【研究生课件应用数学基础】4线性赋范空间

n k 1 k
n
lim S
n
s 0.
级数 xn称为绝对收敛的, 如果
n 1

x
n
收敛.
定理4.1
线性赋范空间V是完备的
4 V中每个绝对收敛的级数都收敛 .
证明: )设V完备.级数
x 绝对收敛, 要证 : x 收敛.( x V ,1 n )
n 1 n n 1 n n
T–1Pn=xn(n=1,2,)
容易证明:{Pn}是Rn中Cauchy列.实际上,由T连续,
>0,存在>0,当‖x–y‖<时有
‖Tx–Ty‖<.
注意到{xn}是Cauchy列,存在自然数N,当m,n>N
时,有 ‖xn―xm‖<
19
于是
即
‖Txn―Txm‖<,
‖Pn―Pm‖<.
因此,{Pn}是Rn中Cauchy列,由Rn的完备性,有
所以,f()是Rn上连续泛函,从而在Rn中单位球面
S上连续.由于S是有界闭集,故f()在S上达到最
小值,设为f(0)(0S).
于是,
S,有f()≥f(0).
12
下面证明: f(0)>0.显然,f(0)≥0.
只要证 f(0) 0.由于0S,故0不是零向量.
从而,
于是,
从而
Tx Ty
n | k 1
R
k
n




| B x y k
2
1 2
R
n
17
由此推出T的连续性。又由于
T
1
T x y
1 2
1
1n 1 2 | k | n k R A k 1 A
8
线性赋范空间V中数乘是连续的,即
若n,xnx(n,n,F,xn,xV),则 nxnx(n); 定义4.2 设‖x‖1和‖x‖2(x∈V)是x的两 A‖x‖1≤ ‖x‖2≤B‖x‖1
个范数,如果存在两个正数A和B,使
则称‖x‖1和‖x‖2是V上两个等价范数.
9
二、有限维线性赋范空间
定理4.2 设X是n维线性赋范间,{e1,e2,,en}
n
是X的一组基,则xX,
x k ek ,
k 1
则存在两个正数A和B,使
n A x | k 1
|
k
2
B x.
10
1 2
证明: 由于
x
e
k 1 k
n
k
|
k 1
n
|e
k
p | x n | p n 1 1 p
x
则
lp 是Banach空间.
7
线性赋范空间有一些简单性质.例如,
线性赋范空间V中收敛序列{xn}是有界的,而且
极限是唯一的;
线性赋范空间V中范数是连续的,即
若
lim x
n
n
x, 则lim
n
x
n
x.
线性赋范空间V中加法是连续的,即 若 xnx,yny(n), 则 xn+ynx+y(n).
定义4.1 设V是数域F上的线性空间. 如果xV,对应一个非负实数‖‖, 即VR是一泛函,满足:
(1)xV,‖x‖≥0;‖x‖=0x=.
(2)kF,xV,‖kx‖=|k|‖x‖.
(3)x,yV,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,
则称‖x‖(xV)为x的范数,V成为F上的线性
赋范空间.
2
设V是线性赋范空间。定义映射： ：VVR，(x,y)=‖x–y‖(x,y∈V) 容易验证：是V上的度量，从而{V，}是度量 空间，因而，V是（度量）拓扑空间。于是， V上有开集 、闭集、极限点、导集、闭包、 收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。
完备的线性赋范空间称为Banach空间。
线性赋范空间V中序列{xn}称为范数收敛于xV,
如果
lim x
n
n
x 0.
3
由于线性赋范空间V是线性空间，有加法和数乘

运算，故可讨论序列{xn}的级数及其收敛的概念。 称级数
x x x
n 1 n 1
2
xn
n
收敛于sV,如果
这里
n 1
S x .
21
由此推出T–1的连续性。
定理4.4 任意的有限维线性赋范空间必为
Banach空间;无限维线性赋范空间的有限维子
空间必为闭子空间.
18 证明: 设X是n维线性赋范空间,{e1,e2,,en }是
X的一组基.又设{xn}为X的任一Cauchy列.
由上面的定理,存在线性同胚T:XRn,使
Txn=PnRn,
T显然是线性的。而且T–1存在。实际上，
任给=（1，2，，n)T Rn,于是
y
k 1 n
e X
k k
16
由于向量坐标的唯一性，所以对应的y是唯
一的，而且=Ty，从而，T–1存在。
最后证明T和T–1的连续性。由上面的定理，
存在正数A和B，使 1 n 2 2 A x y | k | B x y k k 1
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故 记 则有
f(′)≥f(0)，即
B 1
x

f R
n
(

0
)0
f
(
0
)
1 2
n 2 | k | B x . k 1
由此推出，有限维线性空间的任意两种范数 都是等价的。 两个线性赋范空间X和Y称为线性同胚的，如果 存在线性双射T：X→Y，使T和T-1都是连续的。


实际上, ‖Sn–Sm‖=‖xm+1++xn‖≤‖xm+1‖+…+‖xn‖ (n>m),于是{Sn}是V中Cauchy列,所以
x 收敛.
n 1 n

)任取V中Cauchy列{xn},则可找到自然数
n1<n2<,使 因此
k 1
xn
k 1
x
nk
2 (k 1,2,).
线性赋范空间v中序列x称为范数收敛于xv如果由于线性赋范空间v是线性空间有加法和数乘运算故可讨论序列x的级数及其收敛的概念
第一章 集合上的数学结构
（抽象空间） 4.线性赋范空间
一、线性赋范空间概念与性质
二、有限维线性赋范空间 有限维线性赋范空间的基本性质: 有限维线性赋范空间都是完备的
1
一、线性赋范空间的概念和性质
k
xn
k 1
x
nk
.
5
由假设得到 ( x
k 1

x )收敛. 由此易知, lim xn x V . nk 1 nk k
k
从而,{xn}收敛.
例4.1 x=(x1,x2,,xn)TRn,定义范数
x
p n | xk | (1 p ). p k 1
k
n | k 1

n k| k 1
2
1 2
1 2
e
2
k
n M | k 1
1 2

| k
2
1 2
其中
2 n M ek 是一个固定正数 . k 1 1 令A , 则有 M 1
lim P
n
n
PR
1
n
再由T–1的连续性,
lim x
n
n
lim T
n
P
n
T
1
P x X.
从而X完备. 显然,无限维线性赋范空间X的有限维子空间M
是完备的,进而可证M是闭集.
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实际上,任取xM′,则必有{xn}M,使
lim x
n
x . n
因此{xn}是M中Cauchy列,从而,xM.
n A x | k 1

k
2 | .
2
11
另一方面, x 即
e
k 1 k
n
k
是 ( 1 , 2 ,, n ) 的泛函.
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于
x f ( )( R )
1 2
n
|f()f()|=|‖y‖―‖x‖|≤‖y―x‖
n 2 M | k | M n k R k 1
14
定理4.3
任何一个实数域R上的n维线性赋范
空间 X都与n维欧氏空间Rn线性同胚，即
存在线性双射T：XRn,且T与T–1连续。
证明：设{e1,e2,,en}是X的一组基。xX有
x k ek
k 1
n
其中=（1，2，，n)T为x的坐标。
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定义映射T：XRn: Tx=（1，2，，n)T
x e
0 0 k k 1
n
k
.
f(0)=‖x0‖0。
1 2
xX,且x,则x的坐标是Rn中非零向量。
n 所以， n | |2 0. k R k 1 x 记x ,则x对应的坐标 n R R
n
是S上的向量。
1 p
则Rn是线性赋范空间,而且是Banach空间.
xC[a,b],定义范数
x

max | x(t ) | .
a t b
6
则C[a,b]是Banach空间.
xLp[a,b],定义范数
x
b p | x(t ) | dt (1 p ). p a
1 p
则Lp[a,b]是Banach空间. x=(x1,x2,,xn)Tlp(1≤p<),定义范数