浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021届高三上学期第一次联考数学试题附答案

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021届高三第一次联考
数学试题
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么
()()()P A B P A P B +=+．
如果事件A ，B 相互独立，那么
()()()P A B P A P B ⋅=⋅．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，
那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)(0,1,2,,)k k
n k n n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅．
棱柱的体积公式
V Sh =，
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式
13
V Sh =
其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式
()
121
3
V h S S =，
其中1S ，2S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．
球的表面积公式2
4S R π=， 其中R 表示球的半径． 球的体积公式34
3
V R π=
， 其中R 表示球的半径．
选择题部分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知集合{13}A x
x =-<<∣，集合{1,0,1,2}B =-，则A B =（ ）
A ．{13}x
x -<<∣ B ．{13}x
x -≤<∣
C ．{13}x
x -<≤∣
D ．{13}x
x -≤≤∣ 2．已知a R ∈，若()
21(1)z a a i =---（i 为虚数单位）为纯虚数，则a =（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．1±
3．已知等比数列{}1n a +，10a =，53a =，则3a =（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．1
4．若双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
3
B
C ．2
D ．3
5．已知空间中的三条不同直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 两两垂直”是“l ，m ，n 不共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知0a >，0b > 1= ，则（ ）
A ．b
a
a b ≥
B ．b a
a b ≤
C ．12
a b a b +>
D ．1a b
a b +<
7．已知(1,3)A -，(2,1)B -两点到直线l 的距离分别是2和3，则满足条件的直线l 共有（ ）条．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知2012(21)n n
n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则下列命题正确的是（ ）
A ．当3n =时，不存在12k ≤≤，使得11k k k a a a -++≤
B ．当3n =时，对任意12k ≤≤，都有11k k k a a a -++≤
C ．当4n =时，必存在13k ≤≤，使得11k k k a a a -++>
D ．当4n =时，对任意13k ≤≤，都有11k k k a a a -++>
9．已知函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（ ） （1）a c b d +>+，（2）ac bd >，（3）32a b >，（4）2
2
2
94a c b +>
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．设集合S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈②对任
意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ） A ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素 B ．若S 有2个元素，则S
T 有3个元素
C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素
D ．存在3个元素的集合S ，满足S
T 有4个元素
非选择题部分
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．已知log lg100a b =．若10b =，则a =________，若2b a =+，则a =________． 12．已知2
sin
cos 1θθ=-，则sin θ=________，sin
2
θ
=________．
13．已知某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则
该几何体的最短棱长为________，最长棱长为________．
14．若实数x ，y 满足约束条件31030
x y x y +-≤⎧⎨
--≥⎩，则3z y x =-的最大值是________，22
x y +的最小值是
________．
15．已知点A ，直线l 与圆2
2
4x y +=交于M ，N 两点，若AMN △的垂心恰为原点O ，则直线l
的方程是________．
16．盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每
次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第ξ次被首次取到（0ξ=表示黄球未被取到），则()E ξ=________．
17．已知边长为2的等边ABC △，点M 、N 分别为边AB 、AC 所在直线上的点，且满足1MN =，则
BN CM ⋅的取值范围是________．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 18．（本题满分14分）
在锐角ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
．已知cos a B =sin 3b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）求2
2
sin cos A C +的取值范围． 19．（本题满分15分）
如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面DBC ，60ACB ∠=︒，45ACD ∠=︒
，AC =
AD ．
（Ⅰ）证明：AD BC ⊥；
（Ⅱ）若AD =
，求直线DE 与平面DBC 所成角的正弦值．
20．（本题满分15分）
已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足1111a b c ===，1n n n c a a +=-，()*1
2n n n n
b c c n N b ++=⋅∈． （Ⅰ）若{}n a 、{}n b 为等比数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若{}n c 为等差数列，公差0d >，证明：
233111113n n b b b a a n
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--，*
n N ∈，3n ≥．
21．（本题满分15分）
如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>，且满足4ab =，抛物线2
2:2(0)C y px p =>，点A 是
椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交x 轴于点M ． （Ⅰ）若点(2,1)A ，求椭圆1C 及抛物线2C 的方程； （Ⅱ）若椭圆1C
的离心率为
2
，点A 的纵坐标记为t ，若存在直线l ，使A 为线段BM 的中点，求t
的
最大值．
22．（本题满分15分）
若函数2
1()(1)ln 2
F x x a x x x b =
+--+，(,)a b R ∈既有极大值点1x ，又有极小值点2x ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：()()2121
(1)214
F x F x a b +<-
-++．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
112； 12．0，0；
13．2，
14．4-，
92
； 1520y ++=；
16．
56
17．313,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦． 试题详解 1．解析：选B ． 2．解析：选C ．
3．解析：由题意得：()()()2
3151114a a a +=+⋅+=，
由()2
31110a a q +=+⋅>，得312a +=，故31a =，选D ．
4．解析：由已知得：a b =b a =，∴e ==，选A ．
5．解析：若空间中的三条不同直线l ，m ，n 两两垂直，
则平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，
故l ，m ，n 一定不共面．反之若l ，m ，n 不共面，可以两两成60度角，不一定两两垂直， 故选A ．
6．解法一：排除法：
易知01a <<，01b <<，当a b <时，b a a a a b <<，排除A 选项；
当a b >时，b a a
a a
b >>，排除B 选项，
取14
a b ==
，得1a b
a b +=>排除D 选项．故选C ． 解法二：由已知得：01a <<，01b <<，
故：a a a >，b
b b >，又2
22a b ⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴12a b +≥
，∴12
a b a b a b +>+≥． 7．解析：分别以(1,3)A -，(2,1)B -为圆心，半径分别是2和3画圆，两园位置关系是外切，公切线有三条，故选C ．
8．解析：当3n =时，323
(21)16128x x x x -=-+-+，123a a a +<，A 错；
012a a a +>，B 错；
当4n =时，4234
(21)18243216x x x x x -=-+-+，123a a a +>，C 对；
012a a a +>，D 错；
答案：选C ．
另解：2012(21)n n
n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，系数必为正负交替，若记最小系数为0k a ，
若3n ≥，则03k ≥，且0020k k a a -<<，010k a ->， 故00021k k k a a a --+>． 故选：C ．
9．解析：显然0a <，又(0)00f c '>⇒>
(1)00f a b c d a c b d -<⇒-+-+<⇒+>+，
（1）正确； 222(1)032964f a c b a c ac b '-=⇒+=⇒++=，又0ac <，故（4）正确；
又2
()32f x ax bx c '=++，02(1)3b x a
+-=-， 若001x <<，则203b
a
-
<，又0a <，故0b <， 进一步，由(0)f d =知0d <，则（2）不正确；
又由02(1)3b x a +-=-
得：0213b x a =-， 又00x >，故2103b
a
->，又0a <，故32a b <，则（3）不正确；
综上，（1）、（4）正确，选B ．
10．解析：若S 有2个元素，不妨设{},S a b =，
由②知集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{},S a a =-； 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，
故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时， 由得：m S -∈，则m a =±，{}0,T a =-或{}0,T a =． 当集合T 有多于2个元素时，
不妨设{}0,,T m n =，m ，n ，m -，n -，m n -，n m S -∈， 由于m ，0n ≠，所以m m n ≠-，n n m ≠-， 又且m n ≠，故集合S 中至少3个元素，矛盾； 综上，{}0,,S
T a a =-，故B 正确；
若S 有3个元素，不妨设{},,S a b c =，其中a b c <<； 则{},,a b b c c a T +++⊆，
所以c a -，c b -，b a -，a c -，b c -，a b S -∈， 集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，
即集合S 中至少4个元素，与{},,S a b c =矛盾，排除C 、D ．
11．解析：lg1002=，若10b =，则a =，若2b a =+，则2a =． 12．解析：2sin cos 10cos 1θθθ=-≥⇒≤，
故cos 1θ=，sin 0θ=，故2k θπ=，k Z ∈，∴sin
02
θ
=．
13．解析：几何体为一条侧棱垂直底面的四棱锥，易知最短棱长2，最长棱长 14．解析：4-，
92
．
1520y ++=；
OA k =
，
∵AMN △的垂心恰为原点O ，∴直线l 的斜率k =
直线OA 与直线l 的交点记为H ，结合圆的垂径定理知AMN △为等边三角形，
故3
2AH AO =，得12H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
故直线l 20y ++=．
16．解析：ξ的可能取值为0，1，2，
1111(0)4433P ξ==
+⋅=，111211(2)434326
P ξ==⋅+⋅⋅=， 故1
(1)1(0)(2)2
P P P ξξξ==-=-==；或直接法：
212112112112111
(1)11P ξ==⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
()0123266
E ξ=⋅+⋅+⋅=．
17．解析：设AN AC λ=，AM AB μ=，则MN AC AB λμ=-，
又1MN =，所以，2
2()1MN AC AB λμ=-= 化简得：2214
λμλμ+-⋅=
， 另一方面，()()24()2BN CM AC AB AB AC λμλμλμ⋅=-⋅-=-++， 因为，2214
λμλμ+-⋅=
， 令x y x y
λμ=+⎧⎨=-⎩，则22134x y +=，
()2224()2282BN CM x y x λμλμ⋅=-++=--+，
将22
1123x y =
-代入得：2811836BN CM x x ⋅=-+，对称轴3
2
x =， 由22
111012322
x y x =
-≥⇒-≤≤， 进一步知：2811836BN CM x x ⋅=
-+在11
22
x -≤≤上单调递减， 所以，BN CM ⋅的取值范围是313,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）由正弦定理知：sin sin 3b A a B ==①
又由已知条件：cos 3a B =②
由①②知：tan B =3
B π
=
．
（Ⅱ）221cos 21cos 2sin cos 22A C
A C -++=
+
11
cos 2cos 2122
C A =-+ 11cos 2cos 21223C C ππ⎡⎤⎛⎫=---+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 112cos 2cos 21223C C π⎛⎫=
-++ ⎪⎝⎭
3
2cos 2144
C C =
++
2123C π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭． ∵ABC △是锐角三角形， ∴
6
2
C π
π
<<
，∴
242333
C πππ
<+<
．
∴
sin 2123C π⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭的取值范围是17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫
⎪⎝⎭
． 方法二：2222
2sin cos sin cos 3
A C A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
2
222sin cos cos sin sin 33A A A ππ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
2
21sin cos 2A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
22213sin cos sin cos 44A A A A A =++-
231
sin cos 24A A A =+
3(1cos 2)11sin 22224
A A -=
⋅+
1
cos 2sin 21222A A ⎫=-
++⎪⎪⎝⎭
2123A π⎛
⎫=-
++ ⎪⎝
⎭． ∵ABC △是锐角三角形，∴6
2
A π
π
<<
，
得到
242333
A πππ
<+<
．
∴213A π⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭的范围为17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫
⎪⎝⎭
．
19．（Ⅰ）证明：设AD =
，则2AC a =，又45ACD ∠=︒，
由余弦定理知：DC =
．
由勾股定理的逆定理知：AD DC ⊥， 又平面ACFD ⊥平面DBC ，平面ACFD
平面DBC DC =，
AD ⊂平面ACFD ，∴AD ⊥平面DBC ，
∵BC ⊂平面DBC ，∴AD BC ⊥．
（Ⅱ）方法一：
解：直线DE 与平面DBC 所成角即为直线AB 与平面DBC 所成角，
由（Ⅰ）知∴AD ⊥平面DBC ，∴ABD ∠为所求角．
AD =，则BC a =，
又2AC a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =，
∴在直角三角形ADB 中，sin
3AD ABD AB ∠===
， （Ⅱ）方法二：
解：令AD =
，则BC a =，
又2AC a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =
，
∴222
AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，
∴AD ⊥平面DBC ，∴AD BD ⊥，
∴BD a =
=，
如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系
(0,2,0)C a
，3,,022B a a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，(0,0,0)A ， 设点D 为(),,x y z
，则222222222222
222
2(2)2322AD x y z a AC x y a z a DB x a y a z a =++==+-+=⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎧⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪
⎨⎝⎭⎪⎪⎪⎩
得到：,,33D a a a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
∴31,,02CB a a ⎛⎫=-
⎪ ⎪⎝⎭，∴3,CD a ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面BCD 的法向量为()111,,n x y z
=
1111131
0230
CB ax ay n CD ax
n ay ⎧⋅=
-=⎪⎪⎨
⎪⋅=-+=⎪⎩
， 得到(1,3,n =，又33,,0
2AB a ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴||23sin ||||32AB n a AB n a
θ⋅===．
（Ⅱ）方法三：
令2AD a =
，则BC a =，
又2AC a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：
AB =
，
∴222
AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，
∵AD ⊥平面DBC ，∴AD BD ⊥，AD BC ⊥，
∴BD a ==，
∵AB BC ⊥，AD BC ⊥且AB AD A =，
∴BC ⊥平面ABED ，故点D 在平面ABC 上的射影在直线AB 上． 如图以A 点为原点，建立空间直角坐标系
(0,2,0)C a
，3,,02B a ⎫⎪⎪⎝⎭
，(0,0,0)A
，,D a ⎫
⎪⎪⎝⎭， ∴31,,02CB a a ⎛⎫=-
⎪ ⎪⎝⎭，∴3,CD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面BCD 的法向量为()111,,n x y z
=，
1111131
02230
33CB ax ay n CD ax az
n ay ⎧⋅=
-=⎪⎪⎨
⎪⋅=-+=⎪⎩
， 得到(1,3,n =，又33,,0
2AB a ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴||23sin ||||32AB n a AB n a
θ⋅=
==． 20．解：（Ⅰ）∵1n n n c a a +=-，
令1n =，∴121c a a =-，∴22a =， 由{}n a 为等比数列，∴2
11
2a q a =
=， ∴11
112n n n a a q --==，
令2n =，∴232422c a a =-=-=， 令3n =，∴343844c a a =-=-=， ∵1
2n n n n
b c c b ++=
⋅，令1n =， ∵2311b c c b =
⋅，∴32211
4c b
q b c ===， ∴11
124n n n b b q --==．
（Ⅱ）证明：12n n n n
b c c b ++=
⋅，∴12n n n n b c
b c ++=，
令1n =，∴
3
211
c b b c =； 令 2n =，∴
3422b c b c =；令1n n =-，∴111
n n n n b c
b c +--=， 将以上各式相乘，得：1
2
n n n c c b c +=
， ∴
2211111n n n n n c c b c c d c c ++⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
， ∴
2232111111n n c b b b d c c +⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
， ∵11c =公差0d >，∴10n c +>．
∴22232121111111
n n c c b b b d c c d c d
+⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⋅= ⎪⎝⎭，
∵1n n n c a a +=-，且1(1)n c n d =+-， ∴()()1211n n n a a a a a a -=-+⋅⋅⋅+-+， 进一步得：(2)(1)
2
n n n a n d --=+
，
显然3n ≥时，0n a n ->， ∴
331111
33n a a n a d
+⋅⋅⋅+≥=---， ∴3n ≥，n N *∈时，
23311111
3n n b b b a a n
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--． 21．解：（1）点(2,1)A 在抛物线2
2:2(0)C y px p =>上，
代入得14p =，14p =
，故抛物线22:2
x
C y =． 点(2,1)A 在椭圆1C 上，故2241
1a b
+=，
又4ab =，0a b >>
，故：a =
b =
，
（2）解法1：椭圆1C 2c a =，
又c a =，故1
2b a =．
又4ab =，0a b >>，故：a =b =
，
椭圆1C 的方程为：22182
x y +=． 由题意知点2,2t A t p ⎛⎫
⎪⎝⎭，又A 为线段BM 的中点， 设(,0)M m ，则2,2t B m t p ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
又点A 、B 在椭圆1C 上，故42
21322t t
p +=（1），()
2
222
4182
t mp t p -+=（2）， （1）×4-（2）得：222
2
238pt m m p p
-=， 即2
2
2
2
2240m p mpt p -+=，
关于m 得方程有解，故24
4
Δ4960p t p =-≥，解得：4
2
24
t p ≤，
故，422224322322t t t p +≥+，进一步得：2
12
t ≤．
t ，当p =m =
（2）解法2：椭圆1C 的离心率为
2
，故2c a =，
又c a =1
2b a =．
又4ab =，0a b >>，故：a =b =
，
设(,0)M m ，直线l 的方程为：x y m λ=+，
联立椭圆1C 方程得：2218
2x y m x y λ=+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，代入化简得：
()2
224280y m y m λ
λ+++-=，
2
24
A B m y y λ
λ+=-+，2284A B m y y λ-⋅=+， ()()222222Δ44486432160m m m λλλ=-+-=+->，
由于A 为线段BM 的中点，且点A 的纵坐标为t ， 故22B A y y t ==，
进一步得：2234
m t λλ=-+，22
2824m t λ-=+，
消t 得：()
22
272436m λλ+=+，代入22
2824m t λ-=+得：()()
22
22
642364t λλλ=++， 又()()22
222
646464
1144402436440λλλλλ=≤=+++++
， 所以21
2
t t ≤
⇒
的最大值为2，
当λ=
，m =时，t 取到最大值．
（第二问如果直接默认椭圆方程为22
182
x y +=扣2分） 22．解析：（1）2
1()(1)ln ()ln 2
F x x a x x x b F x x x a =
+--+⇒=--' 11
()1x F x x x -''⇒=-=
()F x '⇒在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，
且当0x →时，()F x ∞'→+，当x ∞→+时，()F x ∞'→+，
∴(1)0F '<时()F x 有两个极值点，于是1a >． （2）()()2121
(1)214
F x F x a b +<-
-++， 11ln 0x x a --=，22ln 0
x x a --=
()()()22
121211221(1)ln ln 22x x a x x x x x x b ⇐
++-+-++
21
(1)214
a b <--++
()()()2222
21212112211(1)(1)124x x a x x x ax x ax a ⇐
++-+--+-<--+ ()()22
2121211(1)124
x x x x a ⇐-+++<--+ ()()2221212(1)244a x x x x ⇐-<+-++
()()22
21212(1)2a x x x x ⇐-<+-+-，
又11221212ln 0,ln 02ln ln 22x x a x x a x x x x a --=--=⇒+-=++-
1212ln ln x x x x -=-，
∴()()2
2
22
1212(1)2(1)a x x x x a -<+-+-⇔-
[]()2
21212ln ln 2(1)ln ln x x a x x <++-+-
∴()()
2
2
21212(1)2a x x x x -++-<-
22212123(1)4(1)ln 20ln 2ln a a x x x x ⇐-+-+>+，
接下来证明：222
12123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>，
由于()()
2
2
2
1212Δ16ln ln 24ln ln x x x x =+-+，
又12
01x x <<<，∴()
221212Δ32ln ln 8ln ln 0x x x x =-+<， ∴222
12123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x ---++>恒成立，得证．
法二：
()()22
22121211(1)1(1)24x x x x a a ⇐-
+++<--+⇐-
()()22
1212244x x x x <+-++
()()()
22
2121212(1)44a x x x x x x ⇐-<+-+++-
()()22
12122x x x x =+-+-
121x x a ⇐+>+
由（1）知：1201x x <<<，()F x '在(0,1)递减，(1,)+∞递增，
11ln 0x x a --=，22ln 0x x a --=，
故1212211ln 11ln 1x x a a x x a x x +>+⇐++>+⇐>->， 又()()12F x F x ''=，()(1,)F x '+∞递增， 故()()()211211ln 1ln x x F x F x F x '''>-⇐=>-
()()111111ln 1ln ln 1ln ln 1ln 1x x a x x a x x ⇐-->----⇐->-，
令()()111ln 1ln 1g x x x =+--，接下来证明：()10g x >，
∵()()111ln 1ln 1g x x x =+--，∴()11
11
111ln
01ln x x g x x +-'=
<-，
∴()()111ln 1ln 1g x x x =+--在()0,1上递减， 故()1(1)0g x g >=，得证．。