(必考题)高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(有答案解析)(4)

一、选择题
1．设点P 是函数24(1)y x =---图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当
||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外
切，则mn 的最大值为 A ．5
B ．
52
C ．
254
D ．1
2．四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．球的一部分
D ．抛物线的一部分
3．（2015秋•河池期末）直线3x+4y+2m =0与圆x 2+（y ﹣）2=1相切，且实数m 的值为（ ）
A ．log 23
B ．2
C ．log 25
D ．3
4．已知,x y 满足250x y +-=，则22(1)(1)x y -+-的最小值为（ ） A ．
45
B ．
25
C ．
25
5
D ．
105
5．已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点， P 点关于直线210x y +-=的对称点在圆上，则实数a 等于（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 6．已知圆C ：
的圆心为抛物线
的焦点，直线3x ＋4y ＋2
＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ． B ． C ． D ．
7．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长
为（ ） A 56
cm B ．B ．46C ．56D 53
cm 8．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为
23k 的值是（ ）
A ．3-
B ．3±
C 3
D ．33
±
9．已知直线20x y -+=与圆()()2
2
:334C x y -+-=交于点,,A B 过弦AB 的中点的直径为,MN 则四边形AMBN 的面积为（ ）
A ．82
B ．8
C ．42
D ．4
10．如下图,已知,AB AC 是圆的两条弦,过B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与AB 相交于点E ,3=AE ,1=BE ,则BC 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
2
3 11．已知圆O :221x y +=，点()00,M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，使得6
NMO π
∠=
，则0x 的取值范围是（ ）
A ．[]2,0-
B ．()0,3
C ．[]2,4
D ．()1,3-
12．设点P 是函数22y x x =--图象上的任意一点，点Q 是直线260x y --=上的任意一点，则||PQ 的最小值为（ ） A ．51+ B ．51- C ．
4
5
D ．以上答案都不对 二、填空题
13．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1
,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1
,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数
c
a
的取值范围是___． 14．若圆22(1)4x y +-=上恰有2个不同的点到直线30x y m ++=的距离为1，则m 的取值范围为_______ 15．若点在圆
上，点在圆
上，则
的最小值是__________．
16．（几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的直径，直线
与圆
相切于点
，
AD CE ⊥于点
，若圆
的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为______．
17．（几何证明选讲选做题）如图，
是圆的切线，
是圆的割线，若
，
，
，则圆
的半径
___.
18．已知AC BD 、为圆22:9O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(1,3)M ,则四边形
ABCD 的面积的最大值为____________________
19．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若
PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,则BC
AD
的值为_____
20．已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －
)2=6上的动点，则
的最大值为_______ ；
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为32cos 332sin 3
x y αα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（a 为参
数）.现以坐标原点O 为极点，Ox 轴为极轴建立极坐标系. （1）设P 为曲线C 上到极点的距离最远的点，求点P 的极坐标； （2）求直线:cos 24l πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
被曲线C 所截得的弦长. 22．已知以点为圆心的圆与直线
相切，过点
的动直线与
圆相交于
两点.
（1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程.
23．已知点,直线
与圆
相交于
两点, 且,求. （1）的值； （2）线段
中点的轨迹方程；
（3）
的面积的最小值.
24．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切． （1）求圆C 的方程；
（2）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；
（3）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,M N ，求直线MN 的方程． 25．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．
（Ⅰ）若＝，＝，求
的值；
（Ⅱ）若EF 2＝FA·FB ，证明：EF ∥CD ． 26．已知圆的方程：，
（Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:
被圆，所截得
的弦
的长.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据题意，分析函数y ()2
41x =---x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0），分析可得其对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下部分，由Q 的坐标可得Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上，据此分析可得当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有
3
21
a a -=--2，解可得a 的值，即可得圆C 1的方程，结合两圆外切的性质可得2()n m +=3+2＝5，变形可得（m +n ）2＝25，由基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】
根据题意，函数y =x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0）， 对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下半部分， 又由点Q （2a ，a ﹣3），则Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上， 当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有
3
21
a a -=--2，解可得a ＝1， 圆C 1：（x ﹣m ）2+（y +2）2＝4与圆C 2：（x +n ）2+（y +2）2＝9相外切，
=3+2＝5， 变形可得：（m +n ）2＝25，
则mn 2()25
44
m n +≤=
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查圆的方程的综合应用，涉及直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，写出点A B 、的坐标，根据条件设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论 【详解】
在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系． 设点P （x ，y ），则由题意可得 A （-3，0），B （3，0）
AD α,BC α,AD 4,BC 8,AB 6,APD CPB ∠∠⊥⊥====
则Rt
APD Rt CPB ~
41
82
AP AD BP BC ∴
===， 即224BP AP =，则有()()2222
343x y x y ⎡⎤-+=++⎣⎦
整理可得()2
2
516x y ++=，表示一个圆
由于点P 不能在直线AB 上（否则，不能构成四棱锥）， 故点P 的轨迹是圆的一部分 故选A 【点睛】
本题考查点轨迹方程的求法，以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力
解析：A 【解析】
试题分析：根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r ，列出方程求出m 的值． 解：因为直线3x+4y+2m =0与圆x 2+（y ﹣）2=1相切， 所以圆心到直线的距离为d=r ； 即
=1，
化简得2+2m =5， 即2m =3， 解得m=log 23． 故选：A ．
考点：圆的切线方程．
4．A
解析：A 【解析】
(x －1)2＋(y －1)2表示点P(x ，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离， 即d ＝
2
121512+⨯-+＝
25
5，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45
.故选A. 5．B
解析：B
【解析】试题分析：将圆22:450C x y x ay +++-=化成标准方程
()2
22
2924a a x y ⎛
⎫+++=+ ⎪⎝
⎭，故圆心为2,2a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依意可知直线210x y +-=过点
圆心C ，所以()2210102
a
a ⨯---=⇒=-，故选B ．
考点：1．圆的方程；2．直线与圆的位置关系．
6．C
解析：C 【解析】
试题分析：因为抛物线
的焦点为
，即为圆C 的圆心，又直线3x ＋4y ＋2＝0
与圆C 相切，所以圆心到直线的距离即为半径，则有，故选
C.
考点：点到直线的距离公式，圆的切线的性质，抛物线的焦点坐标公式，圆的标准方程.
解析：A 【分析】
通过构建勾股定理可求出斜边长度，从而得到答案. 【详解】
如图使得t ABC R ∆中，AD=6， 由题意，可设=3x CD ，=2x BD ,
根据勾股定理可知：()()
22222
AD CD AD BD BC +++=， 即()()
22222
964625x x x +++=，
解得6x =，
因此BC=56， 所以斜边上的中线长为：56
2
， 故选：A.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=4的圆心C （1，2），半径r=2，圆心C （1，2）到直线x ﹣ky ﹣1=0的距离2
21k k
+AB 的长为23222r d -23k 的值．
【详解】
圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=4的圆心C （1，2），半径r=2， 圆心C （1，2）到直线x ﹣ky ﹣1=0的距离2
21k k
+
∵弦AB 的长为23
∴
==
解得k= 3
±． 故选：D ． 【点睛】
本题考查实数值的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

9．C
解析：C
【解析】由题意，得MN AB ⊥，因为圆心()3,3到直线20x y -+=的距离为
d =
=4,MN AB ===AMBN 的面积为
11
422
S MN AB =
⋅=⨯⨯= C. 10．C
解析：C 【解析】 试题分析：由CE
BD 有
3AC AE
CD EB
==,设CD t =，则3AC t =，由2DB DC DA =⋅有2DB t =，易证DBC DAB ∆∆,则
1
2
DB BC DA AB ==,所以2BC =,选C ． 考点：1.切割线定理；2.相似三角形．
11．A
解析：A 【解析】
试题分析：过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，根据圆的切线性质，有
OMR OMN ∠≥∠．反过来，如果6OMR π∠≥，则圆O 上存在一点N 得6
OMN π∠=
故若圆O 上存在一点N ，使6OMN π∠=，则6
OMR π∠≥
12OR OR MR OM =⊥∴≤，，．
又2
2222
220000000000222442444M x x OM x y x x x x x x +=+=++=++∴++≤（，），（），，
解
得，020x -≤≤．0x ∴取值范围是[]2,0-，选A
考点：直线与圆的位置关系
【思路点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．解题时过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，则OMR OMN ∠≥∠．由题意可得6
OMR π
∠≥
，2OM ≤．再根据
2
200002244M x x OM
x x +=++（，），求得0x 的取值范围．
12．B
解析：B 【解析】
试题分析：函数22y x x =--()2
2
11x y -+=的下半部分包括两个端点．
圆心()1,0到直线260x y --=的距离()
2
2
1206512d -⨯-=
=+-．
由数形结合可知||PQ 51．故B 正确． 考点：1点到线的距离；2转化思想，数形结合思想．
二、填空题
13．【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式从而得到取值范围【详解】解：直线方程即由已知得且则可得到由于所以则由于则所以所以解得：【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系利用点线距建立不等式是解题的 51
2c a +<
【解析】 【分析】
利用距离关系即可列出不等式，从而得到取值范围. 【详解】
解：直线BF 方程
1x y
c b +=，即b x+c y-b c=0，由已知得22
bc d a b c
=<+且a b <则可得到42310e e -+<，由于e>1，所以e>1，则51
2
e +<,由于a b <则222a c a <-，所以2e >
，所以51
22
c a +<
<
解得：51
22
c a +<<
【点睛】
本题主要考查直线与圆位置关系的关系，利用点线距建立不等式是解题的关键，难度中档.
14．或【解析】【分析】若圆上恰有2个点到直线的距离等于1则圆心到直线的距离d 满足1＜d ＜3代入点到直线的距离公式可得答案【详解】由圆C 的方程可得圆心C 为（01）半径为2若圆上恰有2个点到直线的距离等于1
解析：73m -<<-或15m 【解析】 【分析】
若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离d 满足1＜d ＜3，代入点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】
由圆C 的方程()2
2
14x y +-=，可得圆心C 为（0，1），半径为2,
若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，
则圆心C 到直线30x y m ++=的距离d 满足1＜d ＜3， 由点到直线的距离公式可得01132
m
++<<， 解得73m -<<-或15m ， 故答案为：73m -<<-或15m ． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出圆心到直线的距离的范围是解答此题的关键．
15．2【解析】试题分析：因为圆C1:(x-2)2+(y-2)2=1的圆心坐标C1(22)半径r=1圆C2:(x+2)2+(x+1)2=2圆心(-2-1)半径R=2d=|C1C2|=5>2+1=R+r ∴两
解析：2 【解析】 试题分析：因为圆
的圆心坐标，半径
，圆
圆心
，半径，，
两圆的位置关系是外离，又在圆
上，在圆
上，则
的最小值为
，故答案为.
考点：圆的方程及圆与圆的位置关系.
16．1【解析】试题
解析：1 【解析】 试题
CD 是圆O 的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°， ∵圆的面积是4π，从而圆的半径是2 ∴在直角三角形ACD 中AC=2，∴AD=1， 考点：本题考查圆的切线的性质定理的证明
点评：解决本题的关键是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及面积公式
17．【解析】试题分析：连接在中是圆的直径是圆的切线是圆的割线因此相似得因此圆的半径考点：圆的切线性质定理 解析：
【解析】 试题分析：连接
，在
中，，
，
，
，
，
， 是圆的直径，
是圆的切线，是圆
的割线，
，因此
相似
，
，得
，因此圆的半
径
.
考点：圆的切线性质定理.
18．14【分析】根据垂径定理得弦长再根据四边形面积公式得面积最后根据基本不等式所求最值【详解】设圆心O 到ACBD 的距离分别为则因此当且仅当时取等号即四边形ABCD 的面积最大值为14【点睛】本题考查圆中弦
解析：14 【分析】
根据垂径定理得弦长，再根据四边形面积公式得面积，最后根据基本不等式所求最值. 【详解】
设圆心O 到AC.BD 的距离分别为12,d d ，则2212||29,||29AC d BD d =-=- 因此
2222212121
||||2999918||1813142
ABCD S AC BD d d d d OM =
=--≤-+-=-=--=
当且仅当12d d =时取等号，即四边形ABCD 的面积最大值为14. 【点睛】
本题考查圆中弦长以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．【解析】由题意可知△PBC ∽△PDA 于是由＝＝得＝＝＝
【解析】
由题意可知△PBC ∽△PDA ，于是由
BC DA ＝PB PD ＝PC PA ，得BC AD
20．【分析】由的几何意义知在圆上当点是由点向圆作切线的切点时取最值利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可【详解】由的几何意义知在圆上当点是由点向圆作切线的切点时取最值设直线的斜率为直线的方程为圆心的
解析：2【分析】 由
y x
的几何意义知,OP y k P x =在圆(
)(2
2
36x y -+=上，当P 点是由O 点向圆作切
线的切点时，y
x
取最值，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】
由y x
的几何意义知,OP y k P x =在圆(
)(2
2
36x y -+=上，
当P 点是由O 点向圆作切线的切点时，
y
x
取最值， 设直线OP 的斜率为k ，直线OP 的方程为y kx =， 圆心1O
的坐标为(
圆心1O 到直线OP
=
1222k k =(最小值，舍去)，
y
x
∴
的最大值是2
，故答案为2+ 【点睛】
本题主要考查圆的方程与几何性质、点到直线距离公式的应用，意在考查数形结合思想、函数与方程思想以及转化与划归思想的应用，属于中档题.
三、解答题
21．
(1)74
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
(2)
【解析】 【分析】
(1)首先求出曲线C 的直角坐标方程，再求出CO 直线，故可求出另一交点，化为极坐标方程即为所求；
（2）利用圆心到直线的距离公式即得答案. 【详解】
（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()2
2
3318x y -++=，圆经过坐标原点，因此
()3,3C -，CO 直线为：y x =-，与圆交于点()6,6P -，化为极坐标为762,4P π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
故点P 的极坐标为762,
4
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
； （2）直线的直角坐标方程为：20x y --=，圆心到直线的距离
()332
222
d ---=
=，所截弦长为：222210l r d =-=.
【点睛】
本题主要考查直角坐标，参数方程，极坐标方程之间的互化，直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度不大. 22．（1）；（2）
或
.
【解析】
试题分析：(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，又知圆心坐标为
，从而求解
圆的标准方程；(2)先讨论斜率不存在的直线是否合题意，斜率存在时，根据点斜式设出直线方程，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式及勾股定理求直线斜率，进而确定直线方程. 试题
（1）设圆的半径为，∵圆与直线相切，
∴
，∴圆的方程为
.
（2）当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，
此时
，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为
，即
，设
的中点为，则， ∴，又，
，
∴
，又
，∴
，
则直线的方程为：
，即
，
综上可知直线的方程为：或.
考点：点到直线的距离公式、圆的方程及直线的方程.
【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、直线方程及直线与圆的位置关系，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.
23．（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离，从而，再进
行化简，即可求解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨迹方程；（3）将面积表示为
，再利用基本不等式，即可求得的面积的最小值．
试题
（1）直线的方程,即:, 圆
圆心到的距离
即：，化简得，．①
（2）设点的坐标为,则代入①得即：
为所求的轨迹方程．
（3）
,当时, 面积最小, 最小值为．
考点：直线与圆的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为
，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题．
24．（1）求圆的方程，已知圆心，还要知道半径，由圆心到切线的距离等于圆的半径可得；（2）求弦长，可先求得圆心到直线的距离，现利用勾股定理可得（垂径定理）；（3）由切线性质知四点,,,G M O N 共圆，而直线MN 就是此圆与圆O 的公共弦所在直线，其方程可用两圆方程相减所得． 【解析】 试题分析： 试题
（1）由题意得，圆心（0,0）到直线1l :220x y --=的距离为圆的半径，r=2.（2分）, 所以圆C 的标准方程2
2
4x y +=． （2）圆心到直线2l 的距离d=1 所以23AB =
（3）以GO 为直径的圆的方程：22135
(y )...(1)222
+-=(x-) 二圆C 的方程：22 4 (2)y +=x
（1）-（2）得直线MN 的方程：x+3y-4=0.
考点：圆的标准方程，直线与圆相交问题，两圆位置关系．
【名师点睛】直线和圆的位置关系一般用圆心到直线的距离来讨论，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，则：d r >⇔相离，d r =⇔相切，d r <⇔相交．直线截圆所得弦长为2
2
2l r d =-． 25．（I ）；（II ）见解析．
【解析】
(1)易证∽.，可得,再根据,就可以直接利
用题目所给条件进行求解. (2)解本题的关键是把条件
，转化为
，进一步转化为
∽
,到此问题基本得以解决
（Ⅱ）
，，又
，
∽
，………7分 ，又四点共圆，
，
，
26．（Ⅰ）;（Ⅱ）
.
【解析】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求的取值范围;
(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.试题
（Ⅰ）圆的方程可化为
令,所以
（Ⅱ）圆,圆心,半径
圆圆心,半径
因为圆与圆相外切
所以
解得
圆心到直线的距离为
所以。