八年级数学暑假专题(一)：勾股定理,勾股定理逆定理及应用 人教版

一、教学内容：
暑假专题（一）：勾股定理，勾股定理逆定理及应用
二、教学重点、难点
重点：勾股定理，勾股定理逆定理的内容 难点：勾股定理，勾股定理逆定理的应用
三、具体教学内容： 1、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 2、勾股定理逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

【考点分析】
勾股定理及其逆定理是中考考查的重要内容，往往综合在其他几何知识中，多以解答题出现，有时也会在选择填空中单独考查。

【典型例题】
例1、如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm ，则这个三角形的面积为（）
A 、2
B 、2cm 39
C 、2
cm 318 D 、2
分析：作等腰三角形底边上的高，由直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，可知高为3，根据勾股定理，可知底边的一半为33362
2=-，所以等腰三角形的面积为
3933621
21=⨯⨯=⨯⨯高底
解：选B
例2、如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A 点到C 1点的最短距离为。

分析：将立体图形转化为平面图形，即将面BB 1C 1C 和面AA 1B 1B 平展成一个平面，形成长为4，宽为2的矩形AA 1C 1C ，A 点到C 1点的最短距离即为AA 1C 1C 的对角线长。

∴5224AC 2
21=+=
解：52
例3、如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=BC
41，说明
∠EFA=90°。

分析：连AE ，设EC=a ，则BE=3a ，BC=4a ，在Rt △ADF 中，
2222a 20DF AD AF =+=，同理可得22a 5EF = 2222a 25BE AB AE =+=。

所以2
22AE EF AF =+，所以∠EFA=90°。

解：连AE ，设EC=a
∵
BC 41EC =
，∴BC=4a
∴AD=CD=AB=4a ∴BE=3a ∵F 是CD 中点∴DF=CF=2a
在Rt △ABE 中，222222a 25)a 3()a 4(BE AB AE =+=+= 同理，2
22222a 20)a 2()a 4(DF AD AF =+=+=
22a 5EF = ∴2
22EF AF AE +=
∴△AEF 是直角三角形 ∴∠EFA=90°
例4、已知三角形的两边AB 、AC 的长为13cm 、15cm ，BC 上的高为12cm ，求△ABC 的面积。

分析：对于无图题，要充分考虑所有符合题意的图形，本题有两种情况：①AD 在三角形ABC 的内部，即△ABC 是锐角三角形；②AD 在三角形ABC 的外部，即△ABC 是钝角三角形。

解：（1）当△ABC 为锐角三角形时 AB=13cm ，AC=15cm
AD ⊥BC 于D ，且AD=12cm 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中， 由勾股定理
cm 51213AD AB BD 2222=-=-= cm 91215AD AC CD 2222=-=-= ∴cm 1459CD BD BC =+=+= ∴
2ABC cm 84121421
AD BC 21S =⨯⨯=⋅=
∆
（2）当△ABC 为钝角三角形时，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得
cm 91215AD AC DC 2222=-=-= 同理，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得
cm 51213AD AB BD 2222=-=-=
所以cm 459BD CD BC =-=-=
∴
2ΔABC cm 2412421
AD BC 21S =⨯⨯=⋅⨯=
综上可知，△ABC 的面积为84cm 2或24cm 2。

例5、现有两根铁棒，它们的长分别为20cm 和50cm ，如果要焊接一个直角三角形的铁架，那么第三根铁棒长应为多少？
分析：本题采用分类讨论思想，焊接的是一个直角三角形的铁架，因此要考虑两方面的情况：一是必须使2
2
2
c b a =+；二是要考虑第三根有可能是直角边，也有可能是斜边。

解：设第三根铁棒长为x
①当第三根铁棒为直角边时，
22250x 20=+∴2110x =
②当第三根铁棒为斜边时 222x 5020=+∴2910x =
综上，第三根铁棒长为29102110或。

例6、如图，要制作底边BC 长为44cm ，顶点A 到BC 的距离与BC 长的比为1：4的等腰三角形木衣架，则腰AB 的长至少需要cm 。

分析：由于△ABC 不是直角三角形，因此不能直接求出AB 的长，为此，需要添加辅助线，构造直角三角形，由于△ABC 是等腰三角形，可以过A 作AD ⊥BC 于点D ，那么AD ：BC=1：4
又BC=44，所以AD=11 因为△ABC 为等腰三角形，所以224421
BC 21BD =⨯==
在Rt △ABD 中，6052211BD AD AB 2
2222=+=+=
∴AB=511 解：511
【模拟试题】
1、设a 、b 、c 为直角三角形的三边，则a ：b ：c 不可能是（） A 、3：5：4 B 、5：12：13 C 、2：3：4 D 、8：15：17
2、已知等腰△ABC 的腰AB=AC=10cm ，底边BC=12cm ，则∠A 的平分线长是cm 。

3、如图，矩形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，
cm 425AF =
，则AD 的长为（）cm 。

A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
4、若直角三角形两直角边的边长分别是5，12，则斜边上的高为（） A 、6
B 、8.5
C 、1330
D 、1360
5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，则2
2BE AE -等于（）
A 、2
AC B 、2
BD C 、2
BC D 、2DE
6、如图，在△ABC 中，∠C=60°，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AB=70，AC=30，则BC 的长为（）
A 、65
B 、68
C 、76
D 、80
7、如图，在四边形ABCD 中，AB=2cm ，5BC =cm ，CD=5cm ，DA=4cm ，∠B=90°，求ABCD 的面积。

8、一艘轮船以16海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，一个人在港口处观测到港口的西南有一个小岛，港口距小岛3海里，则当轮船航行半小时后距小岛海里。

9、在Rt △ABC 中，斜边c=13，直角边a>b ，S △ABC =30，试求b a b a -+与的值。

10、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 为AB 边上的高。

△ABC 的周长为24，BC ：AC=3：4，求CD 的长及△ABC 的面积。

【试题答案】
1、C
2、如图，AD 平分∠BAC ，∴AD 垂直平分BC
在Rt △ABD 中，8610BD AB AD 2
222=-=-= 3、∵∠FAC=∠BAC=∠FCA ∴FC=FA
∴
474258AF AB FC DC DF =-
=-=-=
∴在Rt △ADF 中，6
42447425DF AF AD 2
2
2
2
==⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=
选C
4、斜边13125c 2
2=+=，设斜边上的高为h
则ch 21ab 21S ==
∆ ∴h
1321
12521⋅⨯=⨯⨯
∴1360h =
5、连AD ，
∴22222222222AC CD AD BD AD )DE BD ()DE AD (BE AE =-=-=---=-
选A
6、∵∠ACD=60°，∴∠CAD=30°，∴
15AC 21
CD ==
∴315AD =，∴65AD AB BD 2
2=-= ∴806515BD CD BC =+=+= 选D
7、连AC ，在Rt △ABC 中，3AB BC AC 2
2=+= 在△ACD 中，AC=3，CD=5，AD=4
∴2
22CD AD AC =+∴△ACD 是Rt △。

∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21BC ·AB+21
AC ·AD=65+
8、如图，设港口为A ，小岛为B ，半小时后船在C 处，8
1621
AC =⨯=
由勾股定理
7383AB AC BC 2222=+=+=
9、2
2213b a =+，,30ab 21
=∴ab=60
289602169b ab 2a )b a (222=⨯+=++=+ ∴a+b=17（17b a -=+舍）
49602169b ab 2a )b a (222=⨯-=+-=- ∴)7b a (7b a 舍-=-=-
10、设BC=3k ，则AC=4k
由勾股定理，
k 5)k 4()k 3(BC AC AB 2
222=+=+= ∴3k+4k+5k=24，∴BC=6，AC=8，AB=10
S △ABC =21AC ·BC=21
CD ·AB
∴CD 1086⨯=⨯，∴
512CD =
S △ABC =21AC ·BC=24
8621
=⨯⨯。