2018-2019学年湖北省黄冈市八年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年湖北省黄冈市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）
A．l1B．l2C．l3D．l4
2．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于点E，则有（）
A．DE＝DB B．DE＝AE C．AE＝BE D．AE＝BD
3．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
4．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）
A．144°B．84°C．74°D．54°
5．下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）
A．一个角是45°的两个等腰三角形
B．腰长相等的两个等腰直角三角形
C．两个等边三角形
D．各有一个角是40°，腰长都是8cm的两个等腰三角形
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）
A．20°B．35°C．40°D．70°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP 最小值的是（）
A．AC B．AD C．BE D．BC
8．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝75°，则∠A n﹣1A n B n﹣1的度数为（）
A．度B．度C．度D．度
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为．
10．点（2019，﹣2018）关于x轴对称的点的坐标为．
11．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．
12．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是．
13．我们知道：“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是时，它们也会全等；当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是时，它们一定不全等．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AD是△ABC的角平分线，若CD＝，则△ABD的面积为．
15．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5＝．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．用一条长为20cm的细铁丝能围成一边长为4cm的等腰三角形吗？若能，请求出各边长；若不能，请说明理由．18．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．
19．已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：
（1）∠EGH＞∠ADE；
（2）∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF．
20．在如图所示的正方形网络中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网络的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）点B关于x轴的对称点B2的坐标是；
（4）△ABC的面积为．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝°．
22．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长；
（2）若∠CBD＝30°，试求△ABC三个角的度数．
23．如图①，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE＝∠AED．（1）试说明∠BAD＝2∠CDE；
（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
24．如图①，平面直角坐标系xOy中，若A（0，a）、B（b，0）且（a﹣4）2+＝0，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．
（1）求C点坐标；
（2）如图②过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；
（3）如图③在（1）中，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A 点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请直接写出它们的比值（不需要解答过程或说明理由）．
2018-2019学年湖北省黄冈市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【解答】解：该图形的对称轴是直线l3，
故选：C．
2．【解答】解：连接CE，
∵DE⊥BC，∠A＝90°，
∴∠A＝∠CDE＝90°，
在Rt△CAE和Rt△CDE中，
，
∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL），
∴AE＝DE，故B选项正确；
在R△BED中，BE＞DE，即BE＞AE，故C选项错误；
根据已知不能得出BD＝DE，故A选项错误；
根据已知不能得出BD＝DE，由DE＝AE，即不能推出BD＝AE，故D选项错误．
故选：B．
3．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，
则x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
∴这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
4．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC＝＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝36°，
正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝＝120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故选：B．
5．【解答】解：A、因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；
B、因为符合SAS，故本选项正确；
C、因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；
D、因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．
故选：B．
6．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
7．【解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选：C．
8．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A＝75°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝75°，
∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A2A1＝＝；
同理可得，
∠B2A3A2＝＝，∠B3A4A3＝，
∴∠A n﹣1A n B n﹣1＝．
故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．【解答】解：设正多边形的一个外角等于x°，
∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，
∴这个正多边形的一个内角为：3x°，
∴x+3x＝180，
解得：x＝45，
∴这个多边形的边数是：360°÷45°＝8．
故答案为：8．
10．【解答】解：点（2019，﹣2018）关于x轴对称的点的坐标为：（2019，2018）．故答案为：（2019，2018）．
11．【解答】解：添加AB＝ED，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB＝ED．
12．【解答】解：∵∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A＝40°，
故答案为：40°．
13．【解答】解：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1．求证：△ABC≌△A1B1C1．
证明：过B作BD⊥AC于D，过B1作B1D1⊥A1C1于D1，
则∠BDA＝∠B1D1A1＝∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，
在△BDC和△B1D1C1中，
，
∴△BDC≌△B1D1C1，
∴BD＝B1D1，
在Rt△BDA和Rt△B1D1A1中
，
∴Rt△BDA≌Rt△B1D1A1（HL），
∴∠A＝∠A1，
在△ABC和△A1B1C1中
，
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）．
可得：当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等，
同理可得：当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等，
如图：△ACD与△ACB中，
CD＝CB，AC＝AC，∠A＝∠A，
但：△ACD与△ACB不全等．
，
故当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是钝角三角形或直角三角形时，它们一定不全等．故答案为：直角三角形或钝角三角形，钝角三角形或直角三角形．
14．【解答】解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝CD＝3．
∴△ABD的面积为×5×＝．
故答案是：．
15．【解答】解：如图所示：∠1+∠2+∠6＝180°，∠3+∠4+∠7＝180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7＝360°，
∴∠6+∠7＝140°，
∴∠5＝180°﹣（∠6+∠7）＝40°．
故答案为：40°．
16．【解答】解：①如图一，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；
②如图二，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．【解答】解：用一根20cm的绳子能围成有一边长为4cm的等腰三角形．根据已知条件，知等腰三角形的两腰的长度是：
（20﹣4）÷2＝8（cm）
∵4+8＝12＞8；
∴用一根20cm的绳子能围成有一边长为4cm的等腰三角形，各边为4，8，8．
18．【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AC＝DF．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF．
19．【解答】证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角，∴∠EGH＞∠B，
又∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE．（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGH＞∠ADE；
（2）∵∠BFE是△AFE的外角，
∴∠BFE＝∠A+∠AEF，
∵∠EGH是△BFG的外角，
∴∠EGH＝∠B+∠BFE．
∴∠EGH＝∠B+∠A+∠AEF，
又∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGH＝∠ADE+∠A+∠AEF．
20．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）△A1B1C1如图所示；
（3）点B关于x轴的对称点B2的坐标是（﹣2，﹣1）；
（4）S△ABC＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×3×2＝4，故答案为（﹣2，﹣1），4；
21．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝75°，
故答案为：75．
22．【解答】解：（1）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，AE＝BE，
∵△BCD的周长为18cm，
∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，
∴BE＝12÷2＝6cm；
（2）∵DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝α+30°，
由三角形的内角和定理得：α+2（α+30°）＝180°，解得：α＝40°，
∴∠A＝40°，∠ABC＝70°，∠C＝70°．23．【解答】（1）证明：∵∠AED是△CDE的外角∴∠AED＝∠ACB+∠CDE，
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠BAD+∠ABC，
∵∠ADE＝∠AED
∴∠ACB+∠CDE+∠CDE＝∠BAD+∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAD＝2∠CDE；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵∠ACB是△CDE的外角
∴∠ACB＝∠AED+∠CDE，
∵∠ABC是△ABD的外角
∴∠ABC＝∠ADB+∠BAD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠AED+∠CDE＝∠ADB+∠BAD，
∵∠AED＝∠ADE＝∠CDE+∠ADB
∴∠CDE+∠ADB+∠CDE＝∠ADB+∠BAD
∴∠BAD＝2∠CDE．
24．【解答】解：（1）作CM⊥OA于M，如图①所示：则∠CMA＝∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵（a﹣4）2+＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝4，b＝1，
∴OA＝4，OB＝1，
∵∠CAB＝90°，
∴∠OAB+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠ABO，
在△CAM和△ABO中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴MC＝OA＝4，MA＝OB＝1，
∴OM＝OA+MA＝5，
∴C点坐标为（4，5）；
（2）∵CD⊥x轴，∴D（4，0），
∴OD＝OA，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴∠ADO＝45°，
∴∠ADC＝90°﹣45°＝45°；
（3）方法1、A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，S△AOB：S△AEF＝2；理由如下：作CM⊥OA 于M，如图③所示：
由（1）知，A（0，4），C（4，5），
∴OA＝CM＝4，
∵△AEO是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝4，∠OAE＝90°，
∴∠EAF＝∠OAE＝90°＝∠CMF，
∵∠AFE＝∠MFC，AE＝CM，
∴△AEF≌△MCF，
∴AF＝MF＝AM，
∵C（4，5），A（0，4），
∴AM＝1，
∴MF＝，
∴S△AEF＝S△MCF＝MF×CM＝××4＝1，
S△AOB＝OA×OB＝×4×1＝2，
∴S△AOB：S△AEF＝2：1＝2，
即S△AOB：S△AEF的值是定值，不会发生变化；
故答案为：2．
方法2、A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，S△AOB：S△AEF＝2；理由如下：作CM⊥OA于M，如图③所示：
同（1）得：△CAM≌△ABO，
∴MC＝OA＝a，MA＝OB＝b，
∴C点坐标为（a，a+b），
∵△OAE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝a，
∴E（﹣a，a），
设直线CE的解析式为y＝kx+c，
把点C和E的坐标代入得：，
解得：，
当x＝0时，y＝，
∴F（0，），
∴OF＝，
∴AF＝OF﹣OA＝，
∵S△AOB＝ab，
S△AEF＝a×b＝ab，
∴S△AOB：S△AEF＝2：1＝2，即S△AOB：S△AEF的值是定值，不会发生变化；故答案为：2．。