高中数学北师大版精品教案《利用函数性质判定方程解的存在性》

利用函数性质判定方程解的存在性
【教学目标】
1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。

2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。

【教学重难点】
1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。

易混点
2．掌握函数零点存在的判定方法。

重点
3．能结合图像求解零点问题。

难点
【教学过程】
一、基础铺垫
1．函数的零点：
①定义：函数f的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

①方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。

2．函数零点的判定定理：
若函数＝f在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即fa·fb0，则＝f在区间a，b内一定没有零点吗？
[提示]1不是点，是数。

2不一定，如＝2－1，在区间－2，2上有两个零点。

二、新知探究
1．求函数的零点
【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。

1f＝错误!；
2f＝2＋2＋4；
3f＝2－3；
4f＝1－og3。

[解]1令错误!＝0，解得＝－3，
所以函数f＝错误!的零点是－3．
2令2＋2＋4＝0，由于Δ＝22－4×4
0，
所以f1·f2021点个数为
A．3 B．2
C．1 D．0
2函数f＝n ＋2－3的零点的个数是________。

1B21[1当≤0时，令2＋2＋3＝0，解得＝－3；当>0时，令－2＋n ＝0，解得＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．
2因为f1＝－2，f2＝n 2＋1>0；
所以f1·f2<0
又f＝n ＋2－3的图像在1，2上是不间断的，所以f在1，2上必有零点。

又f在0，＋∞上是递增的，
所以零点只有1个。

]
【教师小结】
判断函数零点个数的三种方法
（1）方程法：若方程＝f＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。

（2）图像法：由＝f＝＝g-h＝0，得g=h，在同一平面直角坐标系内作出1＝g和2＝h的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。

（3）定理法：函数＝f的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由fa·fb<0即可判断函数＝＝f在区间a，b内至少有一个零点。

若函数＝f在区间a，b上是单调函数，则函数＝f 在区间a，b内只有一个零点。

三、课堂总结
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：1函数图像在区间[a，b]上是连续的；2定理不可逆；3在区间a，b内，函数至少存在一个零点。

2．方程f＝g的根是函数f与g的图像交点的横坐标，也是函数＝f－g的图像与轴交点的横坐标。

3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。

四、课堂检测
1．思考辨析
1零点即函数＝f的图像与轴的交点。

2若方程f＝0有两个不等实根1，2，则函数＝f有两个零点。

3若函数＝f在区间a，b上有零点，则一定有fa·fb＜0
[答案]1×2√3×
2．＝＋1的图像与轴的交点坐标及其零点分别是
A．－1，－1，0B．－1，0，0
C．－1，0，－1 D．－1，－1
C[由＝＋1＝0，得＝－1，
故交点坐标为－1，0，零点是－1．]
3．若函数f唯一的零点在区间1，3或1，4或1，5内，则
①函数f的零点在1，2或2，3内；
①函数f在3，5内无零点；
①函数f在2，5内有零点；
①函数f在2，4内不一定有零点；
①函数f的零点必在1，5内。

以上说法错误的是________将序号填在横线上。

①①①[由于三个区间是包含关系，而1，5范围最大，零点位置可能在区间1，5的任何一个子区间内，①①①错误。

]
4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。

1＝错误!；2＝2－2＋4；3＝1－og5。

[解]1令＝0，得错误!＝0，无解。

故函数不存在零点。

2令＝0，得2－2＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0故函数不存在零点。

3令＝0，得1－og5＝0，og5＝1，解得＝5．故函数的零点为5．。