材料力学第2章轴向拉伸与压缩

图2.10
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试验在拉伸试验机(见图2.11)上进行，试验中把试件装夹在试验机上，使试 件受到自零缓慢渐增的拉力F作用，于是在试件标距l长度内产生相应的变形 Δ l，变形记录装置记录试件变形，把试验过程中的拉力F与对应的变形Δ l 绘制成F Δ l曲线，称为拉伸图。
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屈服阶段，在经过磨光的试件表面上可看到与试件轴线大致成45°的条纹( 见图2.14)，这是由于材料内部晶格之间产生滑移而形成的，通常称为滑移 线。因为拉伸时在与杆轴线成45°的斜截面上，切应力值最大，可见屈服现 象与最大切应力有关。
图2.14
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图2.1
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这些受拉或受压的杆件虽然外形各有差异，加载方式也并不相同。但它们的 共同特点是：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合(受力特征) ，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短，即杆件任意两横截面沿杆件轴线方 向产生相对的平行移动(变形特征)，这种变形形式称为轴向拉伸和轴向压缩 。若把这些杆件的形状和受力情况进行简化，可简化成如图2.2所示的受力 简图，图中用虚线表示变形后的形状。
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4)局部变形阶段 应力达到强度极限后，变形就集中在试件某一局部区域内，截面横向尺寸急 剧缩小，形成颈缩现象(见图2.16)。由于颈缩部分的横截面面积迅速减小， 使试件继续伸长所需要的拉力也相应减小。最后试件在颈缩处被拉断(见图 2.17)。
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其中，σ 为杆横截面上的正应力。将斜截面的全应力pα 分解为垂直于斜截面 的正应力σ α 和沿斜截面的切应力 ，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，σ α 和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 面上的应力也就不同。当α =0时， ， 即横截面上的正应力是所有截 面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
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图2.11
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(1)低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢的统称。根据 材料成分不同和力学性能差异，低碳钢又有许多不同 牌号，如Q235等。这类钢材在工程中使用较广，在拉 伸试验中表现出的力学性能也最为典型。
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2.2.2轴力图 当杆件受到多个轴向外力作用时，不同横截面上的轴力可能各不相同。表示 轴力沿杆件轴线变化的图形称为轴力图。绘制轴力图时，需建立N—x坐标系 ，横坐标x表示横截面的位置，纵坐标N表示相应截面上轴力的数值。习惯上 将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧。 下面通过例题介绍轴力图的绘制。
图2.6
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(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压 时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力 为负。
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N称为轴力，也常用FN表示。轴力的符号规则是：当轴力的方向与截面外法 线方向一致时，轴力为正，杆件发生轴向拉伸变形；反之，轴力为负，杆件 发生轴向压缩变形。图2.3中杆件的轴力为正。 在计算某一截面的轴力时，也可采用“设正法”。即先假设该截面轴力为正 ，而后通过平衡方程求出轴力。结果为正，表明实际轴力方向与假设方向一 致，该轴力为拉力；结果为负，表明实际轴力方向与假设方向相反，该轴力 为压力。“设正法”不仅可以用于轴力的计算，也可用于其他变形形式的内 力计算。
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图2.2
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2.2轴力与轴力图 2.2.1轴力 以如图2.3(a)所示的拉杆为例，沿横截面m—m将拉杆截分为两段，如图 2.3(b)所示。由左段(或右段)的平衡条件可知，该截面上分布内力的合力必 为一个与杆轴线重合的力N，且有
图2.3
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2)屈服阶段 当应力超过b点增加到某一数值时， 曲线上出现一段接近水平线的微小波 动线段，应变显著增加而应力基本保持不变，材料暂时失去抵抗变形的能力 ，这种现象称为屈服(或流动)。在屈服阶段内的最高点和最低点分别称为上 屈服点和下屈服点，上屈服点所对应的应力值与试验条件相关，下屈服点则 比较稳定，通常把下屈服点c所对应的应力σ s称为屈服极限(或流动极限)。
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图2.5
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(2)物理关系 根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力σ 引起，故可推知横 截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力σ 为均匀分布 ，如图2.6所示。
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(1)几何关系 取一根等截面直杆未受力之前，在杆的中部表面上画许多与杆轴线平行的纵 线和与杆轴线垂直的横线；然后在杆的两端施加一对轴向拉力F，使杆产生 伸长变形，如图2.5所示。由平面假设可知，两个横截面间所有纵向“纤维 ”的伸长是相同的，而这些“纤维”的原长相同，于是可推知它们的线应变 ε 相同，这就是变形的几何关系。
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2.4.1材料拉伸时的力学性能 拉伸试验是研究材料力学性能的常用基本试验。对于金属材料，圆截面的哑 铃状标准试件如图2.10所示。在试件中间等直部分取一段长度为l的工作长 度，称为标距。对于圆截面试件，常见的符合国家标准规定的试件标距通常 为l=5d和l= 10d。
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例2.1一等直杆及其受力情况如图2.4(a)所示。试绘制杆的轴力图。
图2.4
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解如图2.4(b)所示，由杆的平衡方程
可求得A端支座反力，即
在求AB段内任一横截面上的轴力时，应用截面法研究截开后的左段杆，如图
2.4(c)所示。假定轴力为正，由平衡方程
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
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2.3拉(压)杆的应力与圣维南原理 2.3.1横截面上的应力 在轴向拉压杆的横截面上，由于只有法向内力(即轴力N)的作用，因此，对 应的横截面上的应力是法向应力(即正应力σ )。但要计算横截面上应力的大 小，需要先确定横截面上的应力分布规律。 而应力的分布和杆的变形情况 有关，因此，需通过实验观察找出变形的规律，即变形的几何关系；然后利 用变形和力之间的物理关系得到应力分布规律；最后由静力学关系方可得到 横截面上正应力的计算公式。以下就从这3个方面进行分析。
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图2.8
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由于杆内各点的变形是均匀的，因而同一斜截面上的应力也是均匀分布的。 设斜截面面积为Aα ，以pα 表示斜截面的全应力(见图2.8(c))，于是有 而斜截面面积与杆件横截面面积A的关系为
将式(c)代入式(b)，并结合式(a)，得
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可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
图2.15
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3)强化阶段 超过屈服阶段后，在 曲线上cd段，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使 它继续变形就必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。 曲线的最高点 d所对应的应力σ b称为强度极限，是材料能承受的最大应力，它是衡量材料 性能的另一个强度指标。
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前面的分析及结论是建立在平面假设成立的基础之上。当拉压杆件端面承受 集中载荷或其他非均布载荷时，在靠近外力作用位置的区域，变形较为复杂 ，平面假设不成立，应力不再是均匀分布。研究表明：静力等效的不同加载 方式只对加载处附近区域的应力分布有影响，离开加载处较远的区域，其应 力分布没有显著的差别(见图2.7)，这一论断称为圣维南原理，它已被大量 实验所证实。
可求得AB段内任一横截面
上的轴力为
结果为正，说明N1的实际方向与假设方向相同。
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同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
图2.7
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2.3.2斜截面上的应力 前面讨论了轴向拉压时杆件横截面上的应力。但 不同材料的实验表明，拉(压)杆的破坏并不总是 沿着横截面。因此，为全面了解杆件在不同方位 截面上的应力情况，还需研究杆件斜截面上的应 力。
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承受轴向拉伸的等直杆如图2.8(a)所示，现 在研究与横截面成α 角的任一斜截面k—k上 的应力情况。用Nα 表示k—k斜截面上的内力 (见图2.8(b))，由截面法可得
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应力超过比例极限以后， 曲线呈微弯，但只要不超 过b点，材料仍是弹性的，即试件仍处于弹性变形阶段 ，卸载后变形能够完全恢复。b点对应的应力σ e称为 弹性极限，它是材料只产生弹性变形的最大应力。由 于一般材料a，b两点相当接近，工程中对比例极限和 弹性极限并不严格区分。
应力σ 与正应变ε
σ ε 曲线，如图2.13
所示。
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图2.12
图2.13
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根据试验结果，低碳钢的力学性能大致如下： 1)弹性阶段 图2.13中 曲线的Oa段为直线，这时应力与应变成线性关系，即
这就是拉伸与压缩的胡克定律。图中a点对应的应力σ p称为比例极限，它是 应力与应变成线性关系的最大应力。式中比例常数E称为材料的弹性模量或 杨氏模量，图2.13中α 角的正切即直线Oa的斜率等于材料的弹性模量E。
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第2章 轴向拉伸与压缩
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2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例 生产、生活中经常遇到承受拉伸或压缩的杆件。 例如，内燃机的连杆(见图2.1(a))，油压千斤顶 的顶杆(见图2.1(b))、桁架中的杆件、起吊重物 的钢索、厂房的立柱，等等。
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图2.12为低碳钢的F Δ l曲线，与试件的几何尺寸相关。为了消除试件尺寸
的影响，通常将拉力F除以试件原始的横截面积A得到正应力σ =FA，而将变
形量Δ l除以试件原始的标距长度l，得到正应变ε =Δ ll(有关轴向拉压时正
应变ε 的计算和描述方法，将在2.7节中详细讨论)。这样就可得到材料的正
当应力达到屈服极限时，材料将发生明显 的塑性变形。工程中，构件产生较大的塑 性变形后就不能正常工作。因此，屈服极 限常作为这类构件是否破坏的强度指标。
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值得注意的是，并不是所有塑性材料都有明显的屈服阶段。有些材料， 如黄铜、铝合金等，没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服极限的塑 性材料，可以将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标，用σ p0.2表 示，称为名义屈服极限，如图2.15所示。
图2.9页 退出来自材料力学出版社 理工分社
2.4典型材料在拉伸与压缩时的力学性能 构件的强度不仅与应力有关，而且与制作构件所采用的材料的力学性能也有 很大关系。材料的力学性能是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方 面的特性。这里主要介绍材料在常温、静载下的拉伸和压缩试验，以及通过 试验所得到的一些典型材料的力学性能。