2020版高考数学 三角函数的图象与性质第2讲三角恒等变换与解三角形练习(文)(含解析)

第2讲 三角恒等变换与解三角形
A 级 基础通关
一、选择题
1．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3
B.33
C ．－
33
D ．－ 3
解析：因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°
1－tan 70°tan 50°＝－3，
即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3. 答案：D
2．(2019·长郡中学质检)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.
4－2
6
B.4＋26
C.718
D.23
解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，知π4＜α＋π4＜3π4.
又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223. 故sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝223×22－13×22＝4－26.
答案：A
3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5
5
，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2
B.30
C.29
D ．2 5
解析：因为cos C 2＝5
5
，
所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×(55)2－1＝－35
.
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12
－2×5×1×(－35)
＝32，
所以AB ＝4 2. 答案：A
4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，
a cos B ＋
b cos A
c
＝2cos C ，则c ＝( )
A ．27
B ．2 3
C ．4
D ．3 3
解析：由正弦定理及a cos B ＋b cos A
c
＝2cos C ，
得
sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin （A ＋B ）
sin C
＝1，
从而2cos C ＝1，则C ＝60°. 又S △ABC ＝1
2ab sin C ＝23，知ab ＝8.
又a ＋b ＝6，
所以c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos 60°＝(a ＋b )2
－3ab ＝12， 故c ＝2 3. 答案：B
5．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，发现A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测得B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( )
A ．206海里
B ．406海里
C ．20(1＋3)海里
D ．40海里
解析：连接AB .由题意可知CD ＝40海里，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∠ACD ＝30°，所以∠CAD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得AD
sin 30°
＝
40
sin 45°
，
所以AD ＝202(海里)．
在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°. 所以BD ＝2CD ＝40 2. 在△ABD 中，由余弦定理得
AB ＝（202）2＋（402）2－2×202×402×cos 60°＝206(海里)．
答案：A
二、填空题
6．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
解析：因为sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②
所以①2
＋②2
得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， 所以sin αcos β＋cos αsin β＝－1
2，
所以sin(α＋β)＝－1
2.
答案：－1
2
7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．
解析：根据正弦定理可得sin B sin A ＋sin A cos B ＝0， 即sin A (sin B ＋cos B )＝0，
显然sin A ≠0，所以sin B ＋cos B ＝0，故B ＝3π4.
答案：3π4
8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当BC ＝1时，△ABC 的面积等于________．
解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 所以a ∶b ∶c ＝2∶3∶4. 令a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ， 则cos C ＝4t 2
＋9t 2
－16t 2
12t 2
＝－1
4， 所以sin C ＝
154
. 当BC ＝1时，AC ＝3
2
，
所以S △ABC ＝12×1×32×154＝315
16.
答案：－14 315
16
三、解答题
9．(2019·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝2
3，求c 的值；
(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．
解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝2
3
，
由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
，
即23＝（3c ）2
＋c 2
－（2）2
2×3c ×c ，解得c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B 2b
，
由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin B
b
，
所以cos B ＝2sin B .
从而cos 2
B ＝(2sin B )2
，即cos 2
B ＝4(1－cos 2
B )， 故cos 2
B ＝45
.
因为sin B ＞0，所以cos B ＝2sin B ＞0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B
＝25
5
. 10．(2019·衡水中学检测)在△ABC 中，顶点A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝
2b ，c sin B ＝b cos ⎝
⎛⎭⎪⎫C －π6.
(1)求角C ；
(2)若AD 是BC 上的中线，延长AD 至点E ，使得DE ＝2AD ＝2，求E ，C 两点的距离．
解：(1)在△ABC 中，由c sin B ＝b cos ⎝
⎛⎭⎪⎫C －π6及正弦定理得sin C ·sin B ＝sin
B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
32cos C ＋12sin C ，因为sin B ＞0，
化简得12sin C －3
2
cos C ＝0，
即tan C ＝3，
因为0＜C ＜π，所以C ＝π
3
.
(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝3b 2
，
所以a 2＝b 2＋c 2
，故A ＝π2
，即△ABC 是直角三角形．
所以△ACD 是等边三角形，且AD ＝CD ＝AC ＝1，∠CAD ＝π
3，DE ＝2，所以AE ＝3.
在△ACE 中，CE 2＝AE 2＋AC 2
－2AE ·AC cos π3＝7，
所以CE ＝7，即E ，C 两点的距离为7.
B 级 能力提升
11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a ＋b ＋c ＝3，且c sin A cos B ＋a sin B cos C ＝
3
2
a ，则△ABC 的面积为( ) A.
34或334 B.33
4 C.233
D.
34
解析：由c sin A cos B ＋a sin B cos C ＝
3
2
a 及正弦定理， 得sin C sin A cos B ＋sin A sin B cos C ＝3
2
sin A ， 在△ABC 中，sin A ≠0，
从而sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A ＝32
， 所以A ＝π3或A ＝2π
3.
若A ＝2π
3
，则a ＞b 且a ＞c ，
所以2a ＞b ＋c 与a ＝1，且b ＋c ＝2矛盾． 因此A ＝π
3
.
由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2
－3bc ，
所以1＝4－3bc ，则bc ＝1.
故S △ABC ＝12bc sin A ＝3
4.
答案：D
12．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知a sin
A ＋C
2
＝
b sin A .
(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C
2
＝sin B sin A .
因为sin A ≠0，所以sin
A ＋C
2
＝sin B .
由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C
2＝cos B
2
，
故cos B 2＝2sin B 2cos B
2
. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1
2
，因此B ＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝3
4
a . 又由(1)知A ＋C ＝120°， 故由正弦定理得a ＝
c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1
2
. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°.结合A ＋C ＝120°， 所以30°＜C ＜90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜3
2.
因此△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3
8
，32.。