a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．
14. 已知函数f (x )=log 2(1+2x +1+4x a)+bx(a,b ∈R). (1)若a =1，且f(x)是偶函数，求b 的值；
(2)若f (x )在(−∞,−1)上有意义.求实数a 的取值范围；
(3)若a =4，且A ={x |f (x )=(b +1)(x +1)}=⌀，求实数b 的取值范围.
15. 已知直线l 1:x +my +6=0，l 2：(m −2)x +3y +2m =0，求实数m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；
（2）l 1⊥l 2；
（3）l 1 // l 2；
16. 已知函数f (x )=√3sin (4x +2π
3
)−cos (4x +2π3
)+1
(1)求f (x )图象的对称中心；
(2)求f (x )在[π
12,π
3]上的值域．
17. 已知向量a →
=(1, 2)，b →
=(2, −2)． （1）设c →
=4a →
+b →
，求c →
的模；
（2）若a →
+λb →
与a →
垂直，求λ的值．
18. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面AB −CD ，DE =2BF =2AB
试卷第4页，总17页
………装…………○…………订…………○…………线…………○……请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………装…………○…………订…………○…………线…………○……（1）证明：平面ABF//平面CDE ．
（2）求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值．
19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40, 50),[50, 60),⋯,[80, 90),[90, 100]．
(1)求频率分布图中a 的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；
(3)从评分在[40, 60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50, 60)的概率．
20. 已知f(x)=√3(cos 2x −sin 2x)−cos (2x +π
2)的定义域为[0, π
2]． （1）求f(x)的最小值．
21. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1=b2=2,S5= 30, b4+2是b3与b5的等差中项．
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式；
(2)若c n=a n⋅b n,T n是数列{c n}的前n项和，求T n
试卷第6页，总17页
参考答案与试题解析 2021年9月23日高中数学
一、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.
【答案】 [−1,+∞） 【考点】
集合的包含关系判断及应用 【解析】
结合集合关系，找到端点的不等关系，解不等式即可． 【解答】
∵ 集合A ={x|−3≤x ≤4}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}．
要使B ⊆A ，①B =⌀满足题意，此时2m −1≥m +1，解得m ≥2； ②B ≠⌀，要使B ⊆A ，只要{2m −1≥−3
m +1≤42m −1<m +1，解得−1≤m <2；
所以若B ⊆A ，实数m 的取值范围是m ≥2或者−1≤m <2，即m ≥−1． 2. 【答案】
710
【考点】
古典概型及其概率计算公式 【解析】
基本事件总数n =C 52=10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m =C 22
+C 21C31=7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率． 【解答】
从2个男生、3个女生中随机抽取2人，
基本事件总数n =C 52
=10，
抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m =C 22
+C 21C31=7， ∴ 抽中的2人不全是女生的概率p =m n
=7
10．
3.
【答案】 3
【考点】
向量在几何中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 4. 【答案】 4√2
3
【考点】
球的表面积和体积
柱体、锥体、台体的体积计算
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
5.
【答案】
{x|x<−1或x>1或x=0}
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
函数奇偶性的性质
其他不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令g(x)=x2f(x)−3x2，
则g(1)=−1，
∴x2f(x)>3x2−1等价于g(x)>g(1)，
g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)−6x
=x[2f(x)+xf′(x)−6]，
∵2f(x)+xf′(x)>6，
∴当x=0时，g(0)=0>g(1)，满足题意；
当x>0时，g′(x)>0，
又g(−x)=x2f(−x)−3x2=x2f(x)−3x2=g(x)，
∴g(x)是偶函数，
∴g(x)>g(1)等价于|x|>1，
∴x>1或x<−1.
故答案为：{x|x<−1或x>1或x=0}.
6.
【答案】
12
【考点】
奇偶性与单调性的综合
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得a+3b＝1，最后根据基本不等式求最值．
【解答】
【解析】因为√x2+1−x>0恒成立，所以f(x)的（定义域为R，因为f(x)=
log
√x2+1+x f(−x)=log
2
(√x2+1+x)，所以f(x)=−f(−x)⋅f(x)为奇函数，又
试卷第8页，总17页
f (x )=lo
g 2(√x 2+1−x)在区间(−∞,0)内单调！递减，所以f (x )在R 上单调递减，因为f(a)+f(3b −1)=0，所以f (a )=f (1−3b )，所以a =1−3b ，即a +3b =1，所以3
a +1
b =(3
a +1
b )(a +3b )=
9b a
+a b +6≥2√9b a ×a b +6=6+6=12，当且仅当9b a =a
b ，
即a =12
,b =16
时等号成立，所以3
a
+1b
的最小值为12. 7. 【答案】
2√3
【考点】 正弦定理
两角和与差的正弦公式 三角函数值的符号 向量的模
基本不等式在最值问题中的应用 【解析】
2√3
【解答】
解：ccosB +bcosC =2acosA
⇒sinCcosB +sinBcosC =2sinAcosA ⇒sin(B +C)=2sinAcosA ⇒sinA =2sinAcosA ⇒cosA =1
2，A =π
3. ∵ AM →
=23AB →+13
AC →
∴ |AM →|2=|23AB →+13
AC →
|2
=49AB →2+49AB →⋅AC →+19AC →
2 =49c 2+49c ⋅b ⋅12+19b 2 =1
9(b 2+2bc +4c 2)=1， ∴ b 2+2bc +4c 2=9， ∴ (b +2c)2−2bc =9， 即(b +2c)2=9+2bc . 又9+2bc =9+b ⋅2c ≤9+(b+2c)2
4
，当且仅当b =2c 时等号成立，
∴ (b +2c)2≤9+
(b+2c)2
4
，
∴ (b +2c)2≤12，
∴ 0<b +2c ≤2√3，故b +2c 的最大值为2√3.. 8. 【答案】
11
【考点】 程序框图 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：n =1，S =2，执行如下：
n =1+2=3，S =2+23=10，S <2019，否；
n =3+2=5，S =10+25=32+10=42，S <2019，否； n =5+2=7，S =42+27=42+128=170，S <2019，否； n =7+2=9，S =170+29=170+512=682，S <2019，否； n =9+2=11，S =682+211=682+2048=2730，S >2019，是， 输出n =11，结束. 故答案为：11. 9.
【答案】 0.44
【考点】
求解线性回归方程 众数、中位数、平均数
【解析】
根据线性回归方程经过样本中心值进行求解即可. 【解答】
解：由题意可知：x ¯
=1+m+3+4+5
5
=
13+m 5
，
y ¯
=
0.5+0.6+n+1.4+1.5
5
=4+n 5
，
又线性回归直线方程为y ̂=0.28x +0.16， ∴
4+n 5
=0.28×
13+m 5
+0.16，
化简可得n −0.28m =0.44. 故答案为：0.44. 10.
【答案】 13
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法
【解析】
利用勾股定理可求出BC ，再利用面面垂直性质定理证得BD ⊥α，从而再利用勾股定理即可求出CD 【解答】
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解：连接BC ．因为AC 1AC =3,AB =A 所以BC =5
因为BD ⊥lα⊥βα∩β=1BD ⊂β，所以BD ⊥α 所以BD ⊥BC
在Rt △BDC 中，CD =√BD 2+BC 2=13 故答案为13 11.
【答案】
4x +y −6=0或3x +2y −7=0． 【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程 点到直线的距离公式
【解析】
由题意可知当直线平行于直线AB 时，或过AB 的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程． 【解答】
解：当直线平行于直线AB 时，或过AB 的中点时满足题意， 当直线平行于直线AB 时，所求直线的斜率为k =
−5−34−2
=−4，
故直线方程为y −2=−4(x −1)，即4x +y −6=0； 当直线过AB 的中点(3, −1)时，斜率为k =
2−(−1)1−3
=−3
2
，
故直线方程为y −2=−32
(x −1)，即3x +2y −7=0； 故所求直线方程是为：4x +y −6=0或3x +2y −7=0． 12.
【答案】 −15
【考点】
两点间的距离公式 直线与圆的位置关系 直线和圆的方程的应用 【解析】 无
【解答】
解：由题意得，圆C 的圆心为C (−3,1)，半径r =√10−n ， 直线(2+m )x +(2m −1)y −5m =0恒过点M (1,2)， 则|MC|=√(−3−1)2+(1−2)2=√17， 当MC ⊥l 时，所得弦最短，
此时弦长为2√r 2−|MC|2=2√r 2−17=4√2， 解得r =5，
所以√10−n =5，解得n =−15. 故答案为：−15.
二、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 10 分 ，共计90分 ） 13.
……○…………装…学校:___________姓……○…………装…【答案】
(1))[−6,+∞)； （2）[0,1] 【考点】 交集及其运算 并集及其运算
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）可解出A =[−6,2),B =(0,+∞)，然后进行并集的运算即可；
（2）可解出|A ∩B =(0,2)，根据集合{x|a <x <a +1}是AnB 的子集，即可得出{a ≥0a +1≤2，解出a 的范围即可． 【解答】
（1）由{6+x ≥0
2−x >0得，−6≤x <2
由2x ,1得，x >0
A =[−6,2)
B =(0,+∞) A ∪B =[−6,+∞) （2）A ∩B =(0,2)
：集合{x|a <x <a +1}是A ∩B 的子集； ∴ {a ≥0a +1≤2
解得0≤a ≤1 ．．a 的取值范围是[0,1] 14.
【答案】
（1）当a ＝1时，
，
若f(x)是偶函数，则f(x)−f(−x)＝0，即，
即2x +7bx ＝0，所以b ＝−1．
(2)若f (x )在(−∞,−1)上有意义，
则1+2x +1+4x a >0对于x ∈(−∞,−1)恒成立， 即a >
−2x +1−14x
=−(14)x
−(12)
x−1
对于x ∈(−∞,−1)恒成立，
令g (x )=−(14)x
−(12)
x−1
，则a >g (x )max ，
因为y =−(14)x
在x ∈(−∞,−1)单调递增，y =(12)x−1
在x ∈(−∞,−1)单调递减，
所以g (x )=−(14)x
−(12)
x−1
在x ∈(−∞,−1)单调递增，
试卷第12页，总17页
g (x )max <g (−1)=−4−4=−8，所以a ≥−8，
(3)当a =4时，由f (x )=(b +1)(x +1)可得log 2(1+2x +1+4x+1)−x =b +1， 由A =⌀可得方程log 2(12
x
+2x +2+2)=b +1无实根，
因为
12
x
+2x +2+2≥2√
1
2
x
×2x +2+2=6，当且仅当
1
2
x
=2x +2即x =−1时等号成立，
所以log 2(
12
x
+2x +2+2)≥log 26，
所以b +1<log 26，即b <log 26−1=log 23， 故实数b 的取值范围(−∞,log 23) 【考点】
函数奇偶性的性质
指数函数的单调性与特殊点 其他不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用 【解析】
（1）推导出对任意x ∈(−∞,−1),a >−(14)x
−(12)
x−1
恒成立，令g (x )=−(14
)x
−
(12)
x−1
，由指数函数单调性得g (x )max <g (−1)=−8即求出实数a 的取值范围；
（2）当a =4时，f (x )=(b +1)(x +1)≈log 2(1+2x+1+4x+1)−x =b +1=b +1=b +2x+2+2x+2+1，由此能求出实数b 的取值范围． 【解答】 略 略 略 15.
【答案】 解：（1）当l 1和l 2相交时，1×3−(m −2)m ≠0，
由1×3−(m −2)m =0，m 2−2m −3=0，∴ m =−1，或m =3，∴ 当m ≠−1且m ≠3时，l 1和l 2相交．
（2）l 1⊥l 2时，1×(m −2)+m ×3=0，m =1
2．∴ 当m =1
2时，l 1⊥l 2． （3）∵ m =0时，l 1不平行l 2，∴ l 1 // l 2⇔m−21=3m ≠
2m 6
，解得m =−1．
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系 直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
（1）利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于0．
（2）当两条直线垂直时，斜率之积等于−1，解方程求出m 的值．
（3）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m 的值．
【解答】 解：（1）当l 1和l 2相交时，1×3−(m −2)m ≠0，
由1×3−(m −2)m =0，m 2−2m −3=0，∴ m =−1，或m =3，∴ 当m ≠−1且m ≠3时，l 1和l 2相交．
（2）l 1⊥l 2时，1×(m −2)+m ×3=0，m =1
2
．∴ 当m =1
2
时，l 1⊥l 2．
（3）∵ m =0时，l 1不平行l 2，∴ l 1 // l 2⇔m−21
=3m ≠
2m 6
，解得m =−1．
16. 【答案】
解：（①f (x )=√3sin (4x +
2π
3
)−cos (4x +2π
3
)+1=2sin (4x +2π3
)+1=2cos 4x +
1 …44x =kπ+π2
k ∈Z.得x =kπ4
+π
8,k ∈Z
所以f (x )图象的对称中心为(
kπ4
+π8
,1),k ∈Z
（2）因为x ∈[π
12
,π]π3]，所以π3
≤4x ≤
1π3
所以−1≤cos 4x ≤1
2
，则−1≤f (x )≤2即
f (x )在[π12,π
3
]上的值域是[−1,2]
【考点】
三角函数的周期性及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：（①f (x )=√3sin (4x +
2π
3
)−cos (4x +2π
3
)+1=2sin (4x +2π3
)+1=2cos 4x +
1 …44x =kπ+π
2 k ∈Z.得x =kπ4
+π
8,k ∈Z 所以f (x )图象的对称中心为(kπ
4+π
8,1),k ∈
Z
（2）因为x ∈[π
12,π]π3]，所以π
3≤4x ≤1π
3
所以−1≤cos 4x ≤1
2，则−1≤f (x )≤2即f (x )在[π
12,π
3]上的值域是[−1,2] 17. 【答案】
解：（1）∵ 向量a →
=(1, 2)，b →
=(2, −2)， ∴ c →
=4a →
+b →
=(4, 8)+(2, −2)=(6, 6)， ∴ |c|=6√2
（2）a →
+λb →
=(1,2)+(2λ,−2λ)=(1+2λ, 2−2λ)， ∵ a →
+λb →
与a →
垂直，
试卷第14页，总17页
∴ 1+2λ+2(2−2λ)=0， 解得λ=5
2．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】
（1）由向量a →
=(1, 2)，b →
=(2, −2)，知c →
=4a →
+b →
=(4, 8)+(2, −2)=(6, 6)． （2）a →
+λb →
=(1,2)+(2λ,−2λ)=(1+2λ, 2−2λ)，由a →
+λb →
与a →
垂直，知1+2λ+2(2−2λ)=0，由此能求出λ的值． 【解答】
解：（1）∵ 向量a →
=(1, 2)，b →
=(2, −2)，
∴ c →
=4a →
+b →
=(4, 8)+(2, −2)=(6, 6)，∴ |c|=6√2 （2）a →
+λb →
=(1,2)+(2λ,−2λ)=(1+2λ, 2−2λ)， ∵ a →
+λb →
与a →
垂直， ∴ 1+2λ+2(2−2λ)=0， 解得λ=5
2． 18.
【答案】
（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以DE//BF 因为DE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ，所以BF//平面CDE ． 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB//CD.
因为CD ⊂平面CDE ，ABC ⊄平面CDE ，所以AB//平面CDE ．
因为AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，且AB ∩BF =B ，所以平面ABF//平面CDE ．
（2）平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值α为√66
．
【考点】
平面与平面垂直的判定 用空间向量求平面间的夹角
【解析】
评分细则：在第一问中，也可以建立空间直角坐标系，分别求出平面ABF 和平面CDE 的法向量，通过证明平面ABF 和平面CDE 的法向量平行，从而得到平面ABF//平面CDE ；（2）在第二问中，也可以先找出平面ABF 和平面CEF 所成的锐二面角θ，再通过余弦定理求出cos θ（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分． 【解答】
（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以DE//BF
…………装…………○…………订…………○…………线…………○……学校:___________姓名：________班级：________考号：________
…………装…………○…………订…………○…………线…………○……因为DE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ，所以BF//平面CDE ． 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB//CD.
因为CD ⊂平面CDE ，ABC ⊄平面CDE ，所以AB//平面CDE ．
因为AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，且AB ∩BF =B ，所以平面ABF//平面CDE ． （2）：由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，则以D 为原点，分别以DA →
DC →
DE →
的方向为x,y,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz
设AB =1，则A (1,0,0),C (0,1,0),E (0,0,2),F (1,1,1)，从而EF →
=(1,1,−1),CF →
=(1,0,1) 设平面CEF 的法向量为m =(x,y,z )则{m ⋅CF →
=x +z =0,
m ⋅EF →
=x +y −z =0
令x =1，得m =
(1,−2,−1)．
平面ABF 的一个法向量为n =(1,0,0)． cos ⟨n,m⟩=n⋅m
|n||m|=1√
6
=√66，即平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值α为√66
． 19.
【答案】
解：(1)因为(0.004+a +0.018+0.022×2+0.028)×10=1， 所以a =0.006．
(2)由频率分布直方图知，
50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)×10=0.4． 所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4． (3)受访职工中评分在[50, 60)的有： 50×0.006×10=3（人），记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40, 50)的有： 50×0.004×10=2（人），记为B 1，B 2，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 它们是Ω={(A 1, A 2), (A 1, A 3), (A 2, A 3)，(A 1, B 1)，
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(A 1, B 2)，(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 3, B 1)，(A 3, B 2)，(B 1, B 2)}． 又因为所抽取2人的评分都在[50, 60)的结果有3种， 故所求的概率为P =3
10． 【考点】
频率分布直方图 频数与频率 用频率估计概率
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(Ⅰ)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a ； (Ⅱ)对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
(Ⅲ)求出评分在[40, 60]的受访职工和评分都在[40, 50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答． 【解答】
解：(1)因为(0.004+a +0.018+0.022×2+0.028)×10=1， 所以a =0.006．
(2)由频率分布直方图知，
50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)×10=0.4． 所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4． (3)受访职工中评分在[50, 60)的有： 50×0.006×10=3（人），记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40, 50)的有： 50×0.004×10=2（人），记为B 1，B 2，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 它们是Ω={(A 1, A 2), (A 1, A 3), (A 2, A 3)，(A 1, B 1)，
(A 1, B 2)，(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 3, B 1)，(A 3, B 2)，(B 1, B 2)}． 又因为所抽取2人的评分都在[50, 60)的结果有3种， 故所求的概率为P =310． 20. 【答案】
解．（1）f(x)=√3(cos 2x −sin 2x)−cos (2x +π
2)=√3cos 2x +sin 2x =2sin (2x +π
3) 由0≤x ≤π
2，得π
3≤2x +π
3≤
4π3
，
所以函数f(x)的最小值为2×(−
√3
2
)=−√3，此时x =π
2
．
（2）△ABC 中，A =45∘，b =3√2，a =6，故sin B =b sin A a
=
3√2×
√2
2
6
=1
2（正弦定理），
再由b <a 知B <A =45∘，故B =30∘，于是C =180∘−A −B =105∘，从而△ABC 的面S =1
2ab sin C =9(√3+1)． 【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦定理 【解析】
（1）先化简的解析式，根据x 的范围确定2x +π
3的范围，从而根据正弦函数的性质确定函数的最小值．
（2）先由正弦定理求得sin B ，进而求得B ，进而求得C ，利用三角形面积公式求得答案． 【解答】
解．（1）f(x)=√3(cos 2x −sin 2x)−cos (2x +π
2)=√3cos 2x +sin 2x =2sin (2x +π
3) 由0≤x ≤π
2，得π
3≤2x +π
3≤
4π3
，
所以函数f(x)的最小值为2×(−
√3
2
)=−√3，此时x =π
2．
（2）△ABC 中，A =45∘
，b =3√2，a =6，故sin B =b sin A a
=
3√2×
√2
2
6
=1
2
（正弦定理），
再由b <a 知B <A =45∘，故B =30∘，于是C =180∘−A −B =105∘，从而△ABC 的面积S =1
2ab sin C =9(√3+1)． 21.
【答案】
解：(1)a n =2+2(n −1)=2n b n =2n−1
(2)T n =2+(n −1)⋅2n+1 【考点】 数列的求和 等比数列的性质 等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 等差数列的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略。