〖2021年整理〗《 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用 》优秀教案

第2课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定
理的应用
学习目标核心素养
1．掌握二项式系数的性质及其应用．重点
2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．难点
3．掌握二项式定理的应用．难点1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养
2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养
我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉约13世纪所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释a＋b n的展开式的各项系数．
a＋b0 1
a＋b1 1 1
a＋b2 12 1
a＋b3 133 1
a＋b4 1464 1
a＋b5 1510105 1
问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？
1．二项式系数的性质
1C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n；
2C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝2n－1
2．杨辉三角具有的性质
1每一行都是对称的，且两端的数都是1；
2从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
3利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C错误!，C错误!，C错误!，…，C错误!，C错误!，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
1．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”
1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．
2二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． 3二项展开式的二项式系数和为C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!
[答案] 1√ 2× 3×
2．1－215的展开式中的各项系数和是 A ．1 B ．－1 C ．215
D ．315
B [令＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1]
3．在a ＋b 10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是 A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项
D ．第10项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]
4．教材P 32尝试与发现改编观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是________．
1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 a 4 1 1
5 10 10 5 1
6 [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6]
求展开式的系数和
2 0210122 2 0212 0211求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 021的值； 2求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021的值； 3求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 021|的值．
[思路点拨] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] 1令＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝－12 021＝－1①
2令＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021②
①－②得
2a1＋a3＋…＋a2 021＝－1－32 021，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝错误!
3∵T r＋1＝C错误!－2r＝－1r·C错误!·2r，
∴a2
＜0∈N＋，a2＞0∈N．
－1
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021
1．解决二项式系数和问题思维流程
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令＝0可得常数项，令＝1可得所有项系数之和，令＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
错误!
1．若3－17＝a77＋a66＋…＋a1＋a0，求：
1a1＋a2＋…＋a7；
2a1＋a3＋a5＋a7；
3a0＋a2＋a4＋a6
[解]1令＝0，则a0＝－1；
令＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
所以a1＋a2＋…＋a7＝129
2令＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－47，②
由①－②得2a1＋a3＋a5＋a7＝128－－47，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256
3由①＋②得2a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝128＋－47， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128
二项式系数的性质及应用
【例2】 已知f ＝错误!＋32n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 1求展开式中二项式系数最大的项； 2求展开式中系数最大的项．
[思路点拨] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项或中间两项是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将，的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
[解] 令＝1，则二项式各项系数的和为f 1＝1＋3n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n ，由题意知，4n －2n ＝992
∴2n 2－2n －992＝0， ∴2n ＋312n －32＝0，
∴2n ＝－31舍去或2n ＝32，∴n ＝5
1由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 错误!错误!3322＝906， T 4＝C 错误!错误!2323＝270错误!
2展开式的通项公式为T r ＋1＝C 错误!3r ·错误!5＋2r ． 假设T r ＋1项系数最大， 则有错误!
()()()(
)()()5!5!35!!6!1!5!5!3,5!!4!1!r r r r r r r r ⎧
⨯≥⎪---⎪
∴⎨⎪≥⨯⎪--+⎩
∴错误!∴错误!≤r ≤错误!，∵r ∈N ，∴r ＝4
∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 错误!错误!324＝405错误!
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
错误!
2．11＋2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是
A．n，n＋1B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
2已知a＋b n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．
1C28[1该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．
2因为只有第5项的二项式系数最大，所以错误!＋1＝5，所以n＝8]
与“杨辉三角”有关的问题
【例3】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为S n，求S19的值．
[思路点拨]由图知，数列中的首项是C错误!，第2项是C错误!，第3项是C错误!，第4项是C错误!，…，第17项是C错误!，第18项是C错误!，第19项是C错误!
[解]S19＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＋C 错误!＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＝2＋3＋4
＋…＋10＋C错误!＝()
2109
2
+⨯
＋2202174
“杨辉三角”问题解决的一般方法
错误!
3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3
34[由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C错误!∶C错误!＝2∶3，即错误!＝错误!，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3]
二项式定理的应用[探究问题]
1．不用计算器，你能用二项式定理求的近似值，使误差小于吗？
[提示]把变成1－，然后应用二项式定理展开．
因为＝1－6＝1－C错误!×＋C错误!×－C错误!×＋…＋C错误!×
第三项T3＝15×＝<，以后各项更小，所以≈1－＝
2．你能用二项式定理证明错误!错误!＞2，n∈N*，且n≥2吗？
[提示]∵错误!错误!＝1＋C错误!错误!＋C错误!错误!错误!＋…＋C错误!错误!错误!＝2＋错误!＋…＋错误!，
又n≥2且n∈N*，∴错误!＋错误!＋…＋错误!＞0
∴错误!错误!＞2n∈N*，且n≥2．
【例4】教材P33例5改编1用二项式定理证明：1110－1能被100整除；
2求9192被100除所得的余数．
[思路点拨]11110－1＝1＋1010－1，展开求证便可；
29192＝1＋9092，展开求解便可．
[解]1证明：∵1110－1＝10＋110－1
＝1010＋C错误!·109＋C错误!·108＋…＋C错误!·10＋1－1
＝1010＋C错误!·109＋C错误!·108＋…＋102
＝100108＋C错误!.107＋C错误!.106＋ (1)
∴1110－1能被100整除．
29192＝100－992＝C错误!·10092－C错误!·10091·9＋C错误!·10090·92－…＋C错误!992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝10－192＝C错误!·1092－C错误!·1091＋…＋C错误!·102－C错误!·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81
利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系,整除性问题或求余数问题的处理方法：
1解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
2用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数或与除数密切关联的数与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面或者是前面的几项就可以了
错误!
4．1求证32n＋2－8n－9n∈N*能被64整除；
2求230－3除以7的余数．
[解]1证明：32n＋2－8n－9＝8＋1n＋1－8n－9＝C错误!8n＋1＋C错误!8n＋…＋C错误!－8n－9 ＝C错误!8n＋1＋C错误!8n＋…＋C错误!82＋C错误!·8＋1－8n－9＝C错误!8n＋1＋C错误!8n＋…＋C 错误!82
该式每一项都含因式82，故能被64整除．
2230－3＝2310－3＝810－3＝7＋110－3
＝C错误!710＋C错误!79＋…＋C错误!7＋C错误!－3＝7×C错误!79＋C错误!78＋…＋C错误!－2 又∵余数不能为负数需转化为正数，∴230－3除以7的余数为5
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
3．对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用1＋n≈1＋n，具体情况视精确度而定．
1．二项式－1n的奇数项二项式系数和是64，则n等于
A．5B．6
C．7D．8
C[二项式a＋b n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
∴2n－1＝64，∴n＝]
2．已知错误!错误!开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于
A．4B．5
C．6D．7
C[令＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有错误!＝64，所以n＝6]
3．若错误!错误!n∈N*的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为
A．210B．252
C．462D．10
A[由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C错误!＝210]
4．设－3＋24＝a0＋a1＋a22＋a33＋a44，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．
－15[令＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1 ①
＝C错误!－34－2，
又T
＋1
∴当＝4时，4的系数a4＝16 ②
由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15]
5．设a∈Z，且0≤a＜13，若512021＋a能被13整除，求a的值．
[解]512021＋a＝52－12021＋a＝522021＋C错误!×522021×－1＋…＋C错误!×52×－12021＋－12021＋a能被13整除，只需－12021＋a＝1＋a能被13整除即可．∵0≤a＜13，∴a＝12。