【走向高考】2020年高考数学总复习 2-10函数模型及其应用课后作业 北师大版

【走向高考】2020年高考数学总复习 2-10函数模型及其应用课后作业
北师大版
一、选择题
1．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝x2B．y＝1 2 x2
C．y＝
3
2
x2D．y＝
3
4
x2
[答案] D
[解析]y＝1
2
·x·x·sin60°＝
3
4
x2.
(理)2020年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2020年7月1日可取款( )
A．a(1＋x)5元B．a(1＋x)6元
C．a＋(1＋x)5元D．a(1＋x5)元
[答案] A
[解析]因为年利率按复利计算，所以到2020年7月1日可取款a(1＋x)5.
2．(2020·商丘一模)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
[答案] B
[解析]依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴当x＝10时，S max＝45.6(万元)．
3．某市2020年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )
A．2020年B．2020年
C．2020年D．2020年
[答案] C
[解析] 设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n
，经济适用房面积为b n ＝25＋10n ，由2b n >a n
得：2(25＋10n )>100(1＋5%)n
利用已知条件解得n >3，所以在2020年时满足题意．
4．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中
n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单
位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，n ≤10，
100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，
300，20<n ≤25，400，n >25.
现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )
A ．600元
B ．900元
C ．1600元
D ．1700元
[答案] D
[解析] ∵k (18)＝200(元)，
∴f (18)＝200×(18－10)＝1600(元)． 又∵k (21)＝300(元)，
∴f (21)＝300×(21－10)＝3300(元)， ∴f (21)－f (18)＝3300－1600＝1700(元)．
5．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：
A ．200
B ．220
C ．240
D ．260
[答案] A
[解析] 由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2
t
20 ，令n ＝1000，得2
t
20
＝1000，
又210
＝1024，所以时刻t 最接近200分．
6．(2020·北京理，6)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )
＝⎩⎪⎨⎪⎧
c x ，x <A ，c A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时
15分钟，那么c 和A 的值分别是( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
[答案] D
[解析] 本题主要考查了分段函数的理解及函数解析式的求解． 依题意：当x ≤A 时，f (x )单调递减；当x ≥A 时，f (x )恒为常数． 因此，
c
4
＝30，
c
A
＝15，解得：c ＝60，A ＝16，故选D. 二、填空题
7．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低1
3，则现
在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元．
[答案] 2400
[解析] 设经过3个5年，产品价格为y ，则y ＝8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133
＝8100×827＝2400(元)．
8．(2020·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2
，则总利润L (Q )的最大值
是________万元．
[答案] 2500
[解析] 总利润L (Q )＝40Q －120Q 2
－10Q －2 000
＝－120
(Q －300)2
＋2500.
故当Q ＝300时，总利润最大，为2500万元． 三、解答题
9．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．
[解析] 设每个提价为x 元(x ≥0)，利润为y 元，每天销售总额为(10＋x )(100－10x )元，进货总额为8(100－10x )元，显然100－10x >0，即x <10，
则y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )
＝(2＋x)(100－10x)
＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10)．
当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.
一、选择题
1．(2020·广东华南师大附中模拟)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)(如f(2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的四个图像中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
[答案] C
[解析]本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力，则开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误，故选C.
2．(2020·长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有( ) A．4个B．5个
C．6个D．7个
[答案] A
[解析]当开放一个窗口时，N＋40M＝40K；①
当开放两个窗口时，N＋15M＝30K. ②
由①、②得N＝60M，K＝5
2 M.
设8分钟后不出现排队现象需同时开放x个窗口，则N＋8M≤8x·K，
∴60M＋80M≤8x·5
2
M，即68M≤20Mx.
∴x ≥3.8，又∵x ∈N ＋， ∴至少需同时开放4个窗口． 二、填空题
3．如下图，书的一页的面积为600cm 2
，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
[答案] 30cm,20cm
[解析] 设书的长为a ，宽为b ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486.
4．(2020·湖北文，15)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
[答案] 6 10000
[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力． (1)M ＝lg1000－lg0.001＝3＋3＝6.
(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A 9，A 5，则9＝lg A 9－lg A 0,5＝lg A 5－lg A 0，两式相减得4＝lg A 9－lg A 5＝lg A 9A 5，即A 9A 5
＝104
，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
三、解答题
5.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如下图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．
(1)当t ＝4时，求s 的值；
(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．
[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系． [解析] (1)由图像可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝1
2
×4×12＝24(km)．
(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32
t 2
，
当10<t ≤20时，s ＝1
2×10×30＋30(t －10)＝30t －150；
当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2
＋70t －
550.
综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3
2t 2， t ∈[0，10]，
30t －150， t ∈10，20]，
－t 2
＋70t －550， t ∈20，35].
(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32
×102
＝150<650.
t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.
∴当t ∈(20,35]时，令－t 2
＋70t －550＝650.
解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30， 所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．
6．(文)某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R (x )＝5x －
x 2
2
(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
[解析] (1)当x ≤5时，产品能售出x 台；当x >5时，只能售出5百台，故利润函数为L (x )＝
R (x )－C (x )
＝
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x －x 2
2－0.5＋0.25x 0≤x ≤5
⎝
⎛⎭⎪⎫5×5－52
2－0.5＋0.25x
x >5
即L (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
4.75x －x 2
2－0.5 0≤x ≤5
12－0.25x x >5
(2)当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －x 2
2－0.5，
当x ＝4.75时，L (x )max ＝10.78125万元． 当x >5时，L (x )<10.75. ∴生产475台时利润最大． (3)由⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤54.75x －x 2
2－0.5≥0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x >512－0.25x ≥0
得，0.1≤x ≤5或5<x ≤48，
∴产品年产量在10台到4800台时，工厂不亏本．
(理)(2020·福建理，18)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝
a x －3
＋10(x －6)2
，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价
格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利
润最大．
[解析](1)因为x＝5时，y＝11，所以a
2
＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝
2
x－3
＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[2
x－3
＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
7．某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．
[解析](1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为
y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝600
x
＋6x＋594＝2
600
x
·6x＋594＝714.
当且仅当600
x
＝6x，即x＝10时，取得等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．。