人教版初中数学九年级下册教案 27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似

27.2.1 相似三角形的判定
第2课时三边成比例的两个三角形相似
1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)
2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．
一、情境导入
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
二、合作探究
探究点：三边对应成比例的两个三角形相似
【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似
在Rt＝6，在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
解析：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．
解：△ABC∽△EDF.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝102－62＝8.在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∠F＝90°，由勾股定理得ED＝DF2＋EF2＝32＋42＝5.在△ABC和△EDF中，
BC
DF＝
6
3＝2，
AC
EF＝
8
4＝2，
AB
ED＝
10
5＝2，所以
BC
DF＝
AC
EF＝
AB
ED，所以△ABC∽△EDF.
方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】网格中的相似三角形
△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF是否相似，并说明理由．
解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得
AB
DE＝
AC
DF＝
BC
EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．
解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝25，∵
AB
DE＝
AC
DF＝
BC
EF＝
25
4＝
5
2，∴△ABC∽△DEF.
方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】利用相似三角形证明角相等
1
2
如图，已知
AB
AD＝
BC
DE＝
AC
AE，找出图中相等的角，并说明你的理由．
解析：由
AB
AD＝
BC
DE＝
AC
AE，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解．
解：在△ABC和△ADE中，∵
AB
AD＝
BC
DE＝
AC
AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
∠C＝∠E.
方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系
AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．
解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．
解：公路AB与CD平行．∵
AB
BD＝
14
21＝
2
3，
AD
BC＝
28
42＝
2
3，
BD
DC＝
21
31.5＝
2
3，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC.
方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．
【类型五】利用相似三角形的判定解决探究性问题
50cm，60cm，80cm，另一个三角形教具的一边长为20cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．
解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似判定．
解：①当长为20cm的边长的对应边为50cm时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm，24cm，32cm；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：
50
3cm，20cm，
80
3cm；③当长为20cm的边长的对应边为80cm时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm，15cm，20cm.∴有三种解决方案．
方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
三边对应成比例的两个三角形相似；
2．利用相似三角形的判定解决问题．
因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。